Как найти жорданову форму матрицы: пример 3x3

Дано: матрица $A$ со строками 0 2 $-1$; $-2$ 4 $-1$; $-1$ 1 1. Найти: жорданову нормальную форму $J$ и матрицу перехода $P$ со связью $A = PJP^{-1}$.

Характеристическое уравнение даёт корень 2 кратности два и корень 1. Двойному корню отвечает всего одно собственное направление, поэтому базис из собственных векторов не собирается и диагонального вида у матрицы нет. Вместо него получается ближайшая к диагональной форма: $J$ со строками 2 1 0; 0 2 0; 0 0 1, то есть клетка размера два при $\lambda = 2$ и клетка размера один при $\lambda = 1$, а столбцы $P$ это векторы $(1;\,1;\,0)$, $(-1;\,0;\,1)$ и $(1;\,1;\,1)$. Калькулятор сверху проделывает те же шаги для любой матрицы 3x3 и рисует диаграмму ядер, по которой размеры клеток читаются сразу.

Решение по шагам

Дано. Матрица третьего порядка

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -2 & 4 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Найти: жорданову форму $J$ и невырожденную матрицу $P$, для которых $A = PJP^{-1}$.

Шаг 1. Характеристическое уравнение. След равен 5, сумма трёх главных миноров второго порядка равна 8, определитель равен 4. Для матрицы третьего порядка эти три числа и есть коэффициенты:

$$\lambda^3 - 5\lambda^2 + 8\lambda - 4 = 0, \qquad (\lambda - 1)(\lambda - 2)^2 = 0.$$

Корни $\lambda_1 = 1$ с алгебраической кратностью один и $\lambda_2 = 2$ с алгебраической кратностью два. Если на этом шаге возникают трудности, отдельно разобран весь путь от определителя до корней в задаче как найти собственные значения матрицы.

Шаг 2. Геометрическая кратность двойки. Вычитаем 2 из главной диагонали и решаем однородную систему:

$$A - 2E = \begin{pmatrix} -2 & 2 & -1 \\ -2 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.$$

Первые две строки совпадают. Удвоенная третья строка минус первая даёт $-x_3 = 0$, откуда $x_3 = 0$, а третья строка превращается в $x_1 = x_2$. Ранг равен двум, свободная переменная одна, значит геометрическая кратность равна единице: собственный вектор $v_1 = (1;\,1;\,0)$ и его кратные исчерпывают всё собственное подпространство.

Шаг 3. Вывод о клетках. Алгебраическая кратность двойки равна двум, геометрическая единице. Число клеток при корне равно геометрической кратности, а сумма их размеров равна алгебраической. Значит при $\lambda = 2$ ровно одна клетка, и её размер равен двум. Корень 1 простой, ему отвечает клетка размера один. Жорданова форма собрана:

$$J = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Шаг 4. Присоединённый вектор. Второй столбец клетки строится не из однородной системы, а из неоднородной $(A - 2E)v_2 = v_1$:

$$\begin{aligned} -2x_1 + 2x_2 - x_3 &= 1, \\ -x_1 + x_2 - x_3 &= 0. \end{aligned}$$

Из второго уравнения $x_3 = x_2 - x_1$, подстановка в первое даёт $x_2 - x_1 = 1$, то есть $x_2 = x_1 + 1$ и $x_3 = 1$. Общее решение $(t;\,t+1;\,1)$, и годится любое $t$: разные решения отличаются на кратное $v_1$. Берём $t = -1$ и получаем $v_2 = (-1;\,0;\,1)$.

Шаг 5. Собственный вектор простого корня. Для $\lambda = 1$ система со строками $-1$ 2 $-1$; $-2$ 3 $-1$; $-1$ 1 0 сводится к $x_1 = x_2$ и $x_3 = x_1$, откуда $v_3 = (1;\,1;\,1)$.

Шаг 6. Матрица перехода и ответ. Столбцы ставим строго в порядке цепочки: сначала $v_1$, за ним $v_2$, затем $v_3$.

$$P = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \det P = 1, \qquad P^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Ответ: $J$ со строками 2 1 0; 0 2 0; 0 0 1, матрица перехода $P$ со столбцами $(1;\,1;\,0)$, $(-1;\,0;\,1)$, $(1;\,1;\,1)$, и выполняется $A = PJP^{-1}$.

