Коэффициент прозрачности потенциального барьера: формула

Коэффициент прозрачности потенциального барьера $D$ - это вероятность того, что микрочастица пройдёт сквозь область, где её энергии по классическим меркам не хватает. В классической механике ответ однозначен: если энергия частицы меньше высоты барьера, дальше пути нет, шарик просто отскочит назад. В квантовой механике всё иначе - решение уравнения Шрёдингера не обнуляется внутри барьера, а лишь затухает, и с некоторой вероятностью частица оказывается по другую сторону. Это явление называют туннельным эффектом, а величину, которая численно описывает шанс на успех, - коэффициентом прозрачности. Ниже разберём, как выводится формула для прямоугольного барьера, от чего она экспоненциально зависит и как её посчитать в конкретной задаче. Прежде чем идти в формулы, покрутите калькулятор ниже - он сразу показывает профиль барьера, волну и обе зависимости $D$.

Что такое потенциальный барьер

Потенциальным барьером называют область пространства, где потенциальная энергия частицы $U(x)$ выше, чем её полная энергия $E$ на подходе. Простейшая и самая частая в задачах модель - прямоугольный барьер высотой $U_0$ и шириной $d$: вне барьера $U = 0$, внутри - $U = U_0 = \text{const}$. Если частица налетает на такой барьер с энергией $E < U_0$, классически область $0 < x < d$ для неё запрещена: там кинетическая энергия была бы отрицательной, чего быть не может. Квантовая частица описывается не траекторией, а волновой функцией $\psi(x)$, и уравнение Шрёдингера внутри барьера даёт не нулевое, а экспоненциально затухающее решение. Именно из-за этого затухания часть волны всё же «просачивается» за барьер, и там снова возникает бегущая волна - уже с меньшей амплитудой.

Формула коэффициента прозрачности

Для прямоугольного барьера коэффициент прозрачности задачи о рассеянии обычно записывают в приближённой, но физически прозрачной форме:

$D = \exp\left(-\frac{2}{\hbar}\int_0^d \sqrt{2m\bigl(U(x)-E\bigr)}\;dx\right).$

Для постоянной высоты барьера $U(x) = U_0$ интеграл берётся элементарно, и формула сводится к виду, который и называют коэффициентом прозрачности прямоугольного барьера:

$D = \exp\left(-\frac{2d}{\hbar}\sqrt{2m(U_0-E)}\right), \qquad E < U_0.$

Здесь $m$ - масса частицы, $\hbar$ - постоянная Планка, $d$ - ширина барьера, $U_0 - E$ - тот самый энергетический «дефицит», из-за которого область классически запрещена. Показатель экспоненты удобно записывать через волновое число затухания

$\kappa = \frac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar}, \qquad D = e^{-2\kappa d},$

тогда $1/\kappa$ - характерная глубина, на которую волновая функция проникает в барьер, прежде чем её амплитуда упадёт в $e$ раз. Если энергия частицы становится не меньше высоты барьера, $E \ge U_0$, барьер перестаёт быть препятствием даже классически, и в рамках этой упрощённой модели курса общей физики принимают $D = 1$.

Рассчитать для своей задачи

От чего зависит коэффициент прозрачности

Формула $D = e^{-2\kappa d}$ показывает, что зависимость от параметров не линейная, а экспоненциальная - и именно это определяет всю физику туннелирования:

• Ширина барьера $d$. Даже небольшое увеличение $d$ резко снижает $D$, потому что $d$ стоит в показателе экспоненты. Для электрона с энергией на $3$ эВ ниже барьера удвоение ширины с $0{,}5$ до $1$ нм роняет коэффициент прозрачности почти в десять тысяч раз.
• Дефицит энергии $U_0 - E$. Он входит под корень в показателе экспоненты, поэтому его влияние слабее, чем у ширины, но тоже заметно: чем ближе энергия частицы к высоте барьера, тем прозрачнее барьер.
• Масса частицы $m$. Тоже стоит под корнем внутри показателя, но диапазон масс в физике огромен, поэтому эффект колоссальный: у протона масса почти в две тысячи раз больше электронной, и при тех же $U_0$, $E$, $d$ его коэффициент прозрачности на десятки порядков меньше - практически нулевой. Туннелирование через барьеры шириной в доли нанометра остаётся заметным только для лёгких частиц - электронов.

Рассчитать для своей задачи

Именно такая крутизна кривой $D(d)$ и лежит в основе сканирующей туннельной микроскопии: острие иглы приближают к поверхности на доли нанометра, и туннельный ток через зазор меняется на порядки при смещении иглы буквально на одну десятую нанометра - это и даёт атомарное разрешение прибора.

