Сечение куба правильным шестиугольником: как построить

Сечение куба плоскостью, перпендикулярной его пространственной диагонали, - одна из самых изящных конструкций школьной стереометрии: в зависимости от того, где именно плоскость пересекает диагональ, сечение оказывается то треугольником, то шестиугольником, а ровно посередине диагонали превращается в правильный шестиугольник. Разберём, как построить такое сечение, откуда берётся формула его стороны и почему периметр сечения не меняется, пока плоскость скользит вдоль диагонали. Подвигайте калькулятор ниже - он показывает форму сечения и её площадь для любого положения секущей плоскости, а дальше разберём вывод шаг за шагом.

Как построить сечение куба шестиугольником

Возьмём куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$ и рассмотрим его пространственную диагональ $AC_1$. У диагонали $AC_1$ есть шесть рёбер куба, которые её не касаются, - по три при вершине $A$ и при вершине $C_1$. Возьмём середины именно этих шести рёбер: они и есть вершины искомого шестиугольника.

Построение делают так: находят середины рёбер $BB_1$, $B_1C_1$... на практике удобнее не перечислять рёбра по буквам, а соединять последовательно середины соседних рёбер, лежащих на одной грани куба. Каждая грань куба содержит ровно одну сторону будущего шестиугольника - а значит, шестиугольное сечение обязательно касается всех шести граней куба одновременно, в отличие, например, от квадратных или прямоугольных сечений, которые задевают только четыре грани.

Ключевое свойство этой плоскости - она перпендикулярна диагонали $AC_1$ и проходит через её середину, то есть через центр куба. Именно поэтому все шесть вершин оказываются на равном расстоянии от центра, а сечение получается правильным.

Почему сечение перпендикулярно диагонали даёт шестиугольник

Удобно ввести координаты: пусть $A = (0,0,0)$, а противоположная вершина $C_1 = (a,a,a)$, тогда диагональ $AC_1$ направлена вдоль вектора $(1,1,1)$. Любая плоскость, перпендикулярная этому вектору, задаётся уравнением

$x + y + z = s,$

где параметр $s$ пробегает значения от $0$ до $3a$ по мере движения плоскости вдоль диагонали.

Рассчитать для своей задачи

Если $s \in (0, a)$ или $s \in (2a, 3a)$, плоскость отсекает от куба один угол и сечением служит треугольник. А вот при $s \in (a, 2a)$ плоскость пересекает ровно шесть рёбер куба, и сечение становится шестиугольником. Более того, у этого шестиугольника все внутренние углы равны $120°$ независимо от конкретного значения $s$ - это прямое следствие того, что секущая плоскость всегда перпендикулярна диагонали $(1,1,1)$, а рёбра куба идут строго вдоль координатных осей.

Формула стороны правильного шестиугольника

Введём параметр $t = \dfrac{s-a}{a} \in [0,1]$, показывающий, насколько плоскость сдвинута от «ближней» тройки вершин ($s=a$) к «дальней» ($s=2a$). Тогда стороны шестиугольника чередуются между двумя длинами:

$L_1 = at\sqrt2, \qquad L_2 = a(1-t)\sqrt2.$

Заметьте: сумма $L_1 + L_2 = a\sqrt2$ не зависит от $t$, поэтому периметр сечения постоянен при любом положении плоскости внутри «шестиугольной» зоны:

$P = 3(L_1+L_2) = 3a\sqrt2.$

Шестиугольник становится правильным ровно при $t = \tfrac12$, то есть когда плоскость проходит через центр куба (середину диагонали). Тогда $L_1 = L_2$, и сторона правильного шестиугольника равна

$L = \frac{a\sqrt2}{2}.$

Рассчитать для своей задачи

На кадре видно, что вершины шестиугольника лежат ровно в серединах шести рёбер куба, а сторона, отмеченная скобкой, равна $\dfrac{a\sqrt2}{2}$ - это ровно половина диагонали грани куба.

Площадь сечения как функция положения плоскости

Площадь шестиугольника с чередующимися сторонами $L_1$, $L_2$ и углами $120°$ можно получить, если представить его как равносторонний треугольник со стороной $a\sqrt2$, у которого срезаны три одинаковых уголка. Итоговая формула площади через параметр $t$:

$S(t) = \frac{\sqrt3}{2}\,a^2\left(1 + 2t - 2t^2\right), \qquad t \in [0,1].$

При $t=0$ и $t=1$ формула даёт площадь равностороннего треугольника $\dfrac{\sqrt3}{2}a^2$ (сечение ещё не стало шестиугольником), а максимум достигается в середине, при $t=\tfrac12$:

$S_{\max} = S\!\left(\tfrac12\right) = \frac{3\sqrt3}{4}\,a^2.$

Это и есть площадь правильного шестиугольного сечения - самого большого плоского сечения, какое вообще можно получить у куба. Калькулятор выше пересчитывает эту функцию для любого положения плоскости и подсвечивает момент, когда сечение становится правильным.

