Закон Ома для полной цепи: формула и примеры задач

Закон Ома для участка цепи связывает ток и напряжение на одном резисторе, но реальная батарейка или аккумулятор - это не идеальный источник напряжения: у него есть собственное внутреннее сопротивление, и часть ЭДС неизбежно теряется внутри самого источника. Закон Ома для полной цепи как раз и учитывает эту потерю, объединяя внешнюю нагрузку и источник в единый замкнутый контур. Ниже разберём вывод формулы, что происходит при коротком замыкании, как посчитать напряжение на клеммах и мощность на нагрузке, и решим типовую задачу с числами. Чтобы сразу увидеть, как ток и напряжение реагируют на изменение сопротивлений, покрутите калькулятор ниже - он пересчитывает всю цепь мгновенно.

Что такое ЭДС и внутреннее сопротивление источника

Электродвижущая сила (ЭДС) $\varepsilon$ - это работа сторонних сил источника по перемещению единичного заряда по всей цепи, включая сам источник. Физически внутри батарейки или генератора действуют силы неэлектростатической природы (химические реакции, магнитная индукция), которые разгоняют заряды против электрического поля. Численно ЭДС равна напряжению на клеммах разомкнутого источника, когда ток не течёт и падения напряжения внутри нет.

Как только цепь замкнута и потёк ток, часть ЭДС тратится на преодоление внутреннего сопротивления источника $r$ - оно складывается из сопротивления электролита, электродов или обмотки генератора. Именно поэтому напряжение на клеммах работающей батарейки всегда немного меньше её паспортной ЭДС.

Вывод формулы закона Ома для полной цепи

Рассмотрим простейшую цепь: источник с ЭДС $\varepsilon$ и внутренним сопротивлением $r$ подключён к внешнему резистору сопротивлением $R$. По закону сохранения энергии вся работа сторонних сил за единицу времени идёт на тепло, выделяющееся и во внешней цепи, и внутри источника:

Рассчитать для своей задачи

$\varepsilon = I R + I r.$

Отсюда сразу выражается сила тока в полной цепи:

$I = \frac{\varepsilon}{R + r}.$

Это и есть закон Ома для полной цепи: ток равен ЭДС, делённой на сумму внешнего и внутреннего сопротивлений. Обратите внимание - в знаменателе именно сумма, а не одно только внешнее сопротивление, как в законе Ома для участка цепи. Чем больше внутреннее сопротивление источника, тем сильнее ток отстаёт от идеального значения $\varepsilon/R$.

Напряжение на клеммах и внешняя характеристика

Напряжение на клеммах источника $U$ равно падению напряжения на внешнем резисторе, ведь именно это напряжение видит подключённая нагрузка:

$U = IR = \varepsilon - Ir.$

Второе равенство показывает: чем больше ток течёт через источник, тем больше напряжение падает внутри него и тем меньше остаётся на клеммах. Зависимость $U(I) = \varepsilon - Ir$ линейна и называется внешней характеристикой источника - это прямая с наклоном $-r$, которая при $I = 0$ даёт $U = \varepsilon$, а обращается в ноль при токе короткого замыкания.

Рассчитать для своей задачи

Наклон этой прямой - прямой измеримый способ узнать внутреннее сопротивление источника экспериментально: достаточно снять напряжение на клеммах при двух разных нагрузках и найти отношение $\Delta U/\Delta I$.

Короткое замыкание и предельный ток

Если внешнее сопротивление устремить к нулю ($R \to 0$), формула закона Ома для полной цепи даёт предельный, максимально возможный ток источника - ток короткого замыкания:

$I_{кз} = \frac{\varepsilon}{r}.$

Это единственная величина, которая ограничивает ток в цепи, если внешнее сопротивление отсутствует или пренебрежимо мало. Именно поэтому короткое замыкание опасно: ток может вырасти в десятки раз и вызвать перегрев проводов или источника. У реального аккумулятора внутреннее сопротивление мало (доли ома), поэтому ток короткого замыкания может достигать сотен ампер.

Мощность, КПД источника и максимальная передача мощности

Полная мощность, которую развивает источник, равна произведению ЭДС на ток: $P_{полн} = \varepsilon I$. Она распределяется между полезной мощностью на внешнем резисторе и теплом, выделяющимся внутри источника:

$P_{полн} = \varepsilon I = I^2 R + I^2 r.$

Полезная мощность на нагрузке $P_R = I^2 R$, а коэффициент полезного действия источника - это доля полезной мощности от полной:

$\eta = \frac{P_R}{P_{полн}} = \frac{R}{R + r}.$

Рассчитать для своей задачи

Полезная мощность $P_R(R) = \varepsilon^2 R / (R+r)^2$ не растёт монотонно с увеличением $R$: она достигает максимума при $R = r$, и в этой точке $P_{max} = \varepsilon^2/(4r)$, а КПД равен ровно 50%. При дальнейшем росте $R$ КПД растёт и стремится к 100%, но абсолютная мощность на нагрузке падает, потому что ток становится слишком малым. Это классическая теорема о согласовании нагрузки - она работает не только в электротехнике, но и в акустике, и в передаче сигналов.

