Задачи на сложные проценты по вкладу: формула и решение

Задачи на сложные проценты по вкладу встречаются и в школьном курсе математики, и в заданиях ЕГЭ по финансовой грамотности, и в реальных расчётах банковского депозита. Отличие от простых процентов в том, что проценты начисляются не только на первоначальную сумму, а на неё же плюс уже накопленные ранее проценты - эффект капитализации. Ниже разберём формулу сложных процентов, покажем, как капитализация меняет итоговую сумму, и решим типовую задачу по шагам. Чтобы сразу увидеть, как сумма вклада, ставка и периодичность капитализации связаны между собой, покрутите калькулятор ниже - он строит график роста вклада и мгновенно пересчитывает доход.

Чем сложные проценты отличаются от простых

При простых процентах доход за каждый период начисляется только на первоначальную сумму вклада: если положить $P$ рублей под ставку $r$% годовых на $n$ лет, итоговая сумма растёт линейно:

$A_{пр} = P\left(1 + \frac{rn}{100}\right).$

При сложных процентах (капитализации) проценты, начисленные за очередной период, присоединяются к сумме вклада, и в следующем периоде проценты начисляются уже на увеличенную сумму. Именно поэтому банковские вклады с капитализацией растут быстрее линейной прямой - с каждым периодом база для начисления становится больше. В задачах на сложные проценты по вкладу это единственное, что нужно отличать: если в условии сказано «капитализация», «проценты присоединяются к вкладу» или «проценты на проценты» - работаем по формуле сложных процентов, а не простых.

Формула сложных процентов по вкладу

Пусть вклад составляет $P$ рублей, годовая ставка равна $r$%, капитализация происходит $m$ раз в год (ежегодно - $m=1$, раз в полгода - $m=2$, ежеквартально - $m=4$, ежемесячно - $m=12$), а срок вклада - $n$ лет. Тогда итоговая сумма на счёте:

$A = P\left(1 + \frac{r}{100m}\right)^{mn}.$

За каждый из $mn$ периодов сумма умножается на один и тот же множитель $\left(1 + \dfrac{r}{100m}\right)$ - это и есть геометрическая прогрессия, только записанная через степень. Начисленные проценты (доход по вкладу) находятся вычитанием первоначальной суммы:

$I = A - P.$

Рассчитать для своей задачи

Как периодичность капитализации меняет итоговую сумму

Чем чаще происходит капитализация при той же номинальной годовой ставке, тем больше итоговая сумма - проценты успевают присоединиться к вкладу раньше и сами начинают работать. Возьмём вклад $P = 200\,000$ рублей под $r = 12\%$ годовых на $n = 2$ года и сравним ежеквартальную капитализацию ($m = 4$):

$A = 200\,000\left(1 + \frac{12}{100 \cdot 4}\right)^{4 \cdot 2} = 200\,000 \cdot 1{,}03^{8} \approx 253\,354{,}02\ \text{руб}.$

Начисленные проценты составят $I = 253\,354{,}02 - 200\,000 = 53\,354{,}02$ рублей - больше, чем дали бы простые проценты за тот же срок ($200\,000 \cdot (1 + 0{,}24) = 248\,000$ рублей). Разница в $5\,354{,}02$ рубля - это чистый эффект капитализации: чем короче период начисления и чем длиннее срок вклада, тем заметнее становится этот разрыв.

Рассчитать для своей задачи

Как найти проценты, ставку или срок по обратной формуле

Задачи на сложные проценты не всегда просят найти итоговую сумму - часто по условию известна конечная сумма, а искать нужно ставку или срок. Основная формула $A = P\left(1 + \dfrac{r}{100m}\right)^{mn}$ решается относительно любой переменной:

• Ставка, если известны $A$, $P$, $n$ и $m$:

$r = 100m\left(\sqrt[mn]{\frac{A}{P}} - 1\right).$

• Срок, если известны $A$, $P$, $r$ и $m$ - через логарифм, потому что переменная стоит в показателе степени:

$n = \frac{\log(A/P)}{m\log\left(1 + \dfrac{r}{100m}\right)}.$

При ежегодной капитализации ($m=1$) обе формулы упрощаются: $r = 100\left(\sqrt[n]{A/P} - 1\right)$ и $n = \dfrac{\log(A/P)}{\log(1 + r/100)}$. На практике удобнее не запоминать обратные формулы, а подставлять известные числа в основную формулу и решать уравнение относительно неизвестной - так меньше риск перепутать степень с корнем.

