Теорема Арцела-Асколи: критерий компактности в C(K)

В пространстве непрерывных функций $C(K)$ на компакте $K$ замкнутости и ограниченности уже недостаточно для компактности: $C(K)$ бесконечномерно. Теорема Арцела–Асколи даёт правильный критерий: к ограниченности нужно добавить «общую» равномерность по аргументу - равностепенную непрерывность. Этот язык лежит в основе доказательства теоремы Пеано, теории компактных операторов и многих оценок в вариационном исчислении.

Формулировка для $C(K)$

Пусть $K$ - компактное метрическое пространство, $C(K)$ - банахово пространство непрерывных функций на $K$ с нормой $\|f\| = \sup_{x \in K} |f(x)|$. Семейство $\mathcal{F} \subset C(K)$ предкомпактно (его замыкание компактно) тогда и только тогда, когда выполнены оба условия:

1. $\mathcal{F}$ равномерно ограничено: существует $M$ такое, что $|f(x)| \le M$ для всех $f \in \mathcal{F}$ и $x \in K$.
2. $\mathcal{F}$ равностепенно непрерывно: для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$ такое, что $|f(x) - f(y)| < \varepsilon$ для всех $f \in \mathcal{F}$ и любых $x, y \in K$ с $d(x, y) < \delta$.

Эквивалентно: каждая последовательность $\{f_n\} \subset \mathcal{F}$ содержит подпоследовательность, равномерно сходящуюся на $K$. В этой подаче теорема - это инструмент извлечения «сходящейся ветви» из ограниченного множества функций.

Равностепенная непрерывность: поточечная и равномерная

Семейство $\mathcal{F}$ называется поточечно равностепенно непрерывным в точке $x_0$, если для каждого $\varepsilon > 0$ есть свой $\delta = \delta(\varepsilon, x_0)$, общий для всех $f$. Равномерная равностепенность на $K$ требует, чтобы $\delta$ зависело только от $\varepsilon$ и работало сразу во всех точках. На компакте эти два понятия совпадают: из поточечной равностепенности и компактности $K$ стандартным аргументом покрытия выводится равномерная.

Полезный достаточный признак: если все $f \in \mathcal{F}$ дифференцируемы и $\sup_{f \in \mathcal{F}} \|f'\|_\infty \le L < \infty$, то по теореме Лагранжа семейство равностепенно непрерывно с $\delta = \varepsilon / L$. То же верно при общей оценке Липшица или Гёльдера с фиксированной константой.

Набросок доказательства: диагональный аргумент Кантора

Покажем нетривиальное направление: из (1) и (2) следует существование равномерно сходящейся подпоследовательности.

Шаг 1. На компакте $K$ выбираем счётное всюду плотное множество $\{x_k\}_{k=1}^\infty$ (существует, потому что компакт сепарабелен).

Шаг 2. Последовательность чисел $\{f_n(x_1)\}$ ограничена, выделяем сходящуюся подпоследовательность $\{f_n^{(1)}\}$. Из неё - подпоследовательность $\{f_n^{(2)}\}$, сходящуюся в $x_2$. И так далее. Берём диагональ $g_n = f_n^{(n)}$ - она сходится во всех $x_k$ одновременно.

Шаг 3. Пусть $\varepsilon > 0$. По равностепенной непрерывности выбираем $\delta$. Конечный набор шаров $B(x_{k_1}, \delta), \dots, B(x_{k_N}, \delta)$ покрывает $K$. На этом конечном наборе $g_n(x_{k_i})$ сходится, поэтому при больших $n, m$ значения близки. Для произвольного $x \in K$ найдём ближайший $x_{k_i}$ и оценим:

$|g_n(x) - g_m(x)| \le |g_n(x) - g_n(x_{k_i})| + |g_n(x_{k_i}) - g_m(x_{k_i})| + |g_m(x_{k_i}) - g_m(x)| < 3\varepsilon.$

Это даёт фундаментальность $\{g_n\}$ в $C(K)$, а значит равномерную сходимость.

Применение: теорема Пеано

Рассмотрим задачу Коши $y' = f(x, y)$, $y(x_0) = y_0$, где $f$ только непрерывна (без липшицевости). Стандартное приближение - ломаные Эйлера $y_h$ с шагом $h$. На фиксированном отрезке $[x_0, x_0 + a]$ все $y_h$ ограничены одной константой (берём $a$ так, чтобы решения не «убежали»), и наклон каждого звена не превосходит $M = \sup |f|$, что даёт липшицевость с константой $M$ - общую для всего семейства.

По Арцела–Асколи $\{y_h\}$ предкомпактно, выделяем равномерно сходящуюся подпоследовательность $y_{h_k} \to \varphi$. Переход к пределу в интегральном уравнении $y_h(x) \approx y_0 + \int_{x_0}^x f(s, y_h(s))\, ds$ даёт, что $\varphi$ - решение (внесение предела под интеграл здесь обосновано равномерной сходимостью, в более тонких случаях работает теорема Лебега о мажорируемой сходимости). Без Асколи переход к пределу не обоснован: где гарантия, что предельная функция вообще существует и непрерывна.

