Как найти ранг матрицы: пошаговое решение

Найти ранг матрицы - одна из самых частых задач первого курса линейной алгебры. Она встречается и как самостоятельное упражнение, и как шаг внутри других задач: исследование системы уравнений по теореме Кронекера-Капелли, проверка линейной независимости векторов, поиск базиса системы строк. На входе - прямоугольная матрица любого размера (чаще всего 3×3, 3×4 или 4×4), на выходе - одно число: максимальный порядок ненулевого минора, или, что то же самое, число линейно независимых строк.

Есть два рабочих метода. Основной - метод элементарных преобразований (метод Гаусса): матрицу приводят к ступенчатому виду и считают ненулевые строки. Запасной - метод окаймляющих миноров: ищут ненулевой минор наибольшего порядка. Ниже разберём оба на одной и той же матрице, чтобы было видно, что ответ совпадает.

Пошаговое решение методом Гаусса

Дано. Найти ранг матрицы

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 0 \\ 3 & 6 & 0 & 3 \end{pmatrix}.$$

Идея метода. Элементарные преобразования строк (перестановка строк, умножение строки на ненулевое число, прибавление к строке другой строки, умноженной на число) не меняют ранг. Значит, можно привести матрицу к ступенчатому виду и посчитать ненулевые строки - их количество и есть ранг.

Шаг 1. Выбираем ведущий элемент. В левом верхнем углу уже стоит $a_{11} = 1$ - удобнее не бывает. С его помощью обнулим первый столбец под ним.

Шаг 2. Обнуляем первый столбец. Из второй строки вычитаем первую, умноженную на 2; из третьей - первую, умноженную на 3:

$$\begin{aligned} R_2 - 2R_1 &= (2-2;\ 4-4;\ 1-(-2);\ 0-6) = (0;\ 0;\ 3;\ -6), \\ R_3 - 3R_1 &= (3-3;\ 6-6;\ 0-(-3);\ 3-9) = (0;\ 0;\ 3;\ -6). \end{aligned}$$

Матрица приняла вид

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 3 & -6 \end{pmatrix}.$$

Шаг 3. Обнуляем ниже второй ступеньки. Вторая и третья строки совпали - вычитаем из третьей вторую:

$$R_3 - R_2 = (0;\ 0;\ 0;\ 0).$$

Получаем ступенчатый вид:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Шаг 4. Считаем ненулевые строки. Их две: $(1;\ 2;\ -1;\ 3)$ и $(0;\ 0;\ 3;\ -6)$. Обрати внимание: ступенька «перепрыгнула» через второй столбец - ведущие элементы стоят в первом и третьем столбцах, это нормально для ступенчатого вида.

Ответ: $\operatorname{rang} A = 2$.

Смысл ответа: среди трёх строк матрицы только две линейно независимы. Это легко проверить напрямую: $R_1 + R_2 = (1+2;\ 2+4;\ -1+1;\ 3+0) = (3;\ 6;\ 0;\ 3) = R_3$ - третья строка есть сумма первых двух, ничего нового она не несёт.

Проверка методом окаймляющих миноров

Тот же ранг можно получить через миноры - этот способ любят спрашивать на устных защитах, потому что он ближе к определению: ранг равен наибольшему порядку минора, отличного от нуля.

Шаг 1. Минор первого порядка. Любой ненулевой элемент, например $a_{11} = 1 \ne 0$. Значит, $\operatorname{rang} A \ge 1$.

Шаг 2. Минор второго порядка. Окаймляем выбранный элемент. Минор из строк 1, 2 и столбцов 1, 2 равен $1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 0$ - не годится, но это не приговор: пробуем другие столбцы. Берём столбцы 1 и 3:

$$M_2 = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - (-1) \cdot 2 = 3 \ne 0.$$

Значит, $\operatorname{rang} A \ge 2$, и минор $M_2$ можно взять базисным.

Шаг 3. Окаймляющие миноры третьего порядка. Достраиваем $M_2$ третьей строкой и по очереди каждым из оставшихся столбцов (вторым и четвёртым):

$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 6 & 0 \end{vmatrix} = 0, \qquad \begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot 3 - (-1)(6 - 0) + 3 \cdot (0 - 3) = 3 + 6 - 9 = 0.$$

Первый определитель равен нулю сразу: его первый и второй столбцы пропорциональны. Все окаймляющие миноры третьего порядка нулевые, поэтому ранг дальше не растёт.

Ответ совпал: $\operatorname{rang} A = 2$.

Важная экономия: проверять нужно только миноры, окаймляющие уже найденный базисный, а не все миноры третьего порядка подряд. Для матрицы 3×4 это 2 определителя вместо 4.

