Законы коммутации в переходных процессах: формулы

Переходный процесс в электрической цепи начинается в момент коммутации - когда замыкается или размыкается ключ, включается источник или меняется параметр схемы. Чтобы решить дифференциальное уравнение цепи после такого события, нужно знать значения токов и напряжений в самый первый момент после коммутации, то есть начальные условия. Именно их и дают законы коммутации: они утверждают, что некоторые величины в принципе не могут измениться мгновенно, а другие - могут, и притом скачком. Ниже разберём оба закона по отдельности, объясним физическую причину запрета на скачок и покажем на калькуляторе, как непрерывная и разрывная величины ведут себя рядом на одном графике.

Что такое коммутация и зачем нужны законы коммутации

Коммутацией в теории цепей называют любое резкое изменение схемы: замыкание или размыкание ключа, короткое замыкание участка, обрыв ветви, скачкообразное изменение источника. До коммутации цепь находится в одном установившемся (или ином известном) режиме, после - стремится к новому установившемуся режиму, а между этими состояниями идёт переходный процесс. Чтобы найти токи и напряжения на всём протяжении переходного процесса, решают дифференциальное уравнение цепи, а для этого нужна не только сама формула, но и конкретное значение искомой величины в момент $t = 0$ - точка отсчёта, от которой строится всё решение.

Проблема в том, что не любую величину можно взять "как получится" в момент коммутации: некоторые физические величины связаны с запасённой в элементе энергией, и энергия не может измениться скачком - для этого потребовалась бы бесконечная мощность. Законы коммутации формализуют именно это наблюдение и указывают, какие две величины в схеме заведомо непрерывны в момент $t = 0$, а какие могут иметь разрыв.

Первый закон коммутации: ток через индуктивность

Первый закон коммутации гласит: ток через индуктивность не может измениться скачком, значит, его значение сразу после коммутации равно значению непосредственно перед ней:

$i_L(0_+) = i_L(0_-).$

Здесь $0_-$ - момент времени непосредственно перед коммутацией, а $0_+$ - сразу после неё. Физическая причина запрета проста: энергия, запасённая в магнитном поле катушки, равна $W_L = \dfrac{L i_L^2}{2}$. Если бы ток менялся скачком, эта энергия изменилась бы за нулевое время, а значит потребовалась бы бесконечная мощность источника - в реальной цепи такого не бывает. Второй способ увидеть тот же запрет - через закон электромагнитной индукции: ЭДС самоиндукции равна $e_L = -L\,\dfrac{di_L}{dt}$, и скачок тока означал бы бесконечную производную, то есть бесконечную ЭДС.

Рассчитать для своей задачи

Обратите внимание: сам закон говорит только про ток через катушку. Напряжение на катушке $u_L = L\,\dfrac{di_L}{dt}$ никак законом не ограничено и вполне может измениться скачком - собственно, именно это и происходит при включении RL-цепи: в момент $t = 0_+$ напряжение на катушке равно всей приложенной ЭДС $E$, хотя мгновением раньше оно было нулевым.

Второй закон коммутации: напряжение на ёмкости

Второй закон коммутации симметричен первому, но относится к конденсатору: напряжение на ёмкости не может измениться скачком, поэтому

$u_C(0_+) = u_C(0_-).$

Физика та же самая, только энергия запасена не в магнитном, а в электрическом поле: $W_C = \dfrac{C u_C^2}{2}$. Скачок напряжения означал бы мгновенное изменение этой энергии, а связь тока и напряжения на конденсаторе $i_C = C\,\dfrac{du_C}{dt}$ - что при скачке напряжения ток должен был бы стать бесконечным. Ни то ни другое физически невозможно, поэтому напряжение на конденсаторе всегда меняется плавно, даже если сама коммутация происходит мгновенно.

Рассчитать для своей задачи

Как и в случае с катушкой, ток через конденсатор $i_C$ законом не ограничен и может испытывать разрыв. При включении RC-цепи в момент $t = 0_+$ весь ток идёт через резистор без всякого падения напряжения на конденсаторе, поэтому он мгновенно достигает значения $E/R$ - и тут же начинает убывать по мере того, как конденсатор заряжается.

Почему нельзя перепутать непрерывную и разрывную величину

Частая путаница у студентов - решить, что катушка и конденсатор как "похожие" накопители энергии ведут себя одинаково по всем величинам. На деле ток и напряжение играют для них противоположные роли:

• у катушки непрерывен ток $i_L$, а разрывно напряжение $u_L$;
• у конденсатора непрерывно напряжение $u_C$, а разрывен ток $i_C$.

Причина - в том, какая переменная напрямую связана с запасённой энергией. Энергия катушки зависит от тока в квадрате, поэтому непрерывен именно ток; энергия конденсатора зависит от напряжения в квадрате, поэтому непрерывно именно напряжение. Остальные величины схемы (падения напряжения на резисторах, токи соседних ветвей) тоже могут скачком меняться, если выражаются через разрывную величину катушки или конденсатора: при последовательном включении RL-цепи ток резистора равен току катушки и потому непрерывен, а при параллельном соединении резистора с катушкой ток именно этого резистора вполне может прыгнуть.

