Расстояние между скрещивающимися прямыми в кубе: 4 случая

Куб - самая частая фигура в задачах на скрещивающиеся прямые: у него всего восемь вершин, но пар прямых, которые не пересекаются и не параллельны, там наберётся не один десяток. Ребро и диагональ соседней грани, диагональ куба и диагональ грани, две диагонали смежных граней - за каждой парой стоит своя чистая формула через ребро $a$, и почти всегда её можно получить методом координат за несколько строк. Ниже разберём общий алгоритм и четыре типовых случая с готовыми ответами. Чтобы сразу увидеть, как меняется расстояние при выборе пары прямых и длины ребра, покрутите калькулятор ниже: он рисует куб, подсвечивает выбранную пару и общий перпендикуляр между ними.

Как задать координаты вершин куба

Удобнее всего поместить куб в систему координат так, чтобы одна вершина легла в начало, а три ребра из неё пошли вдоль осей. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$:

$A(0;0;0), \quad B(a;0;0), \quad C(a;a;0), \quad D(0;a;0),$ $A_1(0;0;a), \quad B_1(a;0;a), \quad C_1(a;a;a), \quad D_1(0;a;a).$

Нижняя грань $ABCD$ лежит в плоскости $z=0$, верхняя $A_1B_1C_1D_1$ - в плоскости $z=a$. Как только вершины пронумерованы координатами, любая прямая куба задаётся точкой и направляющим вектором как разность координат двух её вершин, а дальше работает общая формула расстояния между скрещивающимися прямыми через векторное произведение.

Общий метод: векторное произведение и проекция

Пусть первая прямая проходит через точку $P_1$ с направляющим вектором $\vec u$, а вторая - через $P_2$ с вектором $\vec v$. Расстояние между скрещивающимися прямыми:

$d = \frac{\bigl|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec u \times \vec v)\bigr|}{|\vec u \times \vec v|}.$

Смысл формулы: вектор $\vec u \times \vec v$ перпендикулярен обеим прямым сразу - это и есть направление общего перпендикуляра. Остаётся спроецировать на него вектор $\vec{P_1P_2}$, соединяющий любые две точки прямых, и взять модуль. В кубе координаты вершин - это готовые небольшие числа (0 и $a$), поэтому векторное произведение почти всегда получается компактным, без громоздкой арифметики.

Рассчитать для своей задачи

Метод координат хорош ещё и тем, что не требует чертить дополнительные плоскости или доказывать перпендикулярность на глаз - все действия сводятся к вычитанию координат, векторному произведению и одному скалярному произведению.

Четыре типичных случая скрещивающихся прямых в кубе

В задачниках почти всегда встречается один из четырёх наборов прямых. Рассмотрим их по очереди, беря куб с ребром $a$.

Рассчитать для своей задачи

1. Два скрещивающихся ребра. Например, $AB$ и $A_1D_1$: первое ребро идёт вдоль оси $x$ на нижней грани, второе - вдоль оси $y$ на верхней. Направляющие векторы $\vec u = (1;0;0)$ и $\vec v = (0;1;0)$ перпендикулярны, их произведение $\vec u \times \vec v = (0;0;1)$ смотрит строго вверх. Проекция вектора $\vec{AA_1} = (0;0;a)$ на эту ось равна $a$ без остатка:

$d(AB,\,A_1D_1) = a.$

Общий перпендикуляр в этом случае - само ребро $AA_1$: оно единственное соединяет обе прямые под прямым углом к каждой из них.

2. Ребро и диагональ несмежной грани. Возьмём ребро $BB_1$ (вертикальное) и диагональ нижней грани $AC$. Векторное произведение направляющих $\vec u=(0;0;1)$ и $\vec v=(1;1;0)$ даёт $(-1;1;0)$ длиной $\sqrt2$, а проекция вектора $\vec{AB}=(a;0;0)$ на него равна $a$. Отсюда

$d(BB_1,\,AC) = \frac{a}{\sqrt2} = \frac{a\sqrt2}{2}.$

Общий перпендикуляр здесь соединяет вершину $B$ с серединой диагонали $AC$ - центром нижней грани.

3. Диагонали двух смежных граней. Классическая пара - диагональ $AB_1$ грани $ABB_1A_1$ и диагональ $BC_1$ грани $BCC_1B_1$. Они не пересекаются (иначе куб бы «сложился»), а их направляющие векторы $(1;0;1)$ и $(0;1;1)$ дают произведение длиной $\sqrt3$. Считая проекцию, получаем

$d(AB_1,\,BC_1) = \frac{a}{\sqrt3} = \frac{a\sqrt3}{3}.$

Здесь общий перпендикуляр упирается не в вершины, а во внутренние точки обеих диагоналей - на трети и на двух третях их длины.

