Симедиана треугольника: формула и точка Лемуана

Симедиана треугольника - это чевиана, которая получается из медианы отражением относительно биссектрисы того же угла. Внешне она похожа на медиану: тоже выходит из вершины и упирается в противоположную сторону, но приходит не в середину стороны, а в точку, которая делит её в отношении квадратов прилежащих сторон. Это небольшое смещение делает симедиану одним из главных инструментов олимпиадной геометрии: через неё формулируются задачи на отношения отрезков, доказательства концентричности и свойства описанной окружности. Ниже разберём, как симедиана строится, как найти точку, в которой она пересекает сторону, чему равна её длина и что такое точка Лемуана - а сначала покрутите калькулятор ниже: он строит симедиану, медиану и биссектрису для произвольного треугольника и сразу показывает, где сходятся все три симедианы.

Что такое симедиана и откуда она берётся

Возьмём треугольник $ABC$ со сторонами $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$ (стандартное обозначение - сторона называется по вершине, которая ей не принадлежит). Из вершины $A$ выходят три особые чевианы: медиана $AM$ (в середину $BC$), биссектриса $AL$ (делит угол $A$ пополам) и высота. Симедиана $AK$ - четвёртая чевиана, и определяется она через отражение: если провести медиану $AM$ и отразить её как луч относительно биссектрисы $AL$, получится ровно симедиана $AK$. Такое отражение называется изогональным сопряжением: угол между $AB$ и $AM$ равен углу между $AC$ и $AK$, и наоборот. Именно поэтому у медианы и симедианы всегда одинаковый угол наклона к сторонам, только зеркально переставленный.

Рассчитать для своей задачи

Изогональное сопряжение - не абстрактная формальность: оно сразу объясняет, почему симедиана обычно смещена от середины стороны в сторону более короткой из двух прилежащих сторон. Чем сильнее треугольник отличается от равнобедренного, тем заметнее расхождение между точками $M$ и $K$ на стороне $BC$.

Как симедиана делит противоположную сторону

Ключевой факт про симедиану - то, в каком отношении она делит сторону. Если медиана всегда делит противоположную сторону пополам ($BM:MC = 1:1$), то симедиана делит её в отношении квадратов прилежащих сторон:

$\frac{BK}{KC} = \frac{AB^2}{AC^2} = \frac{c^2}{b^2}.$

Отсюда сразу видно, почему изогональное сопряжение меняет отношение именно на квадрат: медиана "не видит" разницу сторон вообще (отношение $1:1$ не зависит от $b$ и $c$), а симедиана после отражения относительно биссектрисы получает это отношение в чистом виде - из теоремы о биссектрисе ($BL:LC = c:b$), возведённой в квадрат при переходе через отражение.

Рассчитать для своей задачи

Практически это значит, что для вычисления точки $K$ достаточно знать длины всех трёх сторон. Например, при $BC = 7$, $CA = 4$, $AB = 8$ отношение $BK:KC = 8^2:4^2 = 64:16 = 4:1$, а поскольку $BK + KC = BC = 7$, получаем $BK = 5{,}6$ и $KC = 1{,}4$.

Формула длины симедианы

Чтобы найти саму длину отрезка $AK$, удобно оттолкнуться от длины медианы, которая ищется по формуле Аполлония:

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}.$

Подставив найденные отрезки $BK$ и $KC$ в теорему Стюарта для чевианы $AK$, после сокращений получается компактная формула, которая связывает длину симедианы с длиной медианы через те же две стороны:

$AK = \frac{2bc}{b^2 + c^2}\, m_a.$

Множитель $\dfrac{2bc}{b^2+c^2}$ всегда не больше единицы - это прямое следствие неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом, $2bc \le b^2 + c^2$. Значит, симедиана всегда короче медианы или равна ей, а равенство наступает ровно тогда, когда $b = c$, то есть треугольник равнобедренный с основанием $BC$: в этом случае медиана, биссектриса и симедиана из вершины $A$ совпадают. Для нашего примера ($a=7$, $b=4$, $c=8$) множитель равен $2 \cdot 4 \cdot 8 / (16+64) = 0{,}8$, медиана $m_a \approx 5{,}27$, а симедиана $AK \approx 4{,}21$ - заметно короче медианы именно потому, что стороны $b$ и $c$ сильно различаются.

Точка Лемуана: где сходятся все три симедианы

Если провести симедианы из всех трёх вершин, они пересекутся в одной точке - точке Лемуана (её ещё называют точкой Гриневича или симедианной точкой). Это не очевидно из построения (в отличие от медиан, для которых центроид легко доказывается через векторы), но следует из теоремы Чевы: произведение отношений на всех трёх сторонах равно единице именно потому, что каждое отношение - это квадрат стороны, и при обходе по кругу они сокращаются. Барицентрические координаты точки Лемуана особенно простые:

$K_0 = \big(a^2 : b^2 : c^2\big),$

то есть вес каждой вершины в барицентрической сумме равен квадрату противоположной стороны. У медиан для сравнения все веса равны единице - отсюда и центроид как "равновесная" точка.

