Задачи на аннуитетный платёж по кредиту: 3 типа расчётов

В задачах на аннуитетный платёж встречается не один вопрос, а несколько разных: чаще всего просят найти сам платёж, но не реже - максимальную сумму кредита при известном платеже или срок, за который кредит будет погашен. Все три задачи решаются одной и той же формулой аннуитета, только относительно разных переменных, и именно путаница в том, что дано, а что нужно найти, чаще всего сбивает студентов с толку. Ниже разберём формулу, все три типа задач с примерами и то, как меняется состав платежа от месяца к месяцу. Чтобы сразу увидеть связь суммы кредита, ставки, срока и платежа, переключите тип задачи в калькуляторе ниже - он мгновенно пересчитывает ответ и показывает, куда уходят деньги.

Что такое аннуитетный платёж и по какой формуле его считают

Аннуитетный платёж - это схема погашения кредита, при которой заёмщик каждый месяц вносит одну и ту же сумму $A$, хотя внутри неё постоянно меняется соотношение процентов и возврата тела долга. Формула платежа выводится из требования, что сумма всех дисконтированных платежей равна выданной сумме кредита $P$:

$A = P \cdot \frac{i (1+i)^n}{(1+i)^n - 1},$

где $i$ - месячная процентная ставка как доля (не проценты), а $n$ - срок кредита в месяцах. Ставку почти всегда дают в процентах годовых $r$, поэтому первым делом её переводят в месячную долю:

$i = \frac{r}{12 \cdot 100}.$

Эта формула - основа для всех трёх типов задач: если известны $P$, $i$ и $n$, из неё сразу находят $A$. Но условие задачи может дать любые три величины из четырёх ($A$, $P$, $i$, $n$) и попросить найти четвёртую - тогда формулу нужно решать относительно другой переменной.

Тип 1: найти платёж по сумме кредита, ставке и сроку

Это самая частая формулировка: банк выдал кредит $P$ под ставку $r$ на $n$ месяцев, требуется найти ежемесячный платёж и переплату. Разберём на числах: кредит $P = 600\,000$ руб. под $r = 12\%$ годовых на $n = 36$ месяцев.

Сначала находим месячную ставку: $i = 12 / (12 \cdot 100) = 0{,}01$, то есть 1% в месяц. Дальше считаем степень $(1+i)^n = 1{,}01^{36} \approx 1{,}430769$ и подставляем в формулу:

$A = 600\,000 \cdot \frac{0{,}01 \cdot 1{,}430769}{1{,}430769 - 1} \approx 19\,928{,}59\ \text{руб.}$

За весь срок заёмщик выплатит $A \cdot n \approx 717\,429{,}09$ руб., а переплата составит $717\,429{,}09 - 600\,000 \approx 117\,429{,}09$ руб., то есть почти 20% от суммы кредита.

Рассчитать для своей задачи

Тип 2: найти максимальную сумму кредита по посильному платежу

Вторая частая формулировка - обратная: заёмщик знает, сколько может платить в месяц, и хочет узнать, какую сумму кредита банк одобрит на заданный срок. Здесь известны $A$, $i$ и $n$, а нужно найти $P$. Формулу аннуитета решают относительно суммы кредита:

$P = A \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i (1+i)^n}.$

Пример: заёмщик готов платить $A = 15\,000$ руб. в месяц при ставке $r = 12\%$ годовых на $n = 60$ месяцев (5 лет). Месячная ставка $i = 0{,}01$, степень $(1{,}01)^{60} \approx 1{,}816697$. Подставляем:

$P = 15\,000 \cdot \frac{1{,}816697 - 1}{0{,}01 \cdot 1{,}816697} \approx 674\,325{,}58\ \text{руб.}$

То есть с таким платежом заёмщик может рассчитывать на кредит чуть больше 674 тысяч рублей - при попытке взять больше банк либо увеличит платёж, либо срок.

Тип 3: найти срок кредита по платежу и сумме

Третий тип задачи встречается реже, но именно он чаще всего пугает формулой: известны платёж $A$, сумма кредита $P$ и ставка $i$, нужно найти срок $n$ в месяцах. Здесь переменная стоит в показателе степени, поэтому формулу решают через логарифм:

$n = \frac{\ln\left(\dfrac{A}{A - P i}\right)}{\ln(1+i)}.$

Важное условие существования решения: платёж $A$ обязан быть больше процентов первого месяца $P \cdot i$, иначе долг вообще не уменьшается и срок формально бесконечен - разность $A - Pi$ в знаменателе дроби под логарифмом должна быть положительной.

