Ячейка Вигнера-Зейтца: как построить и для чего нужна

Ячейка Вигнера-Зейтца - это один из способов выбрать примитивную (элементарную) ячейку кристаллической решётки, причём способ, который сразу показывает всю точечную симметрию решётки в форме самой ячейки. Её строят не через векторы трансляции, а геометрически: берут один узел решётки, соединяют его отрезками с соседними узлами и проводят к каждому отрезку перпендикулярную биссектрису. Область, которая остаётся ближе к выбранному узлу, чем к любому другому, и есть ячейка Вигнера-Зейтца. Ниже разберём, как её строят шаг за шагом, какими свойствами она обладает, как та же процедура в обратном пространстве даёт первую зону Бриллюэна и как эта конструкция выглядит для конкретных решёток. Чтобы сразу увидеть построение своими глазами, покрутите калькулятор ниже: он строит ячейку Вигнера-Зейтца для любой двумерной решётки Браве и проверяет, что её площадь совпадает с площадью примитивной ячейки.

Что такое ячейка Вигнера-Зейтца

У любой решётки Браве примитивную ячейку можно выбрать множеством разных способов: подойдёт любой параллелепипед (параллелограмм в двумерном случае), построенный на паре примитивных векторов трансляции $a_1$ и $a_2$, лишь бы при трансляциях он замостил всё пространство без пропусков и наложений. Но у параллелограммной ячейки есть неудобство - её форма зависит от произвольного выбора векторов и обычно не отражает симметрию самой решётки.

Ячейка Вигнера-Зейтца устраняет эту проблему. Формально она определяется как множество точек пространства, которые ближе к данному узлу решётки, чем к любому другому узлу:

$\Omega(\mathbf{R}_0) = \{\, \mathbf{r} : |\mathbf{r} - \mathbf{R}_0| \le |\mathbf{r} - \mathbf{R}| \ \text{для всех} \ \mathbf{R} \ne \mathbf{R}_0 \,\}.$

Такая ячейка всегда наследует полную точечную группу симметрии решётки: если решётка квадратная, ячейка Вигнера-Зейтца - квадрат; если гексагональная, ячейка - правильный шестиугольник. Именно поэтому её используют как каноническую примитивную ячейку в физике твёрдого тела: форма ячейки сама говорит о симметрии кристалла, а не скрывает её за произвольным выбором векторов трансляции.

Как построить ячейку Вигнера-Зейтца

Построение выполняется по чёткому геометрическому алгоритму, который работает для решётки любой размерности:

Рассчитать для своей задачи

1. Выбирают произвольный узел решётки и соединяют его отрезками с соседними узлами - сначала с ближайшими, затем со следующей координационной сферой.
2. К каждому такому отрезку строят перпендикулярную биссектрису (в трёхмерном случае - перпендикулярную плоскость, проходящую через середину отрезка).
3. Каждая биссектриса делит пространство на две полуплоскости; берут ту, что содержит исходный узел.
4. Ячейка Вигнера-Зейтца - это пересечение всех таких полуплоскостей, то есть наименьшая область вокруг узла, ограниченная ближайшими биссектрисами.

На практике для построения хватает биссектрис к узлам первой и второй координационных сфер: более дальние соседи почти всегда лежат вне области, уже отсечённой ближними биссектрисами, и не меняют форму ячейки. Строго говоря, по построению это утверждение проверяется отсечением, но для всех распространённых решёток Браве достаточно двух ближайших сфер соседей.

Рассчитать для своей задачи

Свойства ячейки Вигнера-Зейтца

Из построения следует несколько важных фактов, которые часто спрашивают на экзаменах по физике твёрдого тела.

