Уравнение, приводящееся к однородному: как решать

Уравнение вида $y' = \dfrac{a_1 x + b_1 y + c_1}{a_2 x + b_2 y + c_2}$ похоже на однородное, но им не является: свободные члены $c_1$ и $c_2$ портят однородность правой части. Если бы не они, можно было бы сразу делать замену $y = ux$. Но их можно устранить одним приёмом - сдвинуть систему координат в точку пересечения двух прямых, которые задают числитель и знаменатель, и уравнение относительно новых переменных станет ровно однородным. Ниже разберём, когда этот приём применим, как найти точку сдвига, что делать, если прямые параллельны, и как довести пример до числового ответа. Чтобы сразу увидеть геометрию сдвига, покрути калькулятор ниже: он строит обе прямые, их точку пересечения и кривую семейства решений вокруг неё.

Когда уравнение сводится к однородному

Уравнение $y' = f\!\left(\dfrac{a_1 x + b_1 y + c_1}{a_2 x + b_2 y + c_2}\right)$ называют приводящимся к однородному, если хотя бы одно из чисел $c_1$, $c_2$ не равно нулю (иначе оно и так однородно). Ключевую роль играет определитель коэффициентов при $x$ и $y$:

$\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1.$

Если $\Delta \ne 0$, прямые $a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ и $a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ пересекаются ровно в одной точке $(x_0; y_0)$, и именно перенос начала координат в эту точку убирает свободные члены. Если же $\Delta = 0$, прямые параллельны (или совпадают), и метод сдвига не работает - для этого случая нужен отдельный приём, о нём ниже.

Как найти точку сдвига

Точка $(x_0; y_0)$ - это решение линейной системы, которая просто приравнивает обе прямые нулю:

$$\begin{aligned} a_1 x_0 + b_1 y_0 + c_1 &= 0, \\ a_2 x_0 + b_2 y_0 + c_2 &= 0. \end{aligned}$$

По правилу Крамера при $\Delta \ne 0$ решение записывается явно:

$x_0 = \frac{b_1 c_2 - b_2 c_1}{\Delta}, \qquad y_0 = \frac{a_2 c_1 - a_1 c_2}{\Delta}.$

Дальше вводим новые переменные $X = x - x_0$, $Y = y - y_0$. Поскольку $(x_0; y_0)$ обращает обе линейные формы в ноль, при подстановке $x = X + x_0$, $y = Y + y_0$ свободные члены сокращаются, и уравнение принимает вид

$\frac{dY}{dX} = f\!\left(\frac{a_1 X + b_1 Y}{a_2 X + b_2 Y}\right),$

то есть ровно однородное уравнение относительно $X$ и $Y$ - это степень однородности 0 у правой части: числитель и знаменатель дроби линейны и без свободного члена, значит их отношение зависит только от $Y/X$.

Рассчитать для своей задачи

Решение однородного уравнения после сдвига

Дальше действует обычная схема для однородных уравнений: замена $Y = uX$, где $u$ - новая неизвестная функция от $X$. Тогда $Y' = u + X u'$, и уравнение $\dfrac{dY}{dX} = f(Y/X)$ превращается в уравнение с разделяющимися переменными относительно $u$ и $X$:

$X \frac{du}{dX} = f(u) - u, \qquad \frac{du}{f(u) - u} = \frac{dX}{X}.$

Проинтегрировав обе части, получают общий интеграл в переменных $u$ и $X$, а затем возвращаются к исходным $x$ и $y$ через $u = Y/X = \dfrac{y - y_0}{x - x_0}$. Наглядно это видно в калькуляторе выше: для конкретных $c_1$ и $c_2$ (со структурой $y' = (x - y + c_1)/(x + y + c_2)$) вся кривая семейства решений строится вокруг сдвинутого центра $(x_0; y_0)$ и стремится к паре асимптот, наклон которых не зависит от $c_1$, $c_2$ - сдвигается только центр, а форма кривой остаётся прежней. Это и есть смысл слова «однородное»: после переноса начала координат уравнение видит только направление $Y/X$, а не абсолютное положение точки.

Рассчитать для своей задачи

Случай параллельных прямых

Если $\Delta = a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0$, прямые $a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ и $a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ параллельны, точки пересечения нет, и сдвигать координаты некуда. В этом случае коэффициенты при $x$ и $y$ в знаменателе пропорциональны коэффициентам в числителе: $a_2 = \lambda a_1$, $b_2 = \lambda b_1$ для некоторого числа $\lambda$. Тогда работает другая замена - новую переменную вводят как саму линейную комбинацию:

$z = a_1 x + b_1 y.$

Тогда $a_2 x + b_2 y = \lambda z$, и правая часть исходного уравнения становится функцией только от $z$: $y' = f\!\left(\dfrac{z + c_1}{\lambda z + c_2}\right)$. С учётом $z' = a_1 + b_1 y'$ выражаем $y'$ через $z'$ и подставляем - получается уравнение с разделяющимися переменными относительно $z$ и $x$, без всякой однородности. Разница принципиальная: при $\Delta \ne 0$ убирают свободные члены сдвигом точки, при $\Delta = 0$ - сразу разделяют переменные новой линейной заменой.

