Туннельный эффект: прохождение частицы через барьер

Туннельный эффект - одно из самых наглядных доказательств того, что микрочастицы не подчиняются классической механике. Электрон с энергией меньше высоты барьера в классическом мире обязан отразиться назад, как мяч от стены. В квантовой механике у него есть отличная от нуля вероятность оказаться по другую сторону барьера, будто он прошёл сквозь стену. Разберём, откуда берётся эта вероятность, как её посчитать через коэффициент прозрачности $D$ и почему результат так резко зависит от ширины барьера и массы частицы. Ниже - калькулятор: задайте высоту барьера, энергию частицы и её массу, и увидите, как меняется прозрачность на обеих диаграммах сразу.

Почему туннелирование вообще возможно

В классической механике частица с энергией $E$ меньше высоты барьера $U_0$ не может оказаться внутри барьера - там её кинетическая энергия была бы отрицательной. В квантовой механике состояние частицы описывается не траекторией, а волновой функцией $\psi(x)$, которая подчиняется уравнению Шрёдингера. Внутри барьера уравнение не запрещает решение - оно просто перестаёт быть колебательным (синус, косинус) и становится экспоненциально затухающим. Волновая функция не обрывается на границе барьера, а плавно спадает внутри него и снова становится колебательной по другую сторону, только с меньшей амплитудой. Именно эта остаточная амплитуда и даёт ненулевую вероятность найти частицу за барьером.

Уравнение Шрёдингера внутри барьера

Пусть барьер прямоугольный: высота $U_0$, ширина $L$, частица с массой $m$ и энергией $E < U_0$ подлетает слева. Вне барьера уравнение Шрёдингера даёт бегущие волны, а внутри барьера, при $0 \le x \le L$, стационарное уравнение принимает вид

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + U_0\psi = E\psi.$

Перепишем его как $\psi'' = \kappa^2\psi$, где

$\kappa = \frac{\sqrt{2m(U_0 - E)}}{\hbar}.$

Это уравнение экспоненты, а не синуса: решение внутри барьера - комбинация $e^{\kappa x}$ и $e^{-\kappa x}$, то есть волновая функция экспоненциально затухает по мере продвижения вглубь барьера. Параметр $\kappa$ имеет смысл обратной длины затухания: чем он больше (тяжелее частица или выше барьер над энергией частицы), тем быстрее гаснет волновая функция.

Формула коэффициента прозрачности

Сшивая волновую функцию и её производную на обеих границах барьера ($x=0$ и $x=L$), получают точный коэффициент прозрачности прямоугольного барьера:

$D = \left(1 + \frac{U_0^2 \sinh^2(\kappa L)}{4E(U_0 - E)}\right)^{-1}.$

Рассчитать для своей задачи

При широком барьере ($\kappa L \gg 1$) гиперболический синус растёт почти как экспонента, и формула упрощается до знакомого приближения

$D \approx 16\,\frac{E}{U_0}\left(1 - \frac{E}{U_0}\right) e^{-2\kappa L},$

которое и объясняет главный качественный вывод: прозрачность барьера убывает экспоненциально с ростом произведения $\kappa L$, то есть с ростом ширины барьера, массы частицы и «глубины» запрета $U_0 - E$. Коэффициент отражения дополняет прозрачность до единицы: $R = 1 - D$, других каналов у частицы нет.

Рассчитать для своей задачи

От чего зависит вероятность туннелирования

Экспоненциальная чувствительность $D$ к параметрам барьера - не абстракция, а то, что можно почувствовать на числах. Возьмём барьер высотой $U_0 = 5$ эВ и электрон с энергией $E = 2$ эВ: при ширине $L = 0{,}5$ нм прозрачность $D \approx 0{,}05\%$, а при увеличении ширины всего на $0{,}1$ нм, до $0{,}6$ нм, $D$ падает почти в 6 раз. Ширина барьера входит в показатель экспоненты, поэтому даже небольшие изменения масштаба нанометров заметно меняют результат - это и есть физическая основа сканирующей туннельной микроскопии, где ток чувствителен к расстоянию между иглой и поверхностью на уровне долей ангстрема.

Не менее сильно на $\kappa$, а значит и на $D$, влияет масса частицы: $\kappa \propto \sqrt{m}$. Протон почти в 1836 раз тяжелее электрона, поэтому при тех же $U_0$, $E$ и $L$ параметр $\kappa$ для протона в $\sqrt{1836} \approx 43$ раза больше, а прозрачность падает на десятки порядков - при тех же 5 эВ, 2 эВ и 0,5 нм электрон туннелирует с вероятностью около $5\cdot10^{-4}$, а протон - с вероятностью порядка $10^{-165}$, то есть практически никогда. Именно поэтому туннелирование заметно в электронных процессах (эмиссия, диоды, микроскопия) и почти незаметно для тяжёлых частиц на нанометровых масштабах, но становится значимым для альфа-распада, где барьер намного уже за счёт формы кулоновского потенциала.