Свойства ранга, которые ускоряют решение

Прежде чем считать, полезно оценить ответ сверху и поискать структуру:

• Ранг не превосходит меньшего из размеров матрицы: для матрицы $m \times n$ всегда $\operatorname{rang} A \le \min(m, n)$. У матрицы 3×4 ранг не больше 3 - если ты получил 4, где-то ошибка.
• Пропорциональные строки или столбцы сразу понижают потолок: каждую «копию» можно обнулить одним преобразованием. В нашем примере второй столбец равен удвоенному первому - уже поэтому ранг не мог быть равен 3.
• Нулевые строки и столбцы можно мысленно вычеркнуть - на ранг они не влияют.
• Транспонирование не меняет ранг: $\operatorname{rang} A = \operatorname{rang} A^T$. Иногда столбцы «чистить» удобнее, чем строки.
• Для квадратной матрицы $n \times n$ условие $\det A \ne 0$ равносильно $\operatorname{rang} A = n$. Так что если определитель уже посчитан и он ненулевой - ранг известен мгновенно.

В задачах «найти ранг матрицы с параметром» алгоритм тот же: приводишь матрицу к ступенчатому виду, оставляя параметр в ячейках, а затем разбираешь случаи - при каких значениях параметра ведущие элементы обращаются в ноль.

Частые ошибки

• Считать все строки после преобразований, включая нулевые. Ранг - это число именно ненулевых строк ступенчатого вида. Строка $(0;\ 0;\ 0;\ 0)$ не считается.
• Использовать «запрещённые» преобразования. Умножать строку можно только на число, отличное от нуля. Умножение строки на 0 - это её удаление, оно меняет ранг.
• Прибавлять строки к столбцам и наоборот. Смешивать строчные и столбцовые операции в одной цепочке можно (ранг сохраняют и те и другие), но студенты часто путаются и фактически заменяют строку произвольной комбинацией, теряя эквивалентность. Надёжнее работать только со строками.
• Останавливаться на первом нулевом миноре. Если один минор второго порядка равен нулю, это ещё не значит, что ранг меньше 2, - нужно перебрать другие миноры (в нашем примере минор из столбцов 1, 2 нулевой, а из столбцов 1, 3 - нет).
• Арифметика в вычитаниях с отрицательными числами. Классика: $1 - (-2) = 3$, а не $-1$. Именно на таких местах чаще всего «уезжает» весь ступенчатый вид - проверяй знак каждый раз, когда под вычитанием минус.
• Путать ранг с определителем. Определитель существует только у квадратной матрицы и является числом «со знаком»; ранг определён для любой прямоугольной матрицы и всегда целое неотрицательное число.

FAQ

Может ли ранг матрицы равняться нулю? Да, но только у нулевой матрицы: если все элементы равны нулю, ненулевых миноров нет вообще, и ранг равен 0. Любая матрица, где есть хотя бы один ненулевой элемент, имеет ранг не меньше 1.

Какой метод выбрать - Гаусса или окаймляющих миноров? Для вычислений почти всегда быстрее метод Гаусса: он линейный по трудоёмкости шагов и не требует считать определители. Метод миноров нужен, когда в задаче явно просят указать базисный минор, а также удобен для маленьких матриц и матриц с параметром, где ступенчатый вид получается громоздким.

Меняется ли ранг при элементарных преобразованиях столбцов? Нет. Ранг сохраняется при элементарных преобразованиях и строк, и столбцов - поэтому ранг по строкам всегда совпадает с рангом по столбцам. Это и позволяет транспонировать матрицу, если так удобнее считать.

Зачем вообще нужен ранг в других задачах? Главный потребитель - теорема Кронекера-Капелли: система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной. Ещё ранг отвечает за размерность линейной оболочки: он равен максимальному числу линейно независимых строк (и столбцов), поэтому через него проверяют, образует ли набор векторов базис.

Коротко

1. Ранг матрицы - максимальный порядок ненулевого минора; он же - число линейно независимых строк.
2. Основной метод: элементарными преобразованиями строк привести матрицу к ступенчатому виду и посчитать ненулевые строки.
3. Запасной метод: найти ненулевой минор и проверять только окаймляющие его миноры следующего порядка, пока все они не станут нулевыми.
4. Всегда помни потолок $\operatorname{rang} A \le \min(m, n)$ и ищи пропорциональные строки и столбцы - они экономят половину выкладок.
5. Для нашей матрицы 3×4 оба метода дали одинаковый ответ: $\operatorname{rang} A = 2$.