Классически запрещённая область и физический смысл

Ключевая тонкость, которую часто упускают: внутри барьера частица не «замедляется» и не «теряет часть энергии» - полная энергия $E$ остаётся прежней на всём пути, просто там, где $E < U(x)$, классической кинетической энергии формально не существует. Квантовая механика не требует, чтобы кинетическая энергия была определена в каждой точке - определена лишь волновая функция, и её плотность вероятности $|\psi(x)|^2 \propto e^{-2\kappa x}$ экспоненциально мала, но не равна нулю. Частица не «перепрыгивает» барьер и не движется классически внутри него - она в некотором смысле обнаруживается то по одну, то по другую сторону барьера, а вероятность обнаружить её именно за барьером и есть коэффициент прозрачности $D$. При этом ничего не нарушается: полная вероятность найти частицу либо прошедшей, либо отражённой всегда равна единице, $D + R = 1$, где $R$ - коэффициент отражения.

Пример решения задачи

Разберём типовую формулировку. Электрон с энергией $E = 2$ эВ движется на прямоугольный потенциальный барьер высотой $U_0 = 5$ эВ и шириной $d = 0{,}5$ нм. Найти коэффициент прозрачности барьера.

Сначала находим дефицит энергии: $U_0 - E = 3$ эВ. Переводим его в джоули и подставляем в формулу для $\kappa$ вместе с массой электрона $m_e = 9{,}109 \cdot 10^{-31}$ кг и постоянной Планка $\hbar = 1{,}055 \cdot 10^{-34}$ Дж·с:

$\kappa = \frac{\sqrt{2 m_e (U_0-E)}}{\hbar} \approx 8{,}87\ \text{нм}^{-1}.$

Теперь подставляем ширину барьера $d = 0{,}5$ нм в показатель экспоненты:

$D = e^{-2\kappa d} = e^{-2 \cdot 8{,}87 \cdot 0{,}5} = e^{-8{,}87} \approx 1{,}4 \cdot 10^{-4}.$

Получаем $D \approx 0{,}014\ \%$ - из каждых десяти тысяч электронов, налетающих на барьер, туннелирует около полутора. Число выглядит малым, но для электронных приборов (туннельные диоды, флеш-память, тот же туннельный микроскоп) такая вероятность вполне рабочая: там счёт идёт не на единичные частицы, а на огромные потоки электронов в секунду.

Частые ошибки

• Подставлять энергии в электронвольтах прямо в формулу с $\hbar$ в Дж·с. Перед вычислением $\kappa$ энергию обязательно переводят в джоули: $1$ эВ $= 1{,}602 \cdot 10^{-19}$ Дж, иначе размерность и порядок величины разъедутся.
• Путать $U_0 - E$ с $E$. Под корнем в показателе экспоненты стоит именно дефицит энергии, а не сама энергия частицы и не высота барьера по отдельности.
• Забывать множитель $2$ перед $\kappa d$. Формула $D = e^{-2\kappa d}$, а не $e^{-\kappa d}$ - пропуск двойки завышает коэффициент прозрачности в разы.
• Считать, что при $E \ge U_0$ барьер полностью «исчезает» без всякого отражения. В упрощённой формуле курса общей физики так и принимают $D = 1$, но в точном квантовом решении даже при $E > U_0$ есть небольшое надбарьерное отражение - просто оно не входит в эту приближённую модель.
• Игнорировать массу частицы при сравнении разных случаев. Одна и та же ширина и высота барьера дают совершенно разные $D$ для электрона и, например, протона - масса входит под корень в показателе экспоненты, и разница в тысячи раз по массе даёт разницу на десятки порядков по $D$.

FAQ

Что показывает коэффициент прозрачности потенциального барьера? Это вероятность того, что частица, налетевшая на барьер, окажется по другую его сторону - то есть протуннелирует, а не отразится назад.

Почему коэффициент прозрачности не равен нулю, если энергия частицы меньше высоты барьера? Потому что квантовая частица описывается волновой функцией, которая внутри барьера не обнуляется, а лишь экспоненциально затухает. Малая, но не нулевая амплитуда доходит до дальней границы барьера и порождает там уходящую волну.

Как коэффициент прозрачности зависит от ширины барьера? Экспоненциально: $D = e^{-2\kappa d}$. Увеличение ширины барьера даже на десятые доли нанометра может уменьшить прозрачность на порядки - это самая сильная зависимость среди всех параметров формулы.

Зависит ли коэффициент прозрачности от массы частицы? Да, и очень сильно: масса стоит под корнем в показателе экспоненты, поэтому у более тяжёлых частиц (протон, альфа-частица) прозрачность одного и того же барьера на много порядков ниже, чем у электрона.

Коротко

Коэффициент прозрачности потенциального барьера $D = \exp\left(-\dfrac{2d}{\hbar}\sqrt{2m(U_0-E)}\right)$ описывает вероятность туннелирования частицы через область, классически для неё запрещённую. Он экспоненциально чувствителен к ширине барьера $d$, к дефициту энергии $U_0 - E$ и к массе частицы $m$ - поэтому туннельный эффект заметен прежде всего для лёгких частиц вроде электрона и тонких, нанометровых барьеров, а тяжёлые частицы через такие же барьеры практически не проходят.