Количество теплоты при плавлении льда: формула и расчёт

Задачи на количество теплоты при плавлении льда встречаются почти в каждой школьной контрольной по термодинамике: нужно посчитать, сколько энергии уйдёт на то, чтобы холодный лёд превратился в тёплую воду. Сложность обычно не в физике, а в том, что процесс состоит из нескольких разных стадий, и для каждой - своя формула и свои табличные константы. Ниже разберём, откуда берётся формула $Q = \lambda m$, как её достроить до полного расчёта «от льда ниже нуля до воды выше нуля» и как не перепутать формулы нагрева с формулой плавления. Чтобы сразу увидеть, как масса и температуры связаны с итоговой теплотой, покрутите калькулятор ниже - он раскладывает расчёт на стадии и рисует график.

Из каких стадий состоит нагрев и плавление льда

Типовая формулировка задачи звучит так: «лёд массой $m$ при температуре $t_1$ (ниже нуля) нагревают, пока он не превратится в воду с температурой $t_2$ (выше нуля)». В этом процессе последовательно происходят три физически разных явления, и путать их нельзя:

1. Нагрев льда от $t_1$ до $0\ °C$. Лёд остаётся твёрдым, его температура растёт, агрегатное состояние не меняется.
2. Плавление при постоянной температуре $0\ °C$. Пока в сосуде есть хоть немного нерастаявшего льда, температура смеси льда с водой не меняется - вся подводимая теплота идёт на разрушение кристаллической решётки, а не на нагрев.
3. Нагрев получившейся воды от $0\ °C$ до $t_2$. Лёд уже полностью растаял, вещество - просто вода, и добавляемая теплота снова поднимает температуру.

Каждая стадия описывается своей формулой количества теплоты, и суммарная теплота всей задачи - это просто сумма трёх слагаемых. Ключевая ошибка новичков - попытаться посчитать всё одной формулой нагрева, забыв про плавление, которое обычно составляет большую часть ответа.

Формула количества теплоты при плавлении льда

Пока идёт вторая стадия, температура не меняется, поэтому обычная формула нагрева $Q = cm\Delta t$ здесь не работает - при $\Delta t = 0$ она дала бы ноль, что явно неверно: тепло-то тратится. Вместо теплоёмкости используют другую характеристику вещества - удельную теплоту плавления $\lambda$ (иногда обозначают $L$). Это количество теплоты, необходимое, чтобы расплавить один килограмм вещества, уже нагретого до температуры плавления:

$Q_2 = \lambda m.$

Для льда $\lambda = 3{,}4\cdot10^5$ Дж/кг - то есть на плавление одного килограмма льда при $0\ °C$ нужно 340 килоджоулей, притом что температура за это время не изменится ни на градус. Это довольно много: для сравнения, чтобы нагреть тот же килограмм уже растаявшей воды на 1 градус, хватит всего 4200 Дж. Именно поэтому лёд в напитке долго не тает - большая часть подводимого тепла уходит именно в разрушение решётки, а не в видимый нагрев.

Рассчитать для своей задачи

На графике температура-теплота стадия плавления выглядит как горизонтальный отрезок: температура «застряла» на нуле, пока по оси теплоты график уходит вправо на величину $\lambda m$. Обратный процесс - кристаллизация - забирает ровно столько же теплоты, только в обратную сторону: $Q$ отдаётся при том же $\lambda$.

Полная формула: от льда ниже нуля до воды выше нуля

Если в задаче лёд начинает не с $0\ °C$, а с отрицательной температуры $t_1$, а конечная вода имеет температуру $t_2$ выше нуля, нужно сложить теплоту всех трёх стадий:

$$Q = \underbrace{c_{лёд}\,m\,(0 - t_1)}_{Q_1,\ \text{нагрев льда}} \;+\; \underbrace{\lambda\, m}_{Q_2,\ \text{плавление}} \;+\; \underbrace{c_{вода}\,m\,(t_2 - 0)}_{Q_3,\ \text{нагрев воды}},$$

где $c_{лёд} = 2100$ Дж/(кг·К) - удельная теплоёмкость льда, $c_{вода} = 4200$ Дж/(кг·К) - удельная теплоёмкость воды, а $\lambda = 3{,}4\cdot10^5$ Дж/кг - удельная теплота плавления льда. Обратите внимание: у льда и воды разные теплоёмкости, и в формулах $Q_1$ и $Q_3$ их нельзя менять местами.

Рассчитать для своей задачи

Если начальная температура льда уже равна $0\ °C$ (лёд «свежий, только из морозилки на грани таяния»), слагаемое $Q_1$ обнуляется, и расчёт сводится к $Q = \lambda m + c_{вода} m t_2$. Если же требуется найти только теплоту плавления без последующего нагрева воды, из формулы остаётся единственное слагаемое $Q_2 = \lambda m$.