Пример: кредит $P = 600\,000$ руб. под $r = 12\%$ годовых погашается платежом $A = 20\,000$ руб. в месяц. Месячные проценты первого месяца - $600\,000 \cdot 0{,}01 = 6\,000$ руб., платёж их с запасом покрывает. Считаем:

$n = \frac{\ln\left(\dfrac{20\,000}{20\,000 - 6\,000}\right)}{\ln(1{,}01)} = \frac{\ln(1{,}4286)}{\ln(1{,}01)} \approx 35{,}85.$

Поскольку платежи целые по номерам месяцев, ответ округляют вверх до 36 - в последнем, 36-м месяце остаток погашается платежом чуть меньше обычного.

Рассчитать для своей задачи

Как меняется состав платежа месяц от месяца

Хотя сумма платежа $A$ постоянна, её состав внутри пересчитывается заново каждый месяц от остатка долга $R$. Обозначим остаток после $k$-го платежа как $R(k)$, тогда:

$I(k) = R(k-1) \cdot i, \qquad C(k) = A - I(k), \qquad R(k) = R(k-1) - C(k),$

где $R(0) = P$, $I(k)$ - проценты месяца $k$, а $C(k)$ - часть платежа, идущая на тело долга. В первом примере ($P = 600\,000$, $i = 0{,}01$) первый платёж делится так: проценты $I(1) = 600\,000 \cdot 0{,}01 = 6\,000$ руб., тело долга $C(1) = 19\,928{,}59 - 6\,000 = 13\,928{,}59$ руб. К последнему месяцу остаток долга мал, поэтому проценты почти обнуляются, а тело долга занимает почти весь платёж. Именно поэтому досрочное погашение аннуитетного кредита в начале срока экономит больше, чем в конце - оно сразу режет базу, от которой считаются проценты.

Частые ошибки

• Подстановка годовой ставки вместо месячной. В формулу нужно подставлять $i = r/(12 \cdot 100)$, а не саму $r$ - иначе платёж завышается в десятки раз.
• Путаница, что дано, а что искомое. Прежде чем считать, выпишите явно: известны $P$, $A$ или $n$ - и только потом выбирайте нужную форму формулы (прямую или обратную).
• Округление срока вниз вместо вверх. Если $n$ получилось дробным (например 35,85), реальный срок - 36 месяцев: последний платёж будет меньше, а не то, что кредит "не выплатится".
• Игнорирование условия $A > P \cdot i$ в задаче на срок. Если платёж не превышает проценты первого месяца, под логарифмом получится отрицательное число или логарифм не определён - это сигнал, что с условием задачи что-то не так.
• Забытая разница между переплатой и общей суммой выплат. Переплата - это только проценты ($A \cdot n - P$), а не всё, что заплачено банку.

FAQ

Как быстро проверить формулу аннуитетного платежа на здравый смысл? При $i \to 0$ (ставка стремится к нулю) формула должна давать $A \to P/n$ - просто равномерное деление суммы кредита на число месяцев без процентов. Подставьте маленькое $i$ и убедитесь, что результат близок к этому пределу.

Можно ли найти сумму кредита, если известны только платёж и переплата, без срока? Да, но тогда сначала находят срок из соотношения переплаты и платежа ($n = (P + \text{переплата})/A$), а затем действуют как в задаче на срок или подставляют в прямую формулу для проверки - без ставки или срока напрямую не обойтись.

Почему при одинаковой сумме кредита аннуитетный платёж даёт бОльшую переплату, чем дифференцированный? При дифференцированной схеме тело долга гасится равными долями сразу, поэтому база для процентов убывает быстрее, а при аннуитетной в первые месяцы гасится в основном не тело, а проценты - в среднем долг убывает медленнее, отсюда и переплата выше.

Коротко

Аннuitetный платёж считается по формуле $A = P i (1+i)^n / ((1+i)^n - 1)$, где $i$ - месячная ставка долей. Та же формула, решённая относительно другой переменной, даёт сумму кредита $P = A((1+i)^n - 1)/(i(1+i)^n)$ или срок $n = \ln(A/(A - Pi))/\ln(1+i)$ - тип задачи определяется тем, что дано в условии. Внутри одинакового платежа доля процентов убывает, а доля тела долга растёт от месяца к месяцу, хотя сама сумма $A$ не меняется.