Задачи на движение с остановкой в пути: формула и решение

Задачи на движение с остановкой в пути - отдельный класс текстовых задач по теме «путь, скорость, время», в котором движение состоит из двух неравных участков, разделённых паузой: остановкой на станции, перерывом на отдых или простоем на светофоре. Сложность здесь не в арифметике, а в том, чтобы аккуратно перевести время остановки в те же единицы, что и время движения, и не забыть вычесть его из общего запаса времени. Ниже разберём, как строить уравнение для таких задач, как найти скорость на оставшемся участке пути, если нужно уложиться в расписание, и сколько составит опоздание, если скорость после остановки не менять. Чтобы сразу увидеть, как остановка «съедает» время в пути, покрутите калькулятор ниже - он строит график пути от времени с плато на месте остановки и мгновенно пересчитывает нужную скорость.

Как устроена задача на движение с остановкой в пути

В типовой формулировке задан весь путь $S$ и плановая (расписанная) средняя скорость $v_0$, с которой нужно пройти этот путь без остановок. Отсюда сразу находится плановое время в пути:

$T_0 = \frac{S}{v_0}.$

Дальше события идут по порядку: сначала путник (машина, поезд, велосипедист) проходит участок $S_1$ со скоростью $v_1$, тратя на это время

$t_1 = \frac{S_1}{v_1},$

затем останавливается на $t_{ст}$ минут, и лишь после этого продолжает путь по оставшемуся участку $S_2 = S - S_1$. Ключевая идея большинства таких задач - приравнять общее время движения плюс остановку к некоторому заданному ограничению: либо к тому же плановому времени $T_0$ (тогда ищут скорость $v_2$, компенсирующую остановку), либо задача просит просто найти итоговое время в пути или величину опоздания, если скорость после остановки осталась прежней.

Формула скорости на оставшемся участке

Если условие требует прибыть по расписанию несмотря на остановку, время, оставшееся на второй участок, находится вычитанием:

$t_2 = T_0 - t_1 - \frac{t_{ст}}{60},$

где $t_{ст}$ переведена из минут в часы делением на 60 - это самая частая ошибка в таких задачах: смешение минут и часов без перевода в общую единицу. Зная время $t_2$ и оставшееся расстояние $S_2$, требуемая скорость находится напрямую:

$v_2 = \frac{S_2}{t_2} = \frac{S - S_1}{\,T_0 - \dfrac{S_1}{v_1} - \dfrac{t_{ст}}{60}\,}.$

Если по формуле получается $t_2 \le 0$, это значит, что остановка уже сама по себе исчерпала весь запас планового времени - успеть невозможно ни при какой скорости, и в этом случае задача обычно спрашивает не скорость, а именно опоздание.

Рассчитать для своей задачи

Опоздание, если скорость не менять

Второй частый вопрос - что произойдёт, если после остановки ехать с той же скоростью $v_1$, не ускоряясь. Тогда фактическое время в пути составит

$T_{факт} = t_1 + \frac{t_{ст}}{60} + \frac{S_2}{v_1},$

а опоздание относительно плана - это просто разность

$\Delta t = T_{факт} - T_0.$

Обратите внимание: опоздание не равно длительности остановки. Часть времени теряется именно из-за остановки, но если плановая скорость $v_0$ была ниже, чем $v_1$, то на участке $S_1$ мог накопиться небольшой запас, слегка смягчающий итоговое опоздание - и наоборот. Поэтому раскладывать задачу по формулам надёжнее, чем угадывать ответ «остановка - значит опоздание равно её длительности».

Разбор графика пути и времени

Рассчитать для своей задачи

На графике «путь-время» такая задача читается почти без вычислений. Наклон отрезка - это скорость: чем он круче, тем быстрее движение. Остановка на графике - строго горизонтальный участок: время идёт, а путь не меняется. Пунктирная линия плана показывает, каким должен был бы быть путь при постоянной скорости $v_0$ без всякой остановки; она приходит в точку $(T_0, S)$. Сплошная линия факта совпадает с плановой в конечной точке, только если скорость на втором участке была увеличена ровно до $v_2$ - именно поэтому наклон после плато у неё круче, чем до. Если же наклон после остановки такой же, как до неё, линия факта отстаёт от плановой и приходит в точку $S$ позже - это и есть опоздание.

