Смешивание растворов разной концентрации: формула и правило

Смешивание растворов разной концентрации - одна из самых частых задач школьного и вузовского курса химии: два раствора с разной массовой долей вещества сливают вместе, и нужно найти концентрацию получившейся смеси или, наоборот, подобрать, сколько взять каждого раствора, чтобы получить заданную концентрацию. Первый вопрос решается прямой подстановкой в формулу правила смешения, второй - без перебора решает старый приём под названием «правило креста» (или квадрат Пирсона). Ниже разберём обе формулы, их вывод и типичные ошибки, а сразу почувствовать, как концентрация смеси зависит от масс и долей исходных растворов, поможет калькулятор ниже - он считает оба направления задачи мгновенно.

Формула концентрации смеси

Пусть есть раствор 1 массой $m_1$ с массовой долей вещества $w_1$ и раствор 2 массой $m_2$ с массовой долей $w_2$. Масса самого растворённого вещества в каждом растворе находится из определения массовой доли:

$m_{\text{в-ва},1} = m_1 w_1, \qquad m_{\text{в-ва},2} = m_2 w_2.$

При смешивании массы просто складываются: и масса растворов, и масса вещества в них - величины аддитивные, ничего не исчезает и не появляется. Значит, масса смеси и масса вещества в смеси равны:

$m_3 = m_1 + m_2, \qquad m_{\text{в-ва},3} = m_1 w_1 + m_2 w_2.$

Массовая доля смеси - это отношение массы вещества к массе смеси, отсюда и берётся главная формула:

$w_3 = \frac{m_1 w_1 + m_2 w_2}{m_1 + m_2}.$

Рассчитать для своей задачи

Из формулы сразу видно ключевое свойство: $w_3$ всегда лежит между $w_1$ и $w_2$ - ниже большей концентрации и выше меньшей. Это самая простая проверка ответа: если после расчёта концентрация смеси оказалась больше обеих исходных или меньше обеих, где-то допущена арифметическая ошибка. Если один из растворов - чистый растворитель (например, вода), то его концентрация $w_2 = 0$, и формула упрощается до разбавления: $w_3 = m_1 w_1 / (m_1 + m_2)$.

Правило креста: как подобрать пропорцию без перебора

На практике часто встречается обратная задача: даны концентрации двух растворов $w_1$ и $w_2$, и нужно получить смесь с заранее известной концентрацией $w_3$. Перебирать массы вручную неудобно - для этого придуман приём, известный как правило креста или квадрат Пирсона. Суть в том, что нужное соотношение масс раствора 1 и раствора 2 равно отношению разностей концентраций, взятых крест-накрест:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{|w_2 - w_3|}{|w_3 - w_1|}.$

Рассчитать для своей задачи

Схема читается так: пишем $w_1$ и $w_2$ по краям, целевую концентрацию $w_3$ - в центре. По диагонали от каждой исходной концентрации к целевой считаем разность по модулю: она и даёт число «частей» противоположного раствора. Часть, относящаяся к раствору 1, равна $|w_2 - w_3|$, а часть раствора 2 - $|w_3 - w_1|$. Соотношение этих частей и есть искомое соотношение масс $m_1 : m_2$. Дальше, зная нужную суммарную массу смеси $m_3$, массы находятся пропорционально: $m_1 = m_3 \cdot \dfrac{\text{часть}_1}{\text{часть}_1+\text{часть}_2}$, аналогично для $m_2$.

Важное ограничение метода: он работает, только когда целевая концентрация $w_3$ лежит строго между $w_1$ и $w_2$. Если $w_3$ окажется за пределами этого промежутка, получить такую концентрацию смешиванием именно этих двух растворов невозможно - придётся либо менять исходные растворы, либо выпаривать воду, что уже отдельная операция.

Почему правило креста вообще работает

Правило креста - не отдельный физический закон, а компактная переформулировка той же формулы смешения. Если подставить $w_3 = (m_1 w_1 + m_2 w_2)/(m_1+m_2)$ и выразить $m_1/m_2$, после упрощения дроби как раз и получается отношение $|w_2 - w_3| : |w_3 - w_1|$. Доказать это можно и «на пальцах»: представим $w_3$ как средневзвешенное значение $w_1$ и $w_2$ с весами $m_1$ и $m_2$ - чем больше масса раствора, тем сильнее его концентрация «перетягивает» итоговое значение к себе. Значит, расстояние от $w_3$ до концентрации меньшего по весу раствора должно быть больше, а до концентрации большего по весу - меньше, и в точности в обратной пропорции массам. Правило креста просто фиксирует эту зависимость в удобной для устного счёта форме, не требуя решать уравнение каждый раз заново.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку. Дан раствор 1 массой $m_1 = 300$ г с массовой долей вещества $w_1 = 40\%$ и раствор 2 массой $m_2 = 200$ г с массовой долей $w_2 = 10\%$. Нужно найти концентрацию получившейся смеси.