Как законы коммутации используются при расчёте переходного процесса

Классический метод расчёта переходного процесса строит полное решение как сумму принуждённой (установившейся) и свободной составляющих:

$i(t) = i_{вын}(t) + i_{св}(t) = i_{вын}(t) + A\,e^{-t/\tau}.$

Принуждённая составляющая находится из анализа цепи в новом установившемся режиме - постоянный ток через катушку в установившемся режиме не создаёт на ней падения напряжения, а через заряженный конденсатор в установившемся режиме ток не течёт. Постоянная времени $\tau$ определяется параметрами цепи: $\tau = L/R$ для RL-цепи и $\tau = RC$ для RC-цепи. Остаётся единственная неизвестная - постоянная интегрирования $A$, и именно её находят из начального условия, подставляя $t = 0$ в общее решение и приравнивая результат значению, которое даёт закон коммутации.

Рассчитать для своей задачи

Без законов коммутации не из чего было бы находить постоянную интегрирования, и классический метод просто не запустился бы. При расчёте разветвлённых цепей ту же роль начальных условий выполняют операторные образы элементов - подробнее об этом в статье про операторный метод расчёта переходных процессов.

Пример решения типовой задачи

Рассмотрим RL-цепь: источник ЭДС $E = 100$ В подключается в момент $t = 0$ последовательно к резистору $R = 100$ Ом и катушке $L = 1$ Гн. До коммутации ток в цепи был равен нулю. Найдём закон изменения тока $i_L(t)$.

По первому закону коммутации начальное условие сразу известно:

$i_L(0_+) = i_L(0_-) = 0.$

Принуждённая составляющая - ток в новом установившемся режиме, когда катушка ведёт себя как обычный проводник без падения напряжения:

$i_{вын} = \frac{E}{R} = \frac{100}{100} = 1\ \text{А}.$

Постоянная времени цепи:

$\tau = \frac{L}{R} = \frac{1}{100} = 0{,}01\ \text{с} = 10\ \text{мс}.$

Полное решение записываем как сумму принуждённой и свободной составляющих и подставляем начальное условие, чтобы найти постоянную $A$:

$i_L(t) = i_{вын} + A e^{-t/\tau}, \qquad i_L(0_+) = i_{вын} + A = 0 \;\Rightarrow\; A = -i_{вын} = -1\ \text{А}.$

Итоговый закон изменения тока:

$i_L(t) = 1 - e^{-t/0{,}01}\ \text{А}.$

Напряжение на катушке, наоборот, испытывает скачок: в момент $t = 0_-$ оно было равно нулю, а в момент $t = 0_+$ равно всей ЭДС источника, потому что падение напряжения на резисторе в этот момент ещё нулевое ($i_L(0_+) = 0$):

$u_L(0_+) = E - i_L(0_+) R = 100 - 0 = 100\ \text{В}.$

Дальше это напряжение спадает по той же экспоненте: $u_L(t) = E e^{-t/\tau}$. Через 10 мс (одна постоянная времени) ток достигнет 63% от установившегося значения (около 0,63 А), а через 5 постоянных времени (50 мс) практически сравняется с установившимся значением - стандартный ориентир, по которому переходный процесс считают завершённым.

Частые ошибки

• Применение закона к "не той" величине. Закон коммутации ограничивает ток катушки и напряжение конденсатора, а не наоборот. Напряжение на катушке и ток конденсатора законом не ограничены и обычно испытывают разрыв.
• Забытое различие $0_-$ и $0_+$. Начальное условие берётся из режима до коммутации ($0_-$), а решение ищется после неё ($0_+$); закон коммутации - это именно мост между двумя моментами.
• Использование законов коммутации для резисторов. У резистора нет накопленной энергии, поэтому ток и напряжение на нём могут меняться скачком - никакого закона непрерывности для резистора не существует.
• Путаница с постоянной времени. $\tau = L/R$ для катушки и $\tau = RC$ для конденсатора - перепутанная формула даёт неверный темп нарастания или спада переходного процесса.
• Игнорирование топологии цепи. В разветвлённых схемах ток через конкретный резистор не обязан совпадать с током катушки - непрерывен именно ток катушки, а не любой ток цепи.

FAQ

Почему ток через катушку не может измениться скачком? Потому что энергия магнитного поля катушки $W_L = L i_L^2/2$ пропорциональна квадрату тока, а мгновенное изменение энергии потребовало бы бесконечной мощности источника. Дополнительно скачок тока означал бы бесконечную ЭДС самоиндукции $e_L = -L\,di_L/dt$.

Может ли напряжение на катушке измениться скачком? Да, и обычно именно так и происходит: закон коммутации ограничивает только ток через катушку, а напряжение на ней от производной тока и вполне может прыгнуть - например, в момент включения RL-цепи оно скачком принимает значение всей приложенной ЭДС.

Как найти постоянную интегрирования в классическом методе через законы коммутации? Записывают общее решение как сумму принуждённой и свободной составляющих, подставляют $t = 0_+$ и приравнивают результат значению, которое дают законы коммутации (ток катушки или напряжение конденсатора равны значению до коммутации); из этого равенства и находят постоянную.

Коротко

Законы коммутации утверждают, что ток через индуктивность и напряжение на ёмкости не могут измениться скачком в момент коммутации, потому что это означало бы мгновенное изменение запасённой энергии. Первый закон - $i_L(0_+) = i_L(0_-)$, второй - $u_C(0_+) = u_C(0_-)$. Все остальные величины схемы, включая напряжение на катушке и ток через конденсатор, скачок совершить могут. Именно эти два условия дают недостающее начальное условие, без которого не решить дифференциальное уравнение переходного процесса классическим методом.