Уравнение с разделяющимися переменными: решение и примеры

Уравнение с разделяющимися переменными - самый простой и при этом самый частый тип дифференциальных уравнений первого порядка, с которого начинается почти любой курс дифференциальных уравнений. Его узнают по виду $y' = f(x)g(y)$: правая часть распадается в произведение функции только от $x$ и функции только от $y$. Именно эта структура позволяет буквально развести переменные по разные стороны равенства и проинтегрировать каждую часть отдельно - без матриц, рядов и специальных функций. Ниже разберём алгоритм разделения переменных по шагам, покажем, как из общего решения получить частное через начальное условие, и решим несколько типовых примеров. Чтобы сразу увидеть, как параметры уравнения превращаются в конкретную кривую, покрутите калькулятор ниже: он строит семейство решений и подсвечивает ту единственную кривую, которая проходит через заданную начальную точку.

Что такое уравнение с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде

$\frac{dy}{dx} = f(x)\,g(y),$

где $f(x)$ зависит только от $x$, а $g(y)$ - только от $y$. Частный, но очень распространённый случай - линейная по $x$ зависимость вида $y' = kxy$, где $f(x) = kx$, а $g(y) = y$: именно на нём удобно разобрать метод целиком, а потом применить его к более сложным правым частям. Если $g(y) \ne 0$, обе части можно разделить на $g(y)$ и умножить на $dx$ - тогда $x$ и $y$ окажутся строго по разные стороны знака равенства, и уравнение станет интегрируемым напрямую.

Алгоритм решения

Разделение переменных выполняется в четыре шага, и их порядок принципиален:

1. Убедиться, что уравнение имеет вид $y' = f(x)g(y)$, и найти корни $g(y) = 0$ - это особые (стационарные) решения, которые легко потерять при делении.
2. Разделить переменные: $\dfrac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx$.
3. Проинтегрировать обе части отдельно: $\displaystyle\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx + C$.
4. Выразить $y$ через $x$ явно (если это возможно) - получится общее решение с произвольной постоянной $C$.

Разберём эти шаги на уравнении $y' = kxy$. Здесь $g(y) = y$, а единственный особый случай - $y \equiv 0$ (подстановка сразу проверяет: если $y \equiv 0$, то и $y' \equiv 0$, равенство выполняется). Для $y \ne 0$ делим на $y$ и умножаем на $dx$:

$\frac{dy}{y} = kx\,dx.$

Рассчитать для своей задачи

Слева стоит дифференциал функции от $y$, справа - дифференциал функции от $x$, поэтому интегрирование обеих частей даёт:

$\int \frac{dy}{y} = \int kx\,dx \;\;\Longrightarrow\;\; \ln|y| = \frac{k}{2}x^2 + C_1.$

Потенцируя (возводя число $e$ в степень обеих частей), получаем общее решение:

$y(x) = C\,e^{\frac{k}{2}x^2}, \qquad C = \pm e^{C_1}.$

Сюда же нужно добавить $C = 0$ - то самое особое решение $y \equiv 0$, которое было потеряно при делении на $y$.

Общее решение - это не одна кривая, а целое семейство: при каждом значении $C$ получается своя интегральная кривая. Ниже, на графике из калькулятора, это семейство показано тонкими линиями, а выбранная константа $C$ выделена жирным.

Частное решение и задача Коши

Общего решения обычно недостаточно - в задачах требуется найти конкретную кривую, проходящую через заданную точку $(x_0, y_0)$. Такая задача называется задачей Коши: к уравнению добавляется начальное условие $y(x_0) = y_0$, и это условие однозначно фиксирует константу $C$.

Подставим $x_0$ и $y_0$ в общее решение $y(x) = C\,e^{\frac{k}{2}x^2}$:

$y_0 = C\,e^{\frac{k}{2}x_0^2} \;\;\Longrightarrow\;\; C = y_0\,e^{-\frac{k}{2}x_0^2}.$

Подставляя это $C$ обратно, получаем частное решение в закрытом виде:

$y(x) = y_0\,\exp\!\left(\frac{k}{2}\left(x^2 - x_0^2\right)\right).$

Рассчитать для своей задачи

На этой схеме хорошо видно, зачем вообще нужно начальное условие: без него уравнение $y' = kxy$ описывает не одну функцию, а целое семейство, различающееся лишь вертикальным сдвигом (значением $y$ в точке $x = 0$). Начальное условие $y(x_0) = y_0$ - это выбор одной конкретной кривой из семейства, единственной, которая проходит через отмеченную точку.

