Кредит с ежемесячным платежом: формула аннуитета

Кредит с ежемесячным платежом - самая частая формулировка задач по финансовой математике: банк даёт сумму $S$ под годовую ставку $r_{\text{год}}$ на $n$ месяцев, и заёмщик каждый месяц платит одну и ту же сумму. Такая схема называется аннуитетной, и именно её используют почти все розничные кредиты и ипотека. Студентам эти задачи встречаются в курсах высшей математики, экономики и банковского дела, а разобраться в них мешает не сама формула, а то, что платёж постоянен, хотя внутри он всё время меняется. Чтобы увидеть это своими глазами, покрутите калькулятор ниже - он мгновенно пересчитывает платёж, переплату и строит два графика по введённым числам.

Формула ежемесячного (аннуитетного) платежа

Пусть кредит на сумму $S$ выдан на $n$ месяцев под годовую ставку $r_{\text{год}}$ процентов. Месячная ставка как доля:

$$r = \frac{r_{\text{год}}}{12 \cdot 100}$$

Ежемесячный платёж выводится из условия, что $n$ одинаковых платежей $A$, приведённых к текущему моменту по ставке $r$, в сумме равны выданной сумме $S$. Отсюда:

$$A = S \cdot \frac{r\,(1+r)^n}{(1+r)^n - 1}$$

Это и есть формула аннуитета. Платёж $A$ зависит от трёх параметров - суммы, ставки и срока - и не меняется от месяца к месяцу, в этом принципиальное отличие от дифференцированной схемы, где платёж линейно убывает.

Из чего складывается платёж: проценты и тело долга

Хотя сумма платежа постоянна, внутри он раскладывается на две части, и это разложение меняется каждый месяц. Обозначим остаток долга на начало месяца $k$ через $R(k-1)$, при этом $R(0) = S$. Тогда:

Рассчитать для своей задачи

$$I(k) = R(k-1) \cdot r$$ $$P(k) = A - I(k)$$ $$R(k) = R(k-1) - P(k)$$

Здесь $I(k)$ - проценты месяца $k$, $P(k)$ - часть платежа, которая гасит тело долга. В первые месяцы остаток долга максимален, поэтому проценты $I(k)$ велики, а тело долга $P(k)$ - мало. Чем ближе к концу срока, тем меньше остаток и тем меньше проценты - соответственно доля, идущая на тело долга, растёт. Сумма $I(k) + P(k)$ всегда равна постоянному $A$.

Пример расчёта задачи по шагам

Условие. Кредит $S = 500\,000$ руб. на $n = 24$ месяца под $r_{\text{год}} = 18\%$ годовых, аннуитетная схема. Найти ежемесячный платёж, переплату и разбивку первых платежей на проценты и тело долга.

Решение.

Месячная ставка: $r = 18 / (12 \cdot 100) = 0{,}015$.

Коэффициент $(1+r)^n = 1{,}015^{24} \approx 1{,}42950$.

Платёж:

$$A = 500\,000 \cdot \frac{0{,}015 \cdot 1{,}42950}{1{,}42950 - 1} \approx 24\,962{,}05 \text{ руб.}$$

Составим таблицу для первых месяцев и для последнего:

Рассчитать для своей задачи

Видно, что в первом месяце проценты ($7\,500$ руб.) больше половины платежа, а в 24-м они падают почти до нуля ($368{,}90$ руб.), при этом сам платёж $24\,962{,}05$ руб. одинаков в обоих случаях.

Общая сумма выплат: $A \cdot n = 24\,962{,}05 \cdot 24 \approx 599\,089{,}22$ руб. Переплата: $599\,089{,}22 - 500\,000 = 99\,089{,}22$ руб., то есть около $19{,}8\%$ от суммы кредита.

Как быстро найти платёж за конкретный месяц

Не составляя всю таблицу, можно получить проценты и тело долга месяца $k$ напрямую, если знать остаток на начало месяца. Остаток после $k-1$ платежей выражается через сам платёж и ставку:

$$R(k-1) = S(1+r)^{k-1} - A \cdot \frac{(1+r)^{k-1} - 1}{r}$$

Дальше подставляем $R(k-1)$ в $I(k) = R(k-1) \cdot r$ и $P(k) = A - I(k)$. Для месяца $k = 12$ из примера выше: $R(11) \approx 292\,843{,}11$ руб., отсюда $I(12) = 292\,843{,}11 \cdot 0{,}015 \approx 4\,392{,}65$ руб. - совпадает со значением из таблицы.