Пример решения типовой задачи

Автомобилю нужно проехать $S = 120$ км, двигаясь со средней (плановой) скоростью $v_0 = 60$ км/ч. Тогда всё путешествие по расписанию должно занять

$T_0 = \frac{120}{60} = 2\ \text{ч} = 120\ \text{мин}.$

Первую половину пути, $S_1 = 60$ км, машина проехала со скоростью $v_1 = 60$ км/ч, потратив на это

$t_1 = \frac{60}{60} = 1\ \text{ч} = 60\ \text{мин},$

после чего сделала остановку на $t_{ст} = 15$ минут. На оставшийся путь $S_2 = 120 - 60 = 60$ км осталось времени

$t_2 = 2 - 1 - \frac{15}{60} = 2 - 1 - 0{,}25 = 0{,}75\ \text{ч} = 45\ \text{мин}.$

Отсюда требуемая скорость на втором участке:

$v_2 = \frac{60}{0{,}75} = 80\ \text{км/ч}.$

Значит, чтобы прибыть по расписанию несмотря на 15-минутную остановку, вторую половину пути нужно проехать не на прежних 60 км/ч, а на 80 км/ч. Если бы водитель не ускорился и продолжил ехать на 60 км/ч, вторая половина заняла бы ещё $60/60 = 1$ ч, а всё путешествие - $1 + 0{,}25 + 1 = 2{,}25$ ч $= 135$ мин, то есть на 15 минут больше плана. Интересно, что опоздание в этом частном случае в точности равно длительности остановки - это следствие того, что скорости $v_0$ и $v_1$ здесь совпадают; при других соотношениях скоростей опоздание отличается от времени остановки.

Частые ошибки

• Смешение минут и часов. Время остановки почти всегда дано в минутах, а скорость - в км/ч. Перед подстановкой в формулу остановку нужно перевести в часы делением на 60, иначе результат будет отличаться в десятки раз.
• Опоздание, равное длительности остановки, без проверки. Это верно только в частном случае, когда скорости до и после остановки совпадают со временем, заложенным в план. В общем случае опоздание нужно считать через разность фактического и планового времени.
• Путаница, какое время откуда вычитать. Время на второй участок - это плановое время минус время первого участка минус время остановки, а не просто плановое время минус остановка.
• Забытая проверка знака. Если после вычитания время на второй участок получилось отрицательным или нулевым, значит, успеть нельзя, и вопрос задачи, скорее всего, про величину опоздания, а не про требуемую скорость.
• Округление скорости до расчёта времени. Округлять итоговую скорость нужно в самом конце, а не на промежуточных шагах - иначе накопленная погрешность сдвигает ответ на километр-два в час.

FAQ

Как найти скорость на оставшемся участке пути после остановки? Нужно вычесть из планового времени время, уже потраченное на первый участок, и время самой остановки (переведённое в часы), а затем разделить оставшееся расстояние на полученное время: $v_2 = S_2 / (T_0 - t_1 - t_{ст}/60)$.

Как считать опоздание, если после остановки скорость не менялась? Найдите фактическое время в пути как сумму времени первого участка, времени остановки и времени второго участка при той же скорости, а затем вычтите из него плановое время: $\Delta t = T_{факт} - T_0$.

Почему остановка на графике пути и времени выглядит как горизонтальный отрезок? Потому что во время остановки путь не увеличивается, а время продолжает идти - а горизонтальная линия на графике «путь от времени» как раз и означает нулевую скорость при ненулевом времени.

Коротко

В задачах на движение с остановкой в пути путь и время делятся на два участка, между которыми стоит пауза. Плановое время находится как $T_0 = S/v_0$, время до остановки - как $t_1 = S_1/v_1$, а требуемая скорость на оставшемся участке - как $v_2 = S_2 / (T_0 - t_1 - t_{ст}/60)$, где длительность остановки обязательно переводится из минут в часы. Если скорость после остановки не менять, опоздание равно разности фактического и планового времени, а не просто длительности самой остановки.