Формула и откуда она берётся

Жорданова клетка порядка $k$ с числом $\lambda$ на диагонали выглядит так:

$$J_1(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda \end{pmatrix}, \qquad J_2(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}, \qquad J_3(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}.$$

Жорданова форма матрицы это блочно-диагональная матрица, собранная из таких клеток. Теорема утверждает, что над полем, где характеристический многочлен раскладывается на линейные множители, любая матрица подобна такой форме, и набор клеток определён однозначно с точностью до их порядка.

Откуда берутся единицы над диагональю, видно из определения. Равенство $A = PJP^{-1}$ равносильно $AP = PJ$, а это условие на столбцы: столбцы $P$ обязаны вести себя так, как предписывает $J$. Для первого столбца клетки получается $Av_1 = \lambda v_1$, то есть обычный собственный вектор. Для второго выходит $Av_2 = v_1 + \lambda v_2$, что переписывается как $(A - \lambda E)v_2 = v_1$. Такой вектор и называют присоединённым: он не собственный, но переходит в собственный после одного применения $A - \lambda E$.

Отсюда же понятен критерий. Диагональная форма получается тогда и только тогда, когда все клетки имеют размер один, а это значит, что у каждого корня геометрическая кратность совпала с алгебраической. Как выглядит разбор, когда критерий выполнен и матрица всё-таки диагонализуется, показано в задаче как привести матрицу к диагональному виду. Жорданова форма нужна ровно в противоположном случае: когда независимых собственных векторов не хватает.

Размеры клеток по рангам степеней

Для матрицы 3x3 разбор кратностей почти всегда даёт ответ сразу, но при кратности три и геометрической кратности два возникает неоднозначность: клетки могут быть размеров 2 и 1, а могут быть 1, 1 и 1. Универсальный инструмент здесь один, и это ядра степеней. Обозначим $B = A - \lambda E$ и $d_k = \dim\ker B^k = 3 - \operatorname{rank} B^k$. Тогда число клеток размера не меньше $k$ равно разности $d_k - d_{k-1}$, а сам $d_1$ равен числу клеток.

Для нашей матрицы при $\lambda = 2$ последовательность считается так. Ранг $A - 2E$ равен двум, квадрат этой матрицы имеет все три строки вида 1 $-1$ 1 и ранг единица, дальше ранг уже не падает.

Одна клетка размера не меньше одного и одна размера не меньше двух, клеток размера три нет. Значит единственная клетка имеет размер ровно два, что и совпало с выводом по кратностям. Именно эта последовательность нарисована на графике в калькуляторе сверху: линия растёт до пунктира, который стоит на уровне алгебраической кратности, и номер шага, на котором начинается плато, равен размеру самой большой клетки. Ранги удобно считать элементарными преобразованиями, как в разборе как найти ранг матрицы.

Проверка ответа и неединственность P

Проверять готовый ответ лучше не через $P^{-1}$, а через равенство $AP = PJ$, где обратная матрица вообще не нужна. Достаточно трёх умножений на столбцы. Первый: $Av_1 = (2;\,2;\,0) = 2v_1$, собственный вектор на месте. Второй: $Av_2 = (-1;\,1;\,2)$, и ровно столько же даёт $v_1 + 2v_2 = (1;\,1;\,0) + (-2;\,0;\,2)$. Третий: $Av_3 = (1;\,1;\,1) = 1 \cdot v_3$. Все три равенства выполнены, ответ верен.

Матрица $P$ при этом не единственна. Собственный вектор $v_1$ определён с точностью до множителя, присоединённый $v_2$ ещё и с точностью до прибавления любого кратного $v_1$, а вся цепочка целиком умножается на общий ненулевой коэффициент. Поэтому вариант $v_2 = (0;\,1;\,1)$, который получается при $t = 0$, ничем не хуже: он даёт другую $P$ и ту же самую $J$. Проверяющий смотрит не на совпадение $P$ с ответом в конце задачника, а на выполнение $AP = PJ$.