Пример решения типовой задачи

Источник с ЭДС $\varepsilon = 12$ В и внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом подключён к резистору $R = 5$ Ом. Найдите силу тока в цепи, напряжение на резисторе и мощность, выделяющуюся на нём.

Сначала находим силу тока по закону Ома для полной цепи:

$I = \frac{\varepsilon}{R + r} = \frac{12}{5 + 1} = 2\ \text{А}.$

Напряжение на клеммах источника равно напряжению на резисторе:

$U = IR = 2 \cdot 5 = 10\ \text{В}.$

Разница между ЭДС и напряжением на клеммах - это падение напряжения на внутреннем сопротивлении: $\varepsilon - U = 12 - 10 = 2$ В, что совпадает с $Ir = 2 \cdot 1 = 2$ В - проверка сходится. Мощность на внешнем резисторе:

$P_R = I^2 R = 2^2 \cdot 5 = 20\ \text{Вт}.$

Полная мощность источника $P_{полн} = \varepsilon I = 12 \cdot 2 = 24$ Вт, из них $4$ Вт (то есть $I^2 r$) рассеивается внутри источника, а КПД составляет $20/24 \approx 83{,}3\%$. Все эти величины пересчитывает калькулятор выше - попробуйте подставить свои числа и посмотреть, как поведёт себя внешняя характеристика.

Частые ошибки

• Забыть про внутреннее сопротивление. Если в условии дана ЭДС и хотя бы одно упоминание внутреннего сопротивления источника, ток нельзя искать как $\varepsilon/R$ - обязательно нужна сумма $R + r$.
• Перепутать ЭДС и напряжение на клеммах. ЭДС - паспортная характеристика источника (что было бы при разомкнутой цепи), а напряжение на клеммах $U = \varepsilon - Ir$ всегда меньше ЭДС при протекающем токе.
• Игнорировать последовательное/параллельное соединение резисторов. Если внешняя цепь состоит из нескольких резисторов, сначала нужно найти их эквивалентное сопротивление $R$, и только потом подставлять в закон Ома для полной цепи.
• Считать ток короткого замыкания через внешнее сопротивление. При коротком замыкании $R = 0$, поэтому ток ограничен только внутренним сопротивлением: $I_{кз} = \varepsilon/r$, а не деление на ноль.
• Путать максимум тока и максимум мощности. Ток максимален при $R \to 0$, а вот полезная мощность на нагрузке максимальна при $R = r$ - это разные условия, и в задачах их часто путают.

FAQ

Как найти ЭДС источника, если известны ток и оба сопротивления? Из закона Ома для полной цепи $\varepsilon = I(R + r)$: подставьте измеренный ток и сумму внешнего и внутреннего сопротивлений.

Почему при коротком замыкании ток не бесконечен? Потому что источник всё равно обладает собственным внутренним сопротивлением $r$: ток ограничен величиной $I_{кз} = \varepsilon/r$, а не растёт неограниченно.

Что произойдёт с напряжением на клеммах, если подключить ещё один резистор параллельно нагрузке? Эквивалентное сопротивление внешней цепи уменьшится, общий ток через источник вырастет, а значит, вырастет и падение напряжения на $r$ - напряжение на клеммах уменьшится.

Всегда ли КПД источника растёт вместе с сопротивлением нагрузки? Да, формула $\eta = R/(R+r)$ монотонно растёт с увеличением $R$ и стремится к 100%, но при этом абсолютная полезная мощность на нагрузке после точки $R = r$ начинает падать.

Коротко

Закон Ома для полной цепи $I = \varepsilon/(R+r)$ учитывает, что часть ЭДС теряется на внутреннем сопротивлении источника $r$. Напряжение на клеммах $U = \varepsilon - Ir$ всегда меньше ЭДС при протекающем токе, а предельный ток короткого замыкания $I_{кз} = \varepsilon/r$ ограничен только внутренним сопротивлением. Полезная мощность на нагрузке $P_R = I^2R$ максимальна не при максимальном токе, а при согласовании $R = r$, тогда как КПД источника $\eta = R/(R+r)$ растёт вместе с внешним сопротивлением.