Рассчитать для своей задачи

Точка Лемуана обладает и метрическим свойством: из всех точек внутри треугольника именно она минимизирует сумму квадратов расстояний до трёх сторон. Это делает её естественным "центром масс по сторонам" - в отличие от центроида, который минимизирует сумму квадратов расстояний до вершин.

Симедиана и касательные к описанной окружности

Отдельный приём, который часто встречается в олимпиадных задачах: если провести касательные к описанной окружности треугольника $ABC$ в точках $B$ и $C$, они пересекутся в некоторой точке $T$ вне треугольника (или внутри, если угол $A$ тупой). Прямая $AT$ - это в точности симедиана из вершины $A$. Этот факт удобен тем, что позволяет узнать симедиану "в лицо" в задачах, где она явно не упомянута словом "симедиана", а замаскирована под пересечение касательных или под условие равенства углов $\angle BAT = \angle CAM$. Опытные олимпиадники держат этот приём в голове как один из первых кандидатов, когда в условии фигурируют одновременно описанная окружность и касательные из двух вершин.

Пример решения типовой задачи

Возьмём треугольник со сторонами $BC = 7$, $CA = 4$, $AB = 8$ и найдём симедиану из вершины $A$ полностью. Сначала отношение отрезков на стороне $BC$:

$\frac{BK}{KC} = \frac{AB^2}{AC^2} = \frac{64}{16} = 4, \qquad BK = 5{,}6, \quad KC = 1{,}4.$

Дальше длина медианы по формуле Аполлония:

$m_a = \frac12\sqrt{2\cdot 16 + 2\cdot 64 - 49} = \frac12\sqrt{111} \approx 5{,}27.$

И, наконец, длина симедианы через множитель $2bc/(b^2+c^2)$:

$AK = \frac{2\cdot4\cdot8}{16+64}\cdot 5{,}27 = 0{,}8 \cdot 5{,}27 \approx 4{,}21.$

Проверить себя можно тем же калькулятором выше - он для этих же трёх сторон покажет ровно те же числа и заодно нарисует, где именно на стороне $BC$ оказалась точка $K$ и как выглядит сходимость трёх симедиан в точке Лемуана.

Частые ошибки

• Путают отношение $BK:KC$ с $CA^2:AB^2$ вместо $AB^2:AC^2$. Правило простое: числитель - квадрат стороны, ближней к точке $B$ (то есть $AB$), знаменатель - квадрат стороны, ближней к точке $C$ (то есть $AC$).
• Считают, что симедиана делит сторону пополам, как медиана. Это верно только для равнобедренного треугольника с основанием, на которое падает симедиана.
• Забывают квадрат в формуле теоремы о биссектрисе. Отношение $BL:LC = c:b$ - это биссектриса; для симедианы отношение уже $c^2:b^2$, без квадрата легко перепутать с биссектрисой.
• Ищут точку Лемуана как пересечение медиан. Точка Лемуана - пересечение симедиан, а не медиан (это центроид); барицентрические веса у неё $a^2:b^2:c^2$, а не $1:1:1$.
• Забывают проверить неравенство треугольника перед вычислениями. Если одна сторона больше суммы двух других, ни симедианы, ни медианы, ни самого треугольника не существует.

FAQ

Чем симедиана отличается от медианы? Обе выходят из одной вершины к противоположной стороне, но медиана всегда приходит в середину стороны, а симедиана - в точку, которая делит сторону в отношении квадратов прилежащих сторон. Симедиана получается из медианы отражением относительно биссектрисы того же угла.

Как быстро проверить, что три чевианы - это именно симедианы? Сложить отношения на всех трёх сторонах по теореме Чевы: если для каждой чевианы отношение равно квадрату отношения прилежащих сторон, произведение трёх отношений равно единице, и чевианы пересекаются в одной точке - точке Лемуана.

Может ли симедиана оказаться длиннее медианы? Нет. Отношение длин $AK/AM = 2bc/(b^2+c^2)$ никогда не превышает единицы, потому что $2bc \le b^2+c^2$ для любых положительных $b$ и $c$. Равенство наступает только при $b=c$, когда симедиана совпадает с медианой.

Коротко

Симедиана - изогональное сопряжение медианы относительно биссектрисы того же угла: она делит противоположную сторону в отношении квадратов прилежащих сторон, $BK:KC = AB^2:AC^2$, а её длина всегда не превышает длину медианы того же угла, $AK = \dfrac{2bc}{b^2+c^2}\,m_a$. Три симедианы треугольника всегда пересекаются в одной точке - точке Лемуана с барицентрическими координатами $a^2:b^2:c^2$, а сама симедиана из вершины совпадает с прямой, соединяющей эту вершину с точкой пересечения касательных к описанной окружности в двух других вершинах.