Единственной остаётся сама жорданова форма: набор клеток восстанавливается по рангам степеней, а ранг от выбора базиса не зависит. Меняться может только порядок клеток на диагонали, и его обычно фиксируют соглашением: корни по убыванию, внутри корня клетки от больших к меньшим. Практический смысл у всей конструкции прямой: через $J$ считают степени матрицы, как в задаче как возвести матрицу в степень, и матричную экспоненту при решении линейных систем дифференциальных уравнений, где кратному корню с нехваткой векторов отвечают решения с множителем $t$.

Частые ошибки

• Считать, что кратность корня сразу задаёт размер клетки. Кратность задаёт сумму размеров всех клеток этого корня, а их количество определяется геометрической кратностью.
• Искать присоединённый вектор из однородной системы $(A - \lambda E)v_2 = 0$. Справа обязан стоять уже найденный собственный вектор $v_1$, иначе получится второй собственный вектор, которого не существует.
• Возводить в квадрат матрицу $A$ вместо $A - \lambda E$. Ранг нужен именно у степеней разности, матрица $A^2 - \lambda^2 E$ к делу отношения не имеет.
• Ставить столбцы $P$ в произвольном порядке. Цепочка должна идти подряд и именно в порядке собственный вектор, затем присоединённый, иначе единица в $J$ окажется под диагональю или вовсе не там.
• Брать решение системы $(A - 2E)v_2 = v_1$ с нулевой правой частью по невнимательности и получать $v_2$, пропорциональный $v_1$. Тогда $\det P = 0$ и матрица перехода вырождена, это первый признак ошибки.
• Путать направление подобия и писать $J = P^{-1}AP$ там, где по условию требуется $A = PJP^{-1}$. Это одно и то же соотношение, но переписанное неаккуратно, оно легко превращается в $J = PAP^{-1}$, а это уже неверно.

FAQ

Чем жорданова форма отличается от диагональной? Диагональная форма это частный случай жордановой, в котором все клетки имеют размер один. Как только у какого-то корня геометрическая кратность оказывается меньше алгебраической, появляется клетка большего размера с единицами над диагональю, и диагональной матрицы уже не получить ни при каком выборе базиса.

Единственна ли жорданова форма? Набор клеток единственен, порядок клеток на диагонали произволен. Матрица перехода $P$ не единственна никогда: собственные векторы определены с точностью до множителя, а присоединённые ещё и с точностью до слагаемого из собственного подпространства.

Что делать, если корни характеристического уравнения комплексные? Над вещественными числами жордановой формы тогда не существует. Либо переходят к полю комплексных чисел и работают с комплексными столбцами $P$, либо пользуются вещественной нормальной формой, где вместо комплексного числа на диагонали стоит блок два на два.

Зачем вообще нужна жорданова форма? Через неё считают всё, что определено через степени матрицы. Возведение в степень сводится к возведению клеток, матричная экспонента к экспоненте клеток, и именно отсюда в решениях линейных систем дифференциальных уравнений берутся слагаемые вида $t e^{\lambda t}$ при кратных корнях.

Коротко

1. Составь характеристическое уравнение и найди корни с алгебраическими кратностями: здесь $\lambda^3 - 5\lambda^2 + 8\lambda - 4 = 0$, корни 2 и 2 и 1.
2. Для каждого корня найди ранг $A - \lambda E$: геометрическая кратность равна $3 - \operatorname{rank}$ и даёт число клеток. У двойки ранг 2, значит клетка одна.
3. Размеры клеток добери по рангам степеней $(A - \lambda E)^k$: число клеток размера не меньше $k$ равно $d_k - d_{k-1}$. Для двойки последовательность $d_k$ равна 1, 2, 2, то есть клетка размера два.
4. Собери цепочку: реши $(A - \lambda E)v_1 = 0$, затем $(A - \lambda E)v_2 = v_1$, поставь векторы столбцами подряд.
5. Ответ: $J$ со строками 2 1 0; 0 2 0; 0 0 1, столбцы $P$ это $(1;\,1;\,0)$, $(-1;\,0;\,1)$ и $(1;\,1;\,1)$, проверка $AP = PJ$ сходится.