Площадь (объём) не зависит от способа выбора примитивной ячейки. Любая примитивная ячейка - хоть параллелограммная, хоть Вигнера-Зейтца - содержит ровно один узел решётки и замащивает пространство без пропусков, поэтому её площадь (объём) равна:

$S_0 = |\mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2| = a\,b\,\sin\gamma$

в двумерном случае, где $a$ и $b$ - длины примитивных векторов, а $\gamma$ - угол между ними. Площадь ячейки Вигнера-Зейтца, посчитанная напрямую как площадь построенного многоугольника, совпадает с этим значением с точностью до вычислений - калькулятор выше проверяет это равенство численно при любых параметрах решётки.

Ячейка выпукла и замащивает пространство без пропусков. Как пересечение полуплоскостей, ячейка Вигнера-Зейтца всегда выпуклый многоугольник (многогранник в 3D), и трансляции этой ячейки на все векторы решётки полностью покрывают пространство, не оставляя ни пропусков, ни наложений - это прямое следствие того, что она примитивна.

Число граней связано с координационной сферой, но не совпадает с координационным числом напрямую. Каждая грань ячейки Вигнера-Зейтца порождена биссектрисой к одному конкретному соседнему узлу, но не каждый сосед первой координационной сферы обязательно даёт грань - иногда биссектриса к дальнему соседу оказывается «срезана» биссектрисами ближних соседей раньше, чем достигает области ячейки.

Ячейка Вигнера-Зейтца в обратном пространстве и зона Бриллюэна

Та же самая геометрическая процедура, применённая не к прямой решётке, а к обратной решётке (в волновом пространстве, координаты - компоненты волнового вектора $\mathbf{k}$), даёт первую зону Бриллюэна. Это не совпадение, а прямое применение одного и того же определения: первая зона Бриллюэна - это ячейка Вигнера-Зейтца обратной решётки.

Именно поэтому конструкция из школьной геометрии перпендикулярных биссектрис оказывается фундаментом зонной теории твёрдого тела: закон дисперсии электронов и фононов $E(\mathbf{k})$ обычно строят и приводят именно в пределах первой зоны Бриллюэна, потому что вне её значения волнового вектора физически эквивалентны точкам внутри зоны (отличаются на вектор обратной решётки).

Для трёхмерных решёток эта конструкция даёт узнаваемые многогранники. Ячейка Вигнера-Зейтца объёмноцентрированной кубической (ОЦК) решётки - усечённый октаэдр (14 граней: 8 шестиугольных от ближайших соседей и 6 квадратных от следующей координационной сферы), а для гранецентрированной кубической (ГЦК) решётки - ромбододекаэдр (12 ромбических граней). Эти же фигуры - первые зоны Бриллюэна для обратных решёток соответствующего типа (обратная решётка ОЦК - это ГЦК, и наоборот), что и объясняет, почему в учебниках по физике твёрдого тела эти многогранники встречаются как в разделе про кристаллическую структуру, так и в разделе про зонную теорию.

Рассчитать для своей задачи

Пример решения задачи

Разберём типовую формулировку: дана двумерная решётка Браве с длинами примитивных векторов $a = 1{,}6$ Å и $b = 2{,}1$ Å и углом между ними $\gamma = 100°$. Нужно построить ячейку Вигнера-Зейтца, найти её площадь и координационное число (число рёбер ячейки).

Сначала находим площадь примитивной ячейки по формуле произведения векторов:

$S_0 = a\,b\,\sin\gamma = 1{,}6 \cdot 2{,}1 \cdot \sin(100°) \approx 1{,}6 \cdot 2{,}1 \cdot 0{,}985 \approx 3{,}31\ \text{Å}^2.$

Дальше строим ячейку Вигнера-Зейтца: перебираем узлы решётки в двух ближайших координационных сферах, для каждого узла находим перпендикулярную биссектрису к отрезку, соединяющему его с центром, и последовательно отсекаем полуплоскости от большого стартового квадрата. Поскольку угол $\gamma = 100°$ не равен $90°$ и длины $a$, $b$ различаются, результат - шестиугольник: у такой (косоугольной) решётки шесть ближайших узлов дают шесть непустых граней, поэтому координационное число (в смысле числа рёбер ячейки) равно $z = 6$.