Пример решения типовой задачи

Разберём уравнение $y' = \dfrac{x - y + 1}{x + y - 3}$. Коэффициенты: $a_1 = 1$, $b_1 = -1$, $c_1 = 1$, $a_2 = 1$, $b_2 = 1$, $c_2 = -3$. Определитель

$\Delta = a_1 b_2 - a_2 b_1 = 1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1) = 2 \ne 0,$

значит, прямые пересекаются и метод сдвига применим. Находим точку пересечения из системы $x_0 - y_0 + 1 = 0$, $x_0 + y_0 - 3 = 0$: сложив уравнения, получаем $2x_0 - 2 = 0$, откуда $x_0 = 1$; тогда из первого уравнения $y_0 = x_0 + 1 = 2$. Точка сдвига - $(1; 2)$.

Вводим $X = x - 1$, $Y = y - 2$ и получаем однородное уравнение

$\frac{dY}{dX} = \frac{X - Y}{X + Y}.$

Замена $Y = uX$ даёт $u + X u' = \dfrac{1 - u}{1 + u}$, откуда

$X \frac{du}{dX} = \frac{1 - u}{1+u} - u = \frac{1 - 2u - u^2}{1+u}.$

Разделяем переменные: $\dfrac{(1+u)\,du}{1 - 2u - u^2} = \dfrac{dX}{X}$. Заметив, что производная знаменателя по $u$ равна $-2(1+u)$, интеграл слева берётся сразу заменой $w = 1 - 2u - u^2$:

$-\frac12 \ln|1 - 2u - u^2| = \ln|X| + C_1 \;\;\Longrightarrow\;\; (1 - 2u - u^2)\,X^2 = C.$

Подставляя $u = Y/X$ и раскрывая скобки, получаем общий интеграл прямо в переменных $X$, $Y$:

$X^2 - 2XY - Y^2 = C.$

Возвращаясь к исходным $x$, $y$ через $X = x - 1$, $Y = y - 2$, записываем ответ:

$(x-1)^2 - 2(x-1)(y-2) - (y-2)^2 = C.$

Это семейство кривых с общим центром $(1; 2)$ - при конкретном значении постоянной $C$ (её задаёт начальное условие задачи) получается одна конкретная кривая этого семейства. Именно эти числа - центр $(1; 2)$, структура $y' = (x-y+c_1)/(x+y+c_2)$ и вид интеграла $X^2-2XY-Y^2=C$ - стоят по умолчанию в калькуляторе выше, так что можно свериться напрямую.

Частые ошибки

• Забывают проверить $\Delta \ne 0$ перед сдвигом. Если прямые параллельны, метод переноса начала координат не даёт решения системы - нужно сразу переходить к замене $z = a_1x+b_1y$, а не искать несуществующую точку пересечения.
• Путают знаки в системе для $(x_0; y_0)$. Систему составляют из самих линейных форм, приравненных к нулю ($a_1x_0+b_1y_0+c_1=0$), а не из правой части уравнения - при переносе легко перепутать знак свободного члена.
• Забывают вернуться к исходным переменным. Общий интеграл, полученный после замены $Y=uX$, содержит $X$ и $Y$; чтобы получить ответ по условию задачи, нужно подставить $X=x-x_0$, $Y=y-y_0$ - про этот шаг часто забывают в конце длинной выкладки.
• Считают уравнение однородным без проверки свободных членов. Если $c_1=c_2=0$, сдвиг не нужен - уравнение уже однородно, замена $y=ux$ выполняется сразу, без поиска точки пересечения.
• Ошибаются в разложении на множители при интегрировании по $u$. Дробь $\dfrac{du}{f(u)-u}$ после разделения переменных часто содержит квадратный трёхчлен в знаменателе - раскладывать его нужно аккуратно, лучше через замену на производную знаменателя, как в примере выше.

FAQ

Чем уравнение, приводящееся к однородному, отличается от обычного однородного? В обычном однородном уравнении $y'=f(y/x)$ правая часть уже зависит только от отношения $y/x$. В приводящемся к однородному есть свободные члены $c_1$, $c_2$ в числителе и знаменателе - они убираются сдвигом начала координат в точку пересечения прямых, после чего получается уже полностью однородное уравнение относительно новых переменных.

Что делать, если определитель $\Delta$ равен нулю? Тогда прямые $a_1x+b_1y+c_1=0$ и $a_2x+b_2y+c_2=0$ параллельны и сдвигать координаты некуда. Вместо этого вводят новую переменную $z=a_1x+b_1y$ (или $z=a_2x+b_2y$) и получают уравнение с разделяющимися переменными относительно $z$ и $x$, без использования однородности.

Обязательно ли доводить решение до явной функции $y(x)$? Нет. После обратной замены $u=Y/X$ обычно получают общий интеграл - неявное соотношение между $x$ и $y$ с постоянной $C$ (как $X^2-2XY-Y^2=C$ в разобранном примере). Явную функцию $y(x)$ выражают, только если это отдельно требуется условием задачи и соотношение разрешимо в квадратичной форме.

Коротко

Уравнение $y'=\dfrac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}$ становится однородным после переноса начала координат в точку пересечения прямых $a_1x+b_1y+c_1=0$ и $a_2x+b_2y+c_2=0$ - при условии $\Delta=a_1b_2-a_2b_1\ne0$. Новые переменные $X=x-x_0$, $Y=y-y_0$ превращают уравнение в $dY/dX=(a_1X+b_1Y)/(a_2X+b_2Y)$, которое решается стандартной заменой $Y=uX$ с разделением переменных. Если прямые параллельны ($\Delta=0$), используют другую замену - $z=a_1x+b_1y$, сводящую уравнение к разделяющимся переменным напрямую, без сдвига координат.