Задачи на простые проценты по вкладу: формула и решение

Задачи на простые проценты по вкладу - один из самых частых типов текстовых задач в школьном курсе и на вступительных экзаменах: банк начисляет проценты только на первоначальную сумму вклада, и с каждым периодом прибавка одна и та же. Это отличает простые проценты от сложных, где проценты начисляются уже на выросшую сумму. Ниже разберём формулу простых процентов, выведем её из смысла задачи, решим несколько типовых примеров с числами и покажем, где чаще всего ошибаются студенты. Чтобы сразу увидеть, как вклад растёт по прямой линии, а не по кривой, покрути калькулятор ниже - он пересчитывает проценты и итоговую сумму мгновенно и рисует график роста рядом со сложными процентами для сравнения.

Что такое простые проценты по вкладу

Простые проценты - это способ начисления дохода, при котором проценты каждый раз считаются от одной и той же величины - первоначальной суммы вклада $P$. Если вклад открыт под ставку $r$ процентов годовых, то за год начисляется $P \cdot r/100$ рублей, за два года - вдвое больше, за три - втрое, и так далее: прибавка не зависит от того, сколько процентов уже накопилось раньше. Именно поэтому график роста суммы при простых процентах - прямая линия, а не кривая: каждый следующий месяц или год добавляет одно и то же число рублей.

Рассчитать для своей задачи

Это принципиально отличает простые проценты от сложных (капитализации), где база начисления каждый раз увеличивается на уже полученные проценты, и рост идёт по экспоненте, ускоряясь со временем.

Формула простых процентов

Пусть вклад $P$ открыт на срок $t$ месяцев под ставку $r$ процентов годовых. Тогда сумма начисленных процентов:

$I = P \cdot \frac{r}{100} \cdot \frac{t}{12}.$

Дробь $t/12$ переводит срок из месяцев в доли года, потому что ставка $r$ дана именно как годовая. Если срок задан в годах, формула упрощается - просто подставляйте число лет вместо $t/12$. Если срок задан в днях, используйте $t/365$ (или $t/360$, если в условии задачи прямо указан такой год расчёта - банковские методики отличаются).

Итоговая сумма на вкладе - это тело вклада плюс начисленные проценты:

$A = P + I = P\left(1 + \frac{r}{100}\cdot\frac{t}{12}\right).$

Обратите внимание: $A$ растёт линейно по $t$ - это и есть математическая суть «простоты» простых процентов. В формуле для сложных процентов та же исходная сумма даёт другую зависимость:

$A_{слож} = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^{t/12},$

и это уже показательная функция от срока, а не линейная.

Рассчитать для своей задачи

Как вывести формулу из смысла задачи

Если формулу трудно запомнить, её легко восстановить логически. Пусть вклад $P = 100000$ ₽ открыт под $r = 8\%$ годовых. За полный год проценты составят $100000 \cdot 0{,}08 = 8000$ ₽ - это просто восемь процентов от исходной суммы. За полгода - вдвое меньше, $4000$ ₽, потому что и время вдвое меньше. За произвольный срок $t$ месяцев проценты пропорциональны доле года $t/12$:

$I = \underbrace{P \cdot \frac{r}{100}}_{\text{проценты за год}} \cdot \underbrace{\frac{t}{12}}_{\text{доля года}}.$

Такой вывод «от смысла» надёжнее заучивания: он сразу подсказывает, что менять в формуле, если срок дан не в месяцах, а в днях или в годах - достаточно верно посчитать долю года.

Пример решения типовой задачи

Вклад в размере $50000$ ₽ открыт под $6\%$ годовых простых процентов на $8$ месяцев. Нужно найти сумму начисленных процентов и итоговую сумму на счёте.

Подставляем данные в формулу процентов:

$I = 50000 \cdot \frac{6}{100} \cdot \frac{8}{12} = 50000 \cdot 0{,}06 \cdot 0{,}6\overline{6} = 2000\ \text{₽}.$

Итоговая сумма на вкладе:

$A = P + I = 50000 + 2000 = 52000\ \text{₽}.$

Проверка через альтернативную запись формулы даёт то же самое: $A = 50000\left(1 + 0{,}06 \cdot \frac{8}{12}\right) = 50000 \cdot 1{,}04 = 52000$ ₽. Оба пути обязаны сходиться - если у вас получаются разные числа, ищите ошибку в переводе месяцев в доли года.