Пример решения типовой задачи

Пусть ребро куба $a = 6$ см, а плоскость проходит через середину диагонали (сечение - правильный шестиугольник). Найдём его сторону, периметр и площадь.

Сторона:

$L = \frac{a\sqrt2}{2} = \frac{6\sqrt2}{2} = 3\sqrt2 \approx 4{,}24 \text{ см}.$

Периметр:

$P = 3a\sqrt2 = 18\sqrt2 \approx 25{,}46 \text{ см}.$

Площадь:

$S = \frac{3\sqrt3}{4}a^2 = \frac{3\sqrt3}{4}\cdot 36 = 27\sqrt3 \approx 46{,}77 \text{ см}^2.$

Проверка правдоподобия: площадь сечения ($\approx 46{,}77$ см$^2$) должна быть меньше площади диагонального сечения-прямоугольника $a^2\sqrt2 = 36\sqrt2 \approx 50{,}9$ см$^2$, но заметно больше площади грани $a^2 = 36$ см$^2$ - оба неравенства выполняются, значит, ответ правдоподобен.

Теперь сдвинем плоскость от центра, оставив то же ребро $a=6$ см, до положения $t=0{,}25$ (то есть на четверть пути от «ближней» тройки вершин к «дальней»). Стороны шестиугольника перестают быть равными:

$L_1 = 6\cdot 0{,}25\sqrt2 = 1{,}5\sqrt2 \approx 2{,}12 \text{ см}, \qquad L_2 = 6\cdot 0{,}75\sqrt2 = 4{,}5\sqrt2 \approx 6{,}36 \text{ см}.$

Периметр при этом не меняется: $P = 3(L_1+L_2) = 18\sqrt2 \approx 25{,}46$ см - тот же, что и у правильного шестиугольника. А вот площадь уменьшается:

$S(0{,}25) = \frac{\sqrt3}{2}\cdot 36\cdot\left(1+0{,}5-0{,}125\right) = \frac{\sqrt3}{2}\cdot 36\cdot 1{,}375 \approx 42{,}86 \text{ см}^2,$

что заметно меньше максимума $46{,}77$ см$^2$. Этот пример хорошо показывает главную идею: периметр шестиугольного сечения куба - инвариант, а площадь максимальна только в одной точке, ровно посередине диагонали.

Частые ошибки

• Путают диагональ грани и пространственную диагональ. Плоскость должна быть перпендикулярна именно пространственной диагонали $AC_1$ (идёт через весь куб), а не диагонали одной грани.
• Ищут середину диагонали «на глаз». Середина пространственной диагонали куба - это его геометрический центр; координаты середины удобнее считать явно, как $\left(\tfrac a2,\tfrac a2,\tfrac a2\right)$.
• Считают сечение квадратом. Сечение, перпендикулярное диагонали и проходящее через центр, - именно шестиугольник, а не квадрат: квадратные сечения куба получаются другими плоскостями (например, диагональными).
• Забывают, что правильным сечение бывает только в одной точке. При любом другом положении секущей плоскости внутри «шестиугольной» зоны стороны чередуются и шестиугольник неправильный, хотя все его углы всё равно равны $120°$.
• Путают периметр и площадь при проверке ответа. Периметр сечения постоянен на всём диапазоне, где сечение - шестиугольник, а площадь меняется и достигает максимума только в центре.

FAQ

Чему равна сторона правильного шестиугольного сечения куба с ребром $a$? Сторона равна $L = \dfrac{a\sqrt2}{2}$ - плоскость проходит через середину пространственной диагонали, а вершины шестиугольника лежат в серединах шести рёбер куба.

Через какие точки куба проходит плоскость правильного шестиугольного сечения? Через середины шести рёбер, которые не примыкают к концам выбранной пространственной диагонали, - по три ребра у каждой из двух противоположных вершин.

Может ли сечение куба быть неправильным шестиугольником? Да - если секущая плоскость перпендикулярна диагонали, но сдвинута от центра куба, все углы сечения всё равно равны $120°$, но стороны чередуются между двумя разными длинами, поэтому шестиугольник неправильный.

Коротко

Плоскость, перпендикулярная пространственной диагонали куба с ребром $a$, при прохождении через центр куба даёт правильный шестиугольник со стороной $L = \dfrac{a\sqrt2}{2}$, периметром $P = 3a\sqrt2$ и площадью $S = \dfrac{3\sqrt3}{4}a^2$ - наибольшим из всех плоских сечений куба. При смещении плоскости от центра (но внутри средней трети диагонали) сечение остаётся шестиугольником с углами $120°$, но становится неправильным: периметр сохраняется, а площадь уменьшается.