Считаем массу вещества в каждом растворе:

$m_{\text{в-ва},1} = 300 \cdot 0{,}4 = 120\ \text{г}, \qquad m_{\text{в-ва},2} = 200 \cdot 0{,}1 = 20\ \text{г}.$

Складываем массы растворов и массы вещества:

$m_3 = 300 + 200 = 500\ \text{г}, \qquad m_{\text{в-ва},3} = 120 + 20 = 140\ \text{г}.$

Массовая доля смеси:

$w_3 = \frac{140}{500} = 0{,}28 = 28\%.$

Проверка: $28\%$ действительно лежит между $10\%$ и $40\%$, значит, ответ правдоподобен.

Теперь обратная задача через правило креста: есть раствор с концентрацией $w_1 = 10\%$ и раствор с концентрацией $w_2 = 70\%$, нужно получить $m_3 = 400$ г смеси с концентрацией $w_3 = 25\%$. Части по кресту:

$\text{часть}_1 = |70 - 25| = 45, \qquad \text{часть}_2 = |25 - 10| = 15.$

Соотношение $m_1 : m_2 = 45 : 15 = 3 : 1$. Значит, на 4 условные части приходится 400 г, одна часть - 100 г, отсюда $m_1 = 300$ г раствора с концентрацией 10%, $m_2 = 100$ г раствора с концентрацией 70%. Проверка прямой формулой: $w_3 = (300 \cdot 0{,}1 + 100 \cdot 0{,}7)/400 = (30+70)/400 = 0{,}25 = 25\%$ - сходится.

Смешивание трёх и более растворов

Формула легко обобщается на любое число растворов: масса вещества в смеси равна сумме масс вещества по всем растворам, а масса смеси - сумме всех масс:

$w_{\text{смеси}} = \frac{\sum_i m_i w_i}{\sum_i m_i}.$

Если один из «растворов» на самом деле чистая вода, у неё просто $w_i = 0$, и она вносит вклад только в знаменатель - увеличивает суммарную массу, но не добавляет вещества. Такой же подход применим, если к раствору добавляют не воду, а чистое вещество (тогда для него $w_i = 100\%$, то есть его масса целиком идёт в числитель).

Частые ошибки

• Складывать концентрации, а не массы вещества. Нельзя просто взять среднее арифметическое $w_1$ и $w_2$ - оно верно только при равных массах растворов. В общем случае среднее должно быть взвешенным по массам.
• Путать массу раствора и массу вещества. В формуле $w_3$ в числителе стоит масса именно вещества ($m_i w_i$), а не масса самого раствора.
• Забыть перевести проценты в доли. Если $w$ подставляется в процентах, а не в долях единицы, результат нужно домножить на 100 в конце - либо сразу переводить проценты в доли ($40\% \to 0{,}4$) перед подстановкой.
• Применять правило креста при $w_3$ вне диапазона $[w_1, w_2]$. Если целевая концентрация не лежит строго между исходными, смешиванием этих двух растворов её получить нельзя - метод в таком случае просто не имеет смысла.
• Путать, какая разность к какому раствору относится. В правиле креста часть, посчитанная от $w_2$, относится к раствору 1, а не к раствору 2 - крест потому и называется крестом, что линии идут навстречу друг другу.

FAQ

Как найти массовую долю при смешивании раствора с водой? Вода - это раствор с $w_2 = 0$, поэтому масса вещества не меняется, а масса смеси растёт на массу добавленной воды: $w_3 = m_1 w_1 / (m_1 + m_{\text{воды}})$.

Можно ли получить концентрацию выше, чем в обоих исходных растворах? Нет, если смешиваются только два раствора без выпаривания. Итоговая концентрация всегда находится строго между исходными - это прямое следствие того, что $w_3$ является средневзвешенным значением $w_1$ и $w_2$.

Работает ли правило креста для объёмных долей, а не массовых? Да, тот же приём применим к любой аддитивной характеристике - объёмной доле, молярной концентрации при условии постоянства объёма при смешении. Главное - чтобы складывались именно величины, которые вы усредняете, без нелинейных эффектов вроде изменения объёма при смешивании (как это иногда бывает со спиртовыми растворами).

Что делать, если нужно смешать не два, а три раствора? Использовать обобщённую формулу со суммой по всем растворам: $w_{\text{смеси}} = \sum m_i w_i / \sum m_i$. Правило креста для трёх растворов напрямую не работает - оно рассчитано именно на пару.

Коротко

Концентрация смеси двух растворов находится как отношение суммы масс вещества к сумме масс растворов: $w_3 = (m_1 w_1 + m_2 w_2)/(m_1+m_2)$, и она всегда лежит между $w_1$ и $w_2$. Обратная задача - подбор пропорции под заданную целевую концентрацию - решается правилом креста: части растворов относятся как $|w_2-w_3| : |w_3-w_1|$, что позволяет сразу получить нужное соотношение масс без перебора чисел.