Как найти срок кредита по известному платежу

Обратная задача - по известному предельному платежу найти минимальный срок кредита. Из формулы аннуитета выражаем $(1+r)^n$:

$$(1+r)^n = \frac{A}{A - S r}$$ $$n = \frac{\ln\left(\dfrac{A}{A - S r}\right)}{\ln(1+r)}$$

Пример. Кредит $S = 300\,000$ руб. под $r_{\text{год}} = 20\%$ годовых, платёж не должен превышать $A = 15\,000$ руб. Месячная ставка $r = 20/1200 \approx 0{,}016667$, тогда $S r = 5\,000$ руб. Подставляем:

$$n = \frac{\ln(15\,000 / 10\,000)}{\ln(1{,}016667)} = \frac{\ln 1{,}5}{\ln 1{,}016667} \approx 24{,}53$$

Число месяцев должно быть целым, а платёж - не превышать лимит, поэтому округляем вверх: $n = 25$ месяцев (тогда фактический платёж составит $\approx 14\,771{,}42$ руб., что уже укладывается в условие).

Сравнение с дифференцированным платежом

При дифференцированной схеме тело долга $D = S/n$ постоянно, а платёж убывает от месяца к месяцу - первый максимален, последний минимален. При аннуитетной схеме, наоборот, платёж $A$ постоянен, а меняется его состав. Из-за этого при одинаковых $S$, $n$ и ставке аннуитетный платёж в начале срока меньше дифференцированного (так удобнее для бюджета), а суммарная переплата за весь срок у аннуитета обычно немного больше - проценты дольше начисляются на медленнее убывающий остаток. Разница особенно заметна на длинных сроках: чем больше $n$, тем сильнее расходятся переплаты двух схем.

Типовые задачи в учебных программах

В курсах финансовой математики и банковского дела задачи на кредит с ежемесячным платежом обычно сводятся к четырём форматам.

Задача 1 - найти сам платёж. По известным $S$, $n$ и $r_{\text{год}}$ вычислить $A$ напрямую по формуле аннуитета.

Задача 2 - разбить платёж на составляющие. Для заданного месяца $k$ найти $I(k)$ и $P(k)$, используя остаток долга на начало месяца.

Задача 3 - рассчитать переплату. Переплата равна $A \cdot n - S$; здесь важно не спутать полную сумму выплат $A \cdot n$ с суммой одних только процентов.

Задача 4 - найти срок или ставку по известному платежу. Срок находится через логарифм, как показано выше; ставка при известных $S$, $A$, $n$ в явном виде не выражается и находится численно (подбором или методом деления пополам), так как уравнение относительно $r$ не решается алгебраически.

Частые ошибки

• Путают месячную и годовую ставку. Ставку $18\%$ годовых нужно делить на $12$ и на $100$, а не подставлять как есть - иначе платёж получится в разы завышенным.
• Считают, что раз платёж одинаков, то и проценты одинаковы. Постоянен только полный платёж $A$; проценты $I(k)$ убывают, а тело долга $P(k)$ растёт каждый месяц.
• Путают переплату с суммой процентов первого месяца. Переплата - это сумма процентов за ВЕСЬ срок ($A \cdot n - S$), а не однократное значение $I(1)$.
• Забывают округлить срок кредита вверх. В задаче про минимальный срок по формуле получается нецелое число месяцев - округлять нужно вверх, иначе платёж превысит заданный лимит.
• Путают формулу аннуитета с формулой дифференцированного платежа. У них разная структура: аннуитет использует геометрическую прогрессию $(1+r)^n$, дифференцированная схема - арифметическую прогрессию убывающих платежей.

FAQ

Почему платёж по кредиту одинаковый, а проценты каждый месяц разные? Платёж $A$ рассчитан так, чтобы быть постоянным, но внутри него проценты начисляются на текущий остаток долга $R(k-1)$, который убывает. Поэтому доля процентов $I(k) = R(k-1) \cdot r$ уменьшается, а доля тела долга $P(k) = A - I(k)$ растёт, хотя их сумма всегда равна $A$.

Как посчитать переплату по кредиту с ежемесячным платежом? Найдите платёж $A$ по формуле аннуитета, умножьте на число месяцев $n$ - получите итоговую сумму выплат, из неё вычтите сумму кредита $S$: $\text{Переплата} = A \cdot n - S$. Для кредита $500\,000$ руб. на $24$ месяца под $18\%$ годовых переплата составит около $99\,089$ руб.

Можно ли найти срок кредита, если известен только платёж? Да, через логарифмическую формулу $n = \ln(A / (A - Sr)) / \ln(1+r)$, где $r$ - месячная ставка долей. Результат обычно нецелый - округлять нужно вверх, чтобы фактический платёж не превысил заданный лимит.

Коротко

Ежемесячный (аннуитетный) платёж рассчитывается по формуле $A = S \cdot r(1+r)^n / ((1+r)^n - 1)$, где $r$ - месячная ставка долей. Платёж постоянен, но его состав меняется: проценты месяца $k$ равны $I(k) = R(k-1) \cdot r$ и убывают, тело долга $P(k) = A - I(k)$ растёт на ту же величину. Переплата за весь срок равна $A \cdot n - S$. Обратная задача - найти срок по известному платежу - решается через логарифм, а найти ставку по платежу в явном виде нельзя, только численно.