Проверяем площадь полученного шестиугольника по формуле площади многоугольника (формула Гаусса, она же формула шнурков) - при точном вычислении она равна тем же $3{,}31$ Ų, что и $S_0$, посчитанная через векторное произведение. Это и есть проверка согласованности: какой бы способ построения примитивной ячейки мы ни выбрали, её площадь неизменна. Кратчайшее расстояние до соседнего узла в этом примере равно самому короткому из примитивных векторов, $d_{min} = a = 1{,}6$ Å - именно оно определяет ближайшую грань ячейки.

Частые ошибки

• Путают ячейку Вигнера-Зейтца с параллелограммной примитивной ячейкой. Обе примитивны и имеют одинаковую площадь (объём), но это разные по форме фигуры - у параллелограммной ячейки форма зависит от произвольного выбора векторов $a_1$, $a_2$, а у ячейки Вигнера-Зейтца форма однозначно определяется самой решёткой.
• Забывают учитывать вторую координационную сферу. Для прямоугольных и косоугольных решёток одних ближайших соседей часто недостаточно - без второй сферы ячейка получается «слишком большой» и незамкнутой, а не выпуклым многоугольником.
• Считают, что ячейка Вигнера-Зейтца в 2D - всегда шестиугольник. Это верно только для решёток без выделенных прямых углов. Для квадратной и прямоугольной решёток ячейка Вигнера-Зейтца - прямоугольник (в частности, квадрат), а не шестиугольник.
• Путают реальное пространство и обратное пространство. Ячейка Вигнера-Зейтца прямой решётки и первая зона Бриллюэна строятся одним и тем же алгоритмом, но по разным решёткам (прямой и обратной), и для несимметричных решёток (ОЦК и ГЦК взаимно обратны) их формы отличаются.
• Путают число граней ячейки с координационным числом решётки. Не каждый ближайший сосед обязательно даёт отдельную грань ячейки Вигнера-Зейтца - иногда биссектриса к нему полностью «срезается» биссектрисами более близких соседей.

FAQ

Чем ячейка Вигнера-Зейтца отличается от элементарной ячейки? Обе - примитивные ячейки одинаковой площади (объёма), содержащие ровно один узел решётки. Разница в форме: параллелограммная (параллелепипедная) элементарная ячейка строится на векторах трансляции и её форма произвольна, а ячейка Вигнера-Зейтца строится геометрически через перпендикулярные биссектрисы и всегда наследует точечную симметрию решётки.

Как ячейка Вигнера-Зейтца связана с зоной Бриллюэна? Первая зона Бриллюэна - это в точности ячейка Вигнера-Зейтца, построенная не для прямой, а для обратной решётки в пространстве волновых векторов. Алгоритм построения (биссектрисы к соседним узлам) идентичен, меняется только решётка, для которой его применяют.

Сколько граней у ячейки Вигнера-Зейтца объёмноцентрированной кубической решётки? 14 граней: 8 шестиугольных, порождённых восемью ближайшими соседями (первая координационная сфера, $z=8$), и 6 квадратных, порождённых шестью следующими соседями (вторая сфера). Эта фигура называется усечённым октаэдром.

Коротко

Ячейка Вигнера-Зейтца - это примитивная ячейка решётки, построенная как область точек, ближайших к выбранному узлу, чем к любому другому: её строят перпендикулярными биссектрисами к отрезкам, соединяющим узел с соседями первой и второй координационных сфер. Её площадь (объём) всегда равна площади (объёму) любой другой примитивной ячейки той же решётки, но в отличие от параллелограммной ячейки её форма однозначно отражает точечную симметрию решётки - квадрат, прямоугольник или правильный шестиугольник в двумерном случае, усечённый октаэдр или ромбододекаэдр для ОЦК и ГЦК в трёхмерном. Та же процедура, применённая к обратной решётке, даёт первую зону Бриллюэна - фундаментальное понятие зонной теории твёрдого тела.