Кубическая сингония кристаллов: типы решёток и формулы

Кубическая сингония - самая симметричная из семи сингоний кристаллографии: элементарная ячейка представляет собой куб, все три ребра равны между собой и все углы прямые. В неё укладываются три решётки Браве - простая, объёмноцентрированная и гранецентрированная, и именно на них строится большинство школьных и вузовских задач по физике твёрдого тела: медь, железо, алюминий, золото и многие другие металлы кристаллизуются именно в кубических структурах. Разберём, чем эти три решётки отличаются по числу атомов на ячейку, координационному числу и плотности упаковки, и как параметр решётки связан с радиусом атома. Задайте тип решётки и параметр ячейки в калькуляторе ниже - он сразу пересчитает все ключевые величины и покажет, где именно атомы касаются друг друга.

Три решётки Браве кубической сингонии

Кубическая сингония допускает ровно три типа решёток Браве, различающихся расположением узлов внутри ячейки:

1. Простая кубическая (P) - атомы находятся только в вершинах куба. Это самая редкая структура в природе: единственный пример среди простых веществ - модификация полония $\alpha$-Po.
2. Объёмноцентрированная кубическая (I, ОЦК) - к вершинам добавлен один атом в центре объёма куба. Так кристаллизуются $\alpha$-железо, хром, вольфрам, натрий.
3. Гранецентрированная кубическая (F, ГЦК) - к вершинам добавлены атомы в центре каждой из шести граней. Так устроены медь, алюминий, золото, никель.

Разница между решётками - не просто в количестве узлов, а в том, вдоль какого направления атомы физически соприкасаются друг с другом, и это напрямую определяет, насколько плотно упакован кристалл.

Число атомов на элементарную ячейку

Элементарные ячейки соседних кристаллов делят между собой узловые атомы, поэтому считать нужно не по числу «видимых» шариков в кубе, а по их вкладу именно в эту ячейку.

Рассчитать для своей задачи

• Угловой атом принадлежит сразу восьми соседним ячейкам, поэтому в текущую ячейку он вносит долю $1/8$. У куба 8 вершин, значит суммарный вклад вершин всегда равен $8 \cdot 1/8 = 1$ - для всех трёх решёток одинаково.
• Атом в центре грани принадлежит двум ячейкам сразу (по одной с каждой стороны грани) и вносит долю $1/2$. У куба 6 граней, значит вклад граневых атомов равен $6 \cdot 1/2 = 3$.
• Атом в центре объёма целиком принадлежит только этой ячейке и вносит долю $1$.

Отсюда получаем итоговое число атомов $n$ на ячейку для каждой решётки:

$n_P = 8 \cdot \frac{1}{8} = 1, \qquad n_I = 8 \cdot \frac{1}{8} + 1 = 2, \qquad n_F = 8 \cdot \frac{1}{8} + 6 \cdot \frac{1}{2} = 4.$

Координационное число

Координационное число $Z$ - это число ближайших соседей, равноудалённых от выбранного атома. Оно растёт вместе с плотностью упаковки:

• Простая кубическая: $Z = 6$ - соседи только вдоль трёх осей куба (по два на каждую ось).
• ОЦК: $Z = 8$ - центральный атом окружён восемью угловыми атомами куба, все на одинаковом расстоянии вдоль пространственных диагоналей половинной длины.
• ГЦК: $Z = 12$ - самая плотная кубическая упаковка, каждый атом касается двенадцати соседей.

Чем больше координационное число, тем плотнее упакованы атомы и тем выше, как правило, температура плавления металла при прочих равных параметрах связи.

Радиус атома через параметр решётки

Ключевая идея всех формул ниже - атомы считаются жёсткими шарами, которые касаются друг друга вдоль определённого направления ячейки. Направление касания зависит от того, есть ли в ячейке центрирующий атом.

Рассчитать для своей задачи

В простой решётке атомы касаются вдоль ребра куба: $2r = a$, откуда $r = a/2$. В ОЦК-решётке угловые атомы уже НЕ соприкасаются - между ними стоит центральный атом, и касание происходит вдоль пространственной диагонали куба длиной $a\sqrt{3}$, на которой укладываются ровно четыре радиуса:

$4r = a\sqrt{3} \quad\Rightarrow\quad r = \frac{\sqrt{3}}{4}\, a \approx 0{,}4330\, a.$

В ГЦК-решётке касание идёт по диагонали грани длиной $a\sqrt{2}$, где встречаются угловой и граневый атом:

$4r = a\sqrt{2} \quad\Rightarrow\quad r = \frac{\sqrt{2}}{4}\, a \approx 0{,}3536\, a.$

Обратите внимание: при одном и том же параметре решётки $a$ радиус атома в ГЦК меньше, чем в ОЦК, а в ОЦК меньше, чем в простой решётке - атомы «вписаны» в разные диагонали одного и того же куба.