Пример решения задачи

Вклад $100\,000$ рублей размещён под сложные проценты по ставке $10\%$ годовых с ежегодной капитализацией на $3$ года. Найти итоговую сумму, начисленные проценты и сравнить их с простыми процентами за тот же срок.

Подставляем в формулу сложных процентов при $m = 1$:

$$\begin{aligned} A &= 100\,000 \cdot (1{,}1)^3 \\ &= 100\,000 \cdot 1{,}331 \\ &= 133\,100\ \text{руб}. \end{aligned}$$

Проверить удобно по годам: за первый год сумма вырастет до $100\,000 \cdot 1{,}1 = 110\,000$ рублей, за второй - до $110\,000 \cdot 1{,}1 = 121\,000$ рублей, за третий - до $121\,000 \cdot 1{,}1 = 133\,100$ рублей. Результат совпал, значит, степенная формула применена верно. Начисленные проценты:

$I = A - P = 133\,100 - 100\,000 = 33\,100\ \text{руб}.$

Для сравнения посчитаем простые проценты за те же 3 года при той же ставке:

$A_{пр} = 100\,000\left(1 + \frac{10 \cdot 3}{100}\right) = 130\,000\ \text{руб}.$

Разница $133\,100 - 130\,000 = 3\,100$ рублей - это доход, который вклад получил именно за счёт капитализации: на второй и третий год проценты начислялись уже не только на первоначальные 100 000, но и на ранее присоединённые проценты.

Частые ошибки

• Перепутана ставка за период со ставкой за год. В формуле $A = P\left(1 + \dfrac{r}{100m}\right)^{mn}$ ставка $r$ - годовая номинальная, её нужно поделить на $m$, чтобы получить ставку за один период капитализации. Использовать $r$ напрямую как ставку за квартал или месяц - типичная ошибка, завышающая ответ в несколько раз.
• Показатель степени взят как $n$, а не $mn$. Число периодов начисления равно произведению количества лет на число капитализаций в год, а не самому сроку в годах: при ежеквартальной капитализации за 2 года показатель степени равен $4 \cdot 2 = 8$, а не $2$.
• Формула простых процентов используется вместо сложных. Если в условии есть слово «капитализация» или «проценты присоединяются к вкладу», линейная формула $A_{пр} = P(1 + rn/100)$ даст заниженный результат.
• Ставка переведена в доли вместо процентов внутри той же формулы дважды. Если $r$ уже подставлена как десятичная дробь (например $0{,}1$ вместо $10$), в формуле $1 + r/(100m)$ делить на 100 второй раз не нужно - иначе прирост занизится в сто раз.
• При поиске ставки или срока забыт корень или логарифм. Обратная формула для ставки требует извлечения корня степени $mn$, а не деления $A/P$ на показатель степени - так теряется вся суть геометрической прогрессии.

FAQ

Как посчитать сложные проценты по вкладу за несколько лет? Подставить сумму вклада $P$, годовую ставку $r$, число капитализаций в год $m$ и срок $n$ в формулу $A = P\left(1 + \dfrac{r}{100m}\right)^{mn}$. При ежегодной капитализации проще всего умножать сумму на множитель $(1 + r/100)$ последовательно за каждый год и сверять с результатом по формуле.

Чем капитализация ежемесячно отличается от капитализации ежегодно при одной и той же ставке? При той же номинальной ставке более частая капитализация даёт бОльшую итоговую сумму, потому что проценты присоединяются к вкладу раньше и сами начинают приносить доход. Разница растёт вместе со сроком вклада и особенно заметна при высоких ставках.

Можно ли получить проценты больше суммы вклада? Да, если срок вклада и ставка достаточно велики: например, при ставке 20% годовых и сроке 10 лет с ежегодной капитализацией сумма увеличится больше чем в 6 раз, а проценты в несколько раз превысят первоначальный вклад. Проверка - подставить числа в основную формулу и убедиться, что результат правдоподобен.

Коротко

Сложные проценты по вкладу растут по формуле $A = P\left(1 + \dfrac{r}{100m}\right)^{mn}$, где проценты каждого периода присоединяются к сумме вклада и дальше сами приносят доход - в отличие от простых процентов, которые начисляются только на первоначальную сумму. Чем чаще капитализация ($m$) и чем длиннее срок ($n$), тем больше разрыв между сложными и простыми процентами. Начисленные проценты находятся как $I = A - P$, а ставку или срок из известной итоговой суммы можно найти, решив ту же формулу относительно нужной переменной через корень или логарифм.