Энергия частицы и высота барьера

При фиксированной ширине барьера прозрачность растёт при приближении энергии частицы к высоте барьера - параметр $U_0 - E$ под корнем $\kappa$ уменьшается, барьер «истончается» с точки зрения экспоненциального затухания. В пределе $E \to U_0$ формула не даёт скачка до единицы, как иногда ошибочно предполагают: при точном равенстве энергий задача переходит в другой предельный случай (частица на пороге барьера), и разумный ответ дают уже методы, учитывающие резонансное поведение при $E \ge U_0$. Для практических расчётов важно помнить: приведённая формула справедлива именно при $E < U_0$, для случая прохождения над барьером ($E > U_0$) используется другое выражение с тригонометрическими, а не гиперболическими функциями.

Похожая логика работает и для непрямоугольных барьеров произвольной формы $U(x)$ - тогда точную формулу с гиперболическим синусом заменяет квазиклассическое приближение Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна (ВКБ):

$D \approx \exp\left(-\frac{2}{\hbar}\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{2m\big(U(x) - E\big)}\,dx\right),$

где $x_1$ и $x_2$ - точки, в которых $U(x) = E$ (классические точки поворота). Для прямоугольного барьера этот интеграл превращается в произведение $\kappa L$, и приближение ВКБ переходит в уже знакомую формулу с экспонентой. Именно интеграл ВКБ по форме реального кулоновского барьера объясняет, почему период полураспада альфа-активных изотопов может отличаться на много порядков при небольшой разнице энергий вылетающих альфа-частиц - эта зависимость называется законом Гейгера-Нэттолла и исторически была одним из первых подтверждений самой идеи туннелирования.

Частые ошибки

• Путают классическое «не может пройти» с квантовым «вероятность мала, но не нуль». Барьер выше энергии частицы не запрещает прохождение - он экспоненциально его подавляет.
• Забывают перевести энергию в одни и те же единицы. Если $U_0$ и $E$ даны в электрон-вольтах, а масса и $\hbar$ - в СИ, при подстановке в $\kappa$ энергию нужно домножить на заряд электрона (перевести в джоули), иначе размерность не сойдётся.
• Используют приближённую формулу $D \approx e^{-2\kappa L}$ без предфактора при небольшой ширине барьера. Такое приближение занижает $D$ в разы и годится только при $\kappa L \gg 1$; для тонких барьеров нужна точная формула с гиперболическим синусом.
• Путают ширину барьера $L$ с длиной волны де Бройля частицы. Это разные величины: $L$ - геометрический параметр барьера, длина волны определяется импульсом частицы вне барьера.
• Забывают, что $R = 1 - D$, а не независимая величина. У прямоугольного барьера без поглощения частица либо отражается, либо проходит - третьего не дано.

FAQ

Может ли коэффициент прозрачности барьера быть равен нулю? Строго нулю - нет, если барьер имеет конечную ширину: $D$ всегда положителен, хотя может быть исчезающе малым при большой ширине или массе частицы. Нулевой прозрачности формула достигает только в пределе бесконечно широкого барьера.

Почему электрон туннелирует легче протона? Потому что параметр затухания $\kappa$ пропорционален корню из массы частицы. У протона масса почти в 1836 раз больше массы электрона, поэтому $\kappa$ примерно в 43 раза больше и волновая функция протона гаснет внутри барьера намного быстрее - коэффициент прозрачности падает на десятки порядков при тех же $U_0$, $E$ и $L$.

Как коэффициент прозрачности зависит от ширины барьера? Экспоненциально: $D$ входит в показатель экспоненты через произведение $\kappa L$, поэтому увеличение ширины барьера даже на доли нанометра может уменьшить прозрачность в разы или на порядки - именно эта чувствительность лежит в основе сканирующей туннельной микроскопии.

Коротко

Туннельный эффект - это прохождение частицы через потенциальный барьер, высота которого больше её энергии, вопреки классическим представлениям. Его причина - волновая функция не обрывается на границе барьера, а экспоненциально затухает внутри него с параметром $\kappa = \sqrt{2m(U_0-E)}/\hbar$, и точный коэффициент прозрачности $D = \left(1 + U_0^2\sinh^2(\kappa L)/(4E(U_0-E))\right)^{-1}$ показывает, что вероятность прохождения экспоненциально зависит от ширины барьера, массы частицы и глубины запрета $U_0 - E$. Эта чувствительность объясняет и почему туннелирование заметно у лёгких частиц вроде электрона, и почему оно лежит в основе таких явлений, как альфа-распад и сканирующая туннельная микроскопия.