Форма кривой при этом зависит от знака $k$. Если $k > 0$, показатель степени растёт вместе с $x^2$, и решение неограниченно возрастает в обе стороны от $x_0$ - получается раскрывающаяся парабола-экспонента. Если $k < 0$, показатель степени убывает при удалении от нуля, и кривая приобретает форму колокола с максимумом в точке $x_0$ - это тот же механизм, что и в нормальном распределении. При $k = 0$ уравнение вырождается в $y' = 0$, и решение попросту постоянно.

Пример решения типовой задачи

Решим задачу Коши: $y' = 0{,}5xy$, $y(0) = 1$. Здесь $k = 0{,}5$, $x_0 = 0$, $y_0 = 1$ - это как раз параметры, стоящие в калькуляторе по умолчанию.

Разделяем переменные и интегрируем:

$\frac{dy}{y} = 0{,}5x\,dx \;\;\Longrightarrow\;\; \ln|y| = 0{,}25x^2 + C_1 \;\;\Longrightarrow\;\; y = C\,e^{0{,}25x^2}.$

Подставляем начальное условие $y(0) = 1$: поскольку $x_0 = 0$, экспонента равна $e^0 = 1$, и сразу получаем $C = 1$. Частное решение:

$y(x) = e^{0{,}25x^2}.$

Проверим числами. При $x = 2$: $y(2) = e^{0{,}25 \cdot 4} = e^1 \approx 2{,}718$. При $x = -2$ значение то же самое - функция чётная относительно $x_0 = 0$, что видно и на графике. При $x = 3$: $y(3) = e^{0{,}25 \cdot 9} = e^{2{,}25} \approx 9{,}488$. Эти же числа калькулятор выше показывает в панели результата при дефолтных значениях ползунков - так удобно сверить свои вычисления.

Частые ошибки

• Потеря особого решения $y \equiv 0$. При делении на $g(y)$ корни этого уравнения (например $y = 0$) исчезают из общей формулы автоматически, но остаются законными решениями исходного уравнения. Их нужно проверять подстановкой отдельно и указывать в ответе, если задача формально требует всех решений.
• Забытая произвольная постоянная при интегрировании. После $\int dy/y = \int kx\,dx$ обе стороны получают свою константу, но по традиции пишут одну $C_1$ справа - если её забыть вовсе, теряется всё семейство решений и остаётся только одна частная кривая.
• Ошибка при потенцировании модуля. Из $\ln|y| = \dots$ следует $|y| = e^{\dots}$, то есть $y = \pm e^{\dots}$. Знак прячут в новую константу $C$, которая может быть любого знака (и нуля) - писать $y = e^{\dots}$ без общей константы $C$ неверно.
• Путаница между общим и частным решением. Общее решение содержит произвольную $C$ и описывает семейство кривых; частное - это одна кривая, полученная после подстановки конкретного начального условия. В ответе на задачу Коши нельзя оставлять $C$ в буквенном виде.
• Неверная область определения переменных. Если при разделении встречается деление на выражение с $x$ (не только с $y$), нужно проверить, не обнуляется ли оно на нужном промежутке - иначе решение может не существовать в части области.

FAQ

Чем уравнение с разделяющимися переменными отличается от линейного уравнения первого порядка? В уравнении с разделяющимися переменными правая часть распадается в произведение $f(x)g(y)$, и переменные можно развести по разные стороны без дополнительных приёмов. Линейное уравнение $y' + p(x)y = q(x)$ в общем случае так не раскладывается и решается через интегрирующий множитель - это отдельный метод.

Как понять, что уравнение вообще разделяется? Нужно попытаться представить правую часть в виде произведения функции только от $x$ на функцию только от $y$ (или частного, что то же самое). Если это удаётся, деление на $g(y)$ переносит все $y$ в левую часть, а все $x$ - в правую, и уравнение становится разделяющимся.

Что делать, если интеграл $\int dy/g(y)$ не берётся в элементарных функциях? Такое случается для сложных $g(y)$ - тогда решение записывают в неявном виде через первообразные (специальные функции или интегралы, не выражаемые элементарно) либо решают уравнение численно. Для учебных задач такие случаи почти не встречаются: $g(y)$ обычно берётся так, чтобы интеграл был табличным.

Коротко

Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид $y' = f(x)g(y)$: деля обе части на $g(y)$ и умножая на $dx$, переменные разводятся по разные стороны равенства, после чего каждая часть интегрируется отдельно. Общее решение содержит произвольную константу $C$ и описывает целое семейство кривых; начальное условие $y(x_0) = y_0$ фиксирует единственную частную кривую из этого семейства. При решении важно не терять особые решения (корни $g(y) = 0$) и аккуратно работать со знаком при потенцировании модуля - эти две ошибки встречаются чаще всего.