Коэффициент упаковки

Коэффициент упаковки $\eta$ показывает, какая доля объёма ячейки реально занята шарами-атомами, а какая остаётся пустой:

$\eta = \frac{n \cdot \dfrac{4}{3}\pi r^3}{a^3}.$

Рассчитать для своей задачи

Подставив в формулу выражения $n$ и $r(a)$ для каждой решётки, зависимость от $a$ полностью сокращается, и остаётся чистое число:

$\eta_P = \frac{\pi}{6} \approx 52{,}36\%, \qquad \eta_I = \frac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx 68{,}02\%, \qquad \eta_F = \frac{\pi\sqrt{2}}{6} \approx 74{,}05\%.$

Гранецентрированная решётка вместе с гексагональной плотноупакованной структурой (не входит в кубическую сингонию) даёт максимально возможный коэффициент упаковки для одинаковых шаров - 74,05%. Плотнее упаковать одинаковые сферы без деформации невозможно, это доказанный результат теории плотнейших упаковок.

Плотность кристалла

Зная число атомов на ячейку и параметр решётки, легко посчитать теоретическую плотность вещества - как раз то, что чаще всего спрашивают в задачах:

$\rho = \frac{n M}{N_A\, a^3},$

где $M$ - молярная масса вещества, $N_A = 6{,}02214076 \times 10^{23}\ \text{моль}^{-1}$ - постоянная Авогадро, а параметр $a$ обязательно переводится в сантиметры (1 пм $= 10^{-10}$ см), чтобы плотность получилась в г/см³.

Разберём пример: железо кристаллизуется в ОЦК-решётке с параметром $a = 287$ пм и молярной массой $M = 55{,}85$ г/моль. Тогда $n = 2$, и

$\rho = \frac{2 \cdot 55{,}85}{6{,}02214076 \times 10^{23} \cdot (287 \times 10^{-10})^3} \approx 7{,}85\ \text{г/см}^3,$

что хорошо согласуется со справочной плотностью железа около 7,87 г/см³ - небольшое расхождение объясняется тем, что реальный параметр ячейки железа чуть меньше (286,65 пм). Именно эту цепочку вычислений - от типа решётки к плотности - и повторяет калькулятор выше для любых введённых значений $a$ и $M$.

Частые ошибки

• Считать угловые атомы «целыми». Каждый угловой атом делится между 8 ячейками и даёт вклад $1/8$, а не 1 - забыв про доли, легко получить завышенное $n$ и, как следствие, неверную плотность.
• Перепутать направление касания. В ОЦК атомы касаются НЕ вдоль ребра, а вдоль пространственной диагонали; в ГЦК - вдоль диагонали грани, а не пространственной диагонали. Подстановка не того направления даёт неверный радиус.
• Забыть перевести параметр ячейки в сантиметры. Формула плотности требует $a^3$ в см³; если оставить $a$ в пикометрах или ангстремах, порядок величины плотности будет ошибочным на много порядков.
• Путать координационное число с числом атомов на ячейку. $Z$ - это число ближайших соседей вокруг одного атома, а $n$ - сколько атомов физически принадлежит одной ячейке; для ОЦК это 8 и 2 соответственно, для ГЦК - 12 и 4.
• Считать, что коэффициент упаковки зависит от параметра решётки. Он универсален для каждого типа решётки (52,36% / 68,02% / 74,05%) и не зависит от $a$ - параметр решётки в формуле сокращается.

FAQ

Сколько атомов приходится на элементарную ячейку ГЦК-решётки? Четыре: $n = 8 \cdot 1/8 + 6 \cdot 1/2 = 1 + 3 = 4$. Вклад восьми угловых атомов даёт единицу, вклад шести граневых атомов - тройку.

Почему в ОЦК-решётке атомы не касаются вдоль ребра куба? Потому что между угловыми атомами вдоль ребра стоит пустое пространство - они слишком далеко друг от друга. Реальное касание происходит через центральный атом, вдоль пространственной диагонали куба, которая короче суммарного пути по трём рёбрам.

Какая кубическая решётка упакована плотнее всего? Гранецентрированная (ГЦК) - коэффициент упаковки 74,05% против 68,02% у ОЦК и 52,36% у простой кубической. Это связано с тем, что координационное число ГЦК максимально среди кубических решёток и равно 12.

Коротко

Кубическая сингония включает три решётки Браве - простую, объёмноцентрированную (ОЦК) и гранецентрированную (ГЦК), различающиеся числом атомов на ячейку ($n = 1, 2, 4$), координационным числом ($Z = 6, 8, 12$) и направлением касания атомов (ребро, пространственная диагональ, диагональ грани). Из условия касания выводится радиус атома через параметр решётки, а из него - универсальный коэффициент упаковки ($\eta \approx 52{,}36\%$, $68{,}02\%$, $74{,}05\%$) и теоретическая плотность кристалла $\rho = nM/(N_A a^3)$. Чем выше координационное число, тем плотнее упаковка - и тем меньше свободного пространства остаётся между атомами в ячейке.