4. Диагональ куба и диагональ грани. Пространственная диагональ $AC_1$ и диагональ нижней грани $BD$, которая её не пересекает (в отличие от $BD_1$, которая проходит через центр куба вместе с $AC_1$). Направляющие $(1;1;1)$ и $(-1;1;0)$ дают произведение длиной $\sqrt6$, а итоговое расстояние

$d(AC_1,\,BD) = \frac{a}{\sqrt6} = \frac{a\sqrt6}{6}.$

Это самое маленькое из четырёх расстояний - пространственная диагональ проходит ближе всего к центру куба, поэтому и до соседней диагонали грани ей рукой подать.

Пример решения типовой задачи

Пусть ребро куба $a = 6$ см, и нужно найти расстояние между диагоналями смежных граней $AB_1$ и $BC_1$ - это случай 3 из списка выше.

Вводим координаты: $A(0;0;0)$, $B_1(6;0;6)$, $B(6;0;0)$, $C_1(6;6;6)$. Направляющие векторы:

$\vec u = \overrightarrow{AB_1} = (6;0;6), \qquad \vec v = \overrightarrow{BC_1} = (0;6;6).$

Их векторное произведение:

$\vec u \times \vec v = (0\cdot6-6\cdot6,\; 6\cdot0-6\cdot6,\; 6\cdot6-0\cdot0) = (-36;-36;36),$

а его длина $|\vec u \times \vec v| = 36\sqrt3$. Вектор, соединяющий точки прямых, $\overrightarrow{AB} = (6;0;0)$, и его скалярное произведение с $\vec u \times \vec v$ равно $6\cdot(-36) = -216$. Тогда

$d = \frac{|-216|}{36\sqrt3} = \frac{216}{36\sqrt3} = \frac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3 \approx 3{,}46\ \text{см}.$

Ответ совпадает с формулой случая 3: $d = a\sqrt3/3 = 6\sqrt3/3 = 2\sqrt3$. Совпадение результатов, полученных «в лоб» через координаты и по готовой формуле, - хорошая самопроверка перед сдачей задачи.

Рассчитать для своей задачи

Частые ошибки

• Перепутать диагональ грани с диагональю куба. $BD$ и $BD_1$ выглядят похоже в записи, но $BD_1$ - пространственная диагональ, пересекающая $AC_1$ в центре куба, а $BD$ лежит в одной грани и с $AC_1$ не пересекается. Прежде чем считать, убедитесь, что прямые действительно скрещивающиеся, а не пересекаются.
• Взять направляющий вектор не той длины и забыть привести к единичному. Формула с векторным произведением работает с любыми (не обязательно единичными) направляющими, но при попытке сократить дробь вручную это иногда путает знаки - аккуратнее с сокращением.
• Спутать точки на прямых. В числителе стоит вектор, соединяющий ЛЮБЫЕ две точки первой и второй прямой - не обязательно ближайшие. Результат от выбора точек не меняется, но если взять точку не с той прямой, ответ будет неверным с самого начала.
• Забыть про знак модуля. Смешанное произведение в числителе может получиться отрицательным - это нормально, в формуле берётся его модуль. Отрицательный ответ для расстояния - сигнал, что где-то потерян знак.
• Считать, что все скрещивающиеся рёбра дают одинаковый ответ. Расстояние зависит от конкретной пары прямых: для рёбер это $a$, для ребра и диагонали грани - $a\sqrt2/2$, и так далее. Механически подставлять один и тот же коэффициент нельзя.

FAQ

Чему равно расстояние между скрещивающимися рёбрами куба? Если рёбра перпендикулярны и лежат в параллельных гранях (например, $AB$ и $A_1D_1$), расстояние между ними равно длине ребра $a$ - общий перпендикуляр в этом случае совпадает с боковым ребром куба.

Как найти расстояние между диагональю куба и скрещивающейся с ней диагональю грани? Нужно задать координаты диагоналей (например, $AC_1$ и $BD$), найти векторное произведение их направляющих векторов и спроецировать на него вектор между точками прямых. Для куба с ребром $a$ ответ равен $a\sqrt6/6$.

Обязательно ли использовать метод координат? Нет, но для куба он почти всегда быстрее геометрических построений: вершины уже дают простые целочисленные координаты, а формула через векторное произведение не требует достраивать вспомогательные плоскости или доказывать перпендикулярность отдельно.

Коротко

В кубе с ребром $a$ расстояние между скрещивающимися прямыми удобнее всего искать методом координат: направляющие векторы обеих прямых дают векторное произведение, а проекция на него соединяющего вектора и есть искомое расстояние. Для четырёх типичных пар ответы получаются чистыми: $a$ для скрещивающихся рёбер, $a\sqrt2/2$ для ребра и диагонали грани, $a\sqrt3/3$ для диагоналей смежных граней, $a\sqrt6/6$ для диагонали куба и диагонали грани. Проверять себя удобно двумя путями сразу - через готовую формулу и через прямой расчёт по координатам, как в разобранном примере.