Применение: компактные операторы интегрального типа

Оператор $K: C[a,b] \to C[a,b]$, заданный ядром $\kappa(x, y)$ непрерывным на квадрате, $(Kf)(x) = \int_a^b \kappa(x, y) f(y)\, dy$, переводит ограниченные множества в равностепенно непрерывные. Если $\|f\| \le R$, то

$|(Kf)(x) - (Kf)(x')| \le R(b - a) \cdot \omega_\kappa(|x - x'|),$

где $\omega_\kappa$ - модуль непрерывности $\kappa$. По Арцела–Асколи образ единичного шара предкомпактен - оператор компактен. Это базовый кирпич спектральной теории: для компактного самосопряжённого оператора есть теорема Гильберта–Шмидта о разложении по собственным функциям, а сам спектр дискретен (кроме, возможно, нуля). Сопутствующий результат о структуре самого пространства $C(K)$ - теорема Стоуна–Вейерштрасса о плотности подалгебр, которая гарантирует, что многочлены или другие подалгебры аппроксимируют любую непрерывную функцию равномерно.

Варианты: метрические компакты и банаховы пространства

Если $K$ только метрический компакт, формулировка не меняется. Для локально компактного $X$ нужен дополнительный поточечный контроль на бесконечности (компактная сходимость на компактах + равностепенность на каждом). Версия в общем банаховом пространстве звучит так: $\mathcal{F} \subset C(K, Y)$ предкомпактно тогда и только тогда, когда семейство равностепенно непрерывно и для каждого $x \in K$ множество $\{f(x) : f \in \mathcal{F}\}$ предкомпактно в $Y$. Когда $Y = \mathbb{R}^n$, это сводится к покоординатной ограниченности - обычный случай в ОДУ.

Типовые задачи

• Доказать, что множество многочленов степени не выше $n$ с коэффициентами $|a_k| \le 1$ предкомпактно в $C[0,1]$: проверяем общую липшиц-оценку через сумму $\sum |k a_k| \le n^2/2$ - годится, равностепенная непрерывность есть.
• Из ограниченной последовательности решений уравнения теплопроводности на компакте выделить подпоследовательность, сходящуюся равномерно: ключ - оценка градиента из априорных оценок, отсюда равностепенность.
• Показать, что замкнутый единичный шар в $C[0,1]$ не компактен: контрпример - $f_n(x) = \sin(\pi n x)$, в котором нет равномерной сходимости (см. ниже).
• Доказать предкомпактность множества функций распределения вероятностей с равномерно ограниченными плотностями: ограниченность плотности даёт общую липшиц-оценку для интегралов.
• Из последовательности приближений Галёркина выделить подпоследовательность, сходящуюся к слабому решению уравнения: компактность вложения соболевских классов плюс Арцела–Асколи в нужной шкале.

Контрпримеры

Без равностепенной непрерывности теорема не работает. Классический пример: $f_n(x) = \sin(nx)$ на $[0, 2\pi]$. Семейство равномерно ограничено единицей, но при $x$ близких к $x'$ разница $|\sin(nx) - \sin(nx')|$ для большого $n$ может быть порядка единицы - равностепенной непрерывности нет. Никакая подпоследовательность $f_{n_k}$ не сходится равномерно (а в $L^2$ слабая сходимость к нулю по лемме Римана–Лебега).

Второй пример: $f_n(x) = x^n$ на $[0, 1]$. Поточечный предел разрывен в точке $x = 1$ - равностепенной непрерывности около единицы нет, хотя семейство ограничено. Подпоследовательность не извлекается.

Частые ошибки

• Считать, что «ограниченное в норме» = «компактное» в бесконечной размерности - неверно даже в сепарабельном гильбертовом пространстве.
• Путать поточечную сходимость на счётном плотном множестве с равномерной - без равностепенности это разные вещи.
• Применять Арцела–Асколи к семейству на некомпактной области без дополнительных оговорок (нужна локализация или контроль на бесконечности).
• Забывать про условие на образ в банаховом случае: ограниченности по норме мало, нужна предкомпактность поточечных множеств.
• Использовать теорему Пеано как «продолжение по Липшицу»: единственность решения по Пеано не гарантируется - теорема даёт только существование.

FAQ

Чем теорема Арцела–Асколи отличается от теоремы Больцано–Вейерштрасса? Больцано–Вейерштрасс - про конечномерное пространство $\mathbb{R}^n$: ограниченность даёт сходящуюся подпоследовательность. Арцела–Асколи - обобщение на бесконечномерное $C(K)$, где нужно добавить равностепенную непрерывность, иначе ограниченности мало.

Почему именно равностепенная непрерывность, а не просто непрерывность каждой функции? Каждая отдельная $f$ непрерывна по условию (мы в $C(K)$). Нужна общая оценка: один $\delta$ для всех $f$ сразу. Без этого диагональный аргумент не даст равномерной сходимости - только поточечную.

Где Арцела–Асколи применяется в задачах оптимизации? В прямом методе вариационного исчисления: из минимизирующей последовательности с ограниченной нормой и компактностью вложений (например, Соболева в $C$) извлекают подпоследовательность, сходящуюся равномерно. Затем переходят к пределу в функционале и показывают, что минимум достигается.

Коротко

Теорема Арцела–Асколи отвечает на вопрос: когда семейство непрерывных функций на компакте предкомпактно в равномерной норме. Ответ - равномерная ограниченность плюс равностепенная непрерывность. Доказательство идёт через диагональный процесс Кантора по счётному плотному множеству. Из приложений - теорема Пеано о существовании решения ОДУ, компактность интегральных операторов с непрерывным ядром и спектральная теория. Классический контрпример - $f_n(x) = \sin(nx)$: ограничено, но не равностепенно непрерывно, поэтому подпоследовательности равномерно не сходятся.