Срок в днях: на что обратить внимание

Если условие задачи даёт срок в днях, а не в месяцах, доля года считается как $t_{\text{дн}}/365$ (иногда $t_{\text{дн}}/360$ - уточняйте в условии, какой год расчёта используется, «точный» или «банковский»). Например, вклад $80000$ ₽ под $7{,}5\%$ годовых на $45$ дней даёт:

$I = 80000 \cdot \frac{7{,}5}{100} \cdot \frac{45}{365} \approx 739{,}73\ \text{₽}.$

Округление здесь стоит делать в самом конце, а не на промежуточных шагах - иначе накопится погрешность. Банки в реальных расчётах чаще округляют итоговую сумму до копеек, а не заранее.

Простые проценты против сложных: где расходятся суммы

При сроке ровно $12$ месяцев (один год) простые и сложные проценты дают одинаковый результат - расхождение между формулами появляется только тогда, когда начисление происходит больше одного периода. Возьмём вклад $100000$ ₽ под $9\%$ годовых на $2$ года:

$A_{\text{прост}} = 100000\left(1 + 0{,}09 \cdot 2\right) = 118000\ \text{₽},$

$A_{\text{слож}} = 100000\left(1 + 0{,}09\right)^{2} = 118810\ \text{₽}.$

Разница небольшая - $810$ ₽ - но она растёт вместе со сроком, потому что сложные проценты начисляются уже на увеличенную сумму, а простые - всегда на исходную. В калькуляторе выше эта разница показана отдельным числом: подвигайте срок за пределы года и увидите, как обе кривые расходятся всё сильнее.

Частые ошибки

• Забыли перевести срок в доли года. Если срок дан в месяцах, обязательно делить на $12$, а не подставлять число месяцев напрямую в формулу с годовой ставкой - иначе проценты завышаются в разы.
• Перепутали простые проценты со сложными. В задаче на простые проценты база начисления не меняется от периода к периоду - если в решении она растёт, это уже другая модель.
• Округление на промежуточных шагах. Округлять стоит только итоговый ответ, иначе при малых суммах или долях процента накапливается заметная погрешность.
• Неверный день в году. При расчёте по дням путают $365$ и $360$ - уточняйте условие задачи или используйте общепринятый календарный год, если условие молчит.
• Ставка процентов не переведена в доли. $r\%$ в формуле нужно делить на $100$ - забытое деление даёт проценты, в сто раз большие правильных.

FAQ

Чем простые проценты отличаются от сложных на вкладе? Простые проценты каждый раз начисляются на одну и ту же первоначальную сумму, поэтому вклад растёт линейно. Сложные проценты начисляются на уже наросшую сумму (с учётом ранее начисленных процентов), поэтому рост идёт по экспоненте и ускоряется со временем.

Как посчитать простые проценты за неполный год? Нужно взять долю года: если срок в месяцах - разделить на $12$, если в днях - на $365$ (или $360$, если так указано в условии). Эту долю подставляют в формулу $I = P \cdot r/100 \cdot t_{\text{доля года}}$.

Можно ли получить сумму процентов больше самого вклада? Да, если срок достаточно велик: при простых процентах сумма процентов растёт линейно и рано или поздно превысит тело вклада, в отличие от отдельных краткосрочных задач, где проценты - лишь малая добавка.

Коротко

Простые проценты по вкладу начисляются на первоначальную сумму $P$ и вычисляются по формуле $I = P \cdot r/100 \cdot t/12$ (срок в месяцах) или с другой долей года, если срок задан иначе. Итоговая сумма на счёте - $A = P + I$, и график этой суммы всегда линеен по времени, в отличие от сложных процентов, которые растут по экспоненте. При сроке ровно в год обе модели совпадают, а дальше расходятся тем сильнее, чем длиннее срок вклада.