Как читать график температура - количество теплоты

Такой график - стандартный способ представить задачу на плавление наглядно, и в контрольных его часто просят построить или прочитать. По горизонтальной оси откладывается накопленная теплота $Q$ (обычно в килоджоулях), по вертикальной - температура вещества. Три участка графика соответствуют трём стадиям расчёта:

• Первый наклонный участок - нагрев льда. Угол наклона обратно пропорционален произведению $c_{лёд} m$: чем больше масса или меньше теплоёмкость, тем более пологий участок.
• Горизонтальное плато - плавление. Его длина по оси теплоты равна $\lambda m$ и не зависит от того, насколько холодным был лёд изначально.
• Второй наклонный участок - нагрев воды, с другим углом наклона, потому что теплоёмкость воды вдвое больше теплоёмкости льда.

По длине плато на таком графике можно, наоборот, найти массу растаявшего льда, если известна теплота: $m = Q_2 / \lambda$. Это удобный приём для задач, где график уже дан, а спрашивают массу или удельную теплоту плавления неизвестного вещества.

Пример решения типовой задачи

Разберём классическую формулировку: лёд массой $m = 2$ кг при температуре $t_1 = -10\ °C$ нагревают до тех пор, пока он не превратится в воду при температуре $t_2 = 20\ °C$. Найдите количество теплоты, затраченное на весь процесс.

Считаем теплоту на нагрев льда до нуля:

$Q_1 = c_{лёд}\, m\, (0 - t_1) = 2100 \cdot 2 \cdot 10 = 42\,000\ \text{Дж} = 42\ \text{кДж}.$

Теплоту плавления:

$Q_2 = \lambda\, m = 3{,}4\cdot10^5 \cdot 2 = 680\,000\ \text{Дж} = 680\ \text{кДж}.$

Теплоту на нагрев получившейся воды до $20\ °C$:

$Q_3 = c_{вода}\, m\, (t_2 - 0) = 4200 \cdot 2 \cdot 20 = 168\,000\ \text{Дж} = 168\ \text{кДж}.$

Суммарная теплота:

$Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 42 + 680 + 168 = 890\ \text{кДж}.$

Обратите внимание, какую долю всего расчёта занимает именно плавление - 680 из 890 килоджоулей, то есть больше трёх четвертей. Это типичная картина для подобных задач: перевести лёд в воду энергетически дороже, чем нагреть саму воду на десятки градусов.

Частые ошибки

• Забыть про плавление и посчитать только нагрев. Если в задаче лёд переходит через $0\ °C$, слагаемое $Q_2 = \lambda m$ обязательно, даже если оно кажется «отдельным пунктом», а не частью формулы нагрева.
• Применить формулу нагрева $Q = cm\Delta t$ на участке плавления. При постоянной температуре $\Delta t = 0$, и эта формула здесь бессмысленна - нужна именно $Q = \lambda m$.
• Перепутать теплоёмкости льда и воды. $c_{лёд} = 2100$ Дж/(кг·К) относится только к твёрдому льду до $0\ °C$, $c_{вода} = 4200$ Дж/(кг·К) - только к жидкой воде после $0\ °C$. Использовать одну константу для обеих стадий - частая ошибка.
• Забыть перевести массу в килограммы. Удельные величины $c$ и $\lambda$ заданы на 1 кг; если масса дана в граммах, её нужно поделить на 1000 перед подстановкой.
• Спутать знак при кристаллизации. Если вода замерзает, теплота не поглощается, а выделяется - в энергетическом балансе задачи её нужно ставить со знаком минус относительно плавления.

FAQ

Сколько теплоты нужно, чтобы растопить 1 кг льда при 0 °C? Ровно $\lambda \cdot m = 3{,}4\cdot10^5 \cdot 1 = 340\,000$ Дж, то есть 340 кДж. Дополнительный нагрев льда или воды здесь не считается, потому что лёд уже находится при температуре плавления.

Почему во время плавления температура льда не меняется? Вся подводимая энергия идёт на разрушение связей в кристаллической решётке, а не на увеличение кинетической энергии молекул. Пока сосуществуют лёд и вода, система находится в фазовом равновесии при постоянной температуре $0\ °C$ (при нормальном давлении).

Как найти массу льда, если известно количество теплоты, потраченное на его плавление? Из формулы $Q_2 = \lambda m$ масса выражается напрямую: $m = Q_2 / \lambda$. Например, для $Q_2 = 680$ кДж масса растаявшего льда равна $680\,000 / (3{,}4\cdot10^5) = 2$ кг.

Коротко

Плавление льда описывается формулой $Q = \lambda m$, где $\lambda = 3{,}4\cdot10^5$ Дж/кг - удельная теплота плавления. Если лёд в задаче начинает ниже нуля, а заканчивает как вода выше нуля, полная теплота складывается из трёх стадий: нагрев льда $c_{лёд} m (0-t_1)$, само плавление $\lambda m$ и нагрев воды $c_{вода} m t_2$. На графике температура-теплота эти стадии видны как два наклонных участка и горизонтальное плато между ними, длина которого прямо задаёт массу растаявшего вещества.