Как применить первое начало термодинамики: решение

Дано: идеальный газ азот, $\nu = 2$ моль, молекула двухатомная ($i = 5$). Этап 1-2: изобарный нагрев от $T_1 = 300$ К до $T_2 = 500$ К. Этап 2-3: изохорное охлаждение от $T_2 = 500$ К обратно до $T_3 = 300$ К. Найти: $Q$, $\Delta U$ и работу газа $A$ на каждом этапе и за весь процесс.

Применить первое начало $Q = \Delta U + A$ - значит для каждого этапа отдельно посчитать два слагаемых из трёх, а третье получить из равенства. Изменение внутренней энергии всегда считается одинаково, по $\Delta U = \nu C_V \Delta T$, а вид процесса решает только судьбу работы и теплоты. Ответ: на изобаре $Q_1 = 11{,}63$ кДж, $\Delta U_1 = 8{,}31$ кДж, $A_1 = 3{,}32$ кДж; на изохоре $Q_2 = -8{,}31$ кДж, $\Delta U_2 = -8{,}31$ кДж, $A_2 = 0$; за весь процесс $\Delta U = 0$, $A = Q = 3{,}32$ кДж.

Калькулятор сверху считает оба этапа под любые свои числа: количество вещества, тип молекулы, три температуры и вид каждого процесса. На графике видно главное - внутри каждой группы столбец $Q$ ровно равен сумме столбцов $\Delta U$ и $A$. Ниже тот же ответ получен вручную.

Решение по шагам

Дано.

Найти: $Q_1$, $\Delta U_1$, $A_1$, $Q_2$, $\Delta U_2$, $A_2$ и суммы за процесс.

Шаг 1. Выписываем первое начало в рабочем виде. Для любого участка процесса

$$Q = \Delta U + A,$$

где $Q$ - теплота, полученная газом, $\Delta U$ - прирост его внутренней энергии, $A$ - работа, совершённая самим газом. Это единственное уравнение задачи; всё остальное - способы посчитать два слагаемых из трёх.

Шаг 2. Считаем молярные теплоёмкости. Они зависят только от числа степеней свободы молекулы, а не от процесса:

$$C_V = \frac{i}{2}R = \frac{5}{2}\cdot 8{,}31 = 20{,}775\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}, \qquad C_p = C_V + R = 29{,}085\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}.$$

Почему у азота именно $i = 5$, разобрано в статье про степени свободы двухатомной молекулы, а подробный расчёт обеих теплоёмкостей с удельными значениями - в разборе как найти теплоёмкость газа. Здесь достаточно готовых чисел.

Шаг 3. Первый этап: изменение внутренней энергии. Газ нагрелся на $\Delta T_{1} = 500 - 300 = 200$ К, значит

$$\Delta U_1 = \nu C_V \Delta T_1 = 2 \cdot 20{,}775 \cdot 200 = 8310\ \text{Дж} = 8{,}31\ \text{кДж}.$$

Обратите внимание: здесь стоит $C_V$, хотя процесс изобарный. Это не опечатка - внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, поэтому её изменение всегда считается через $C_V$, каким бы ни был процесс.

Шаг 4. Первый этап: работа газа. При постоянном давлении газ расширяется и толкает поршень. Работа равна $A = p\,\Delta V$, а через уравнение состояния она сводится к температурам:

$$A_1 = p\,\Delta V = \nu R \Delta T_1 = 2 \cdot 8{,}31 \cdot 200 = 3324\ \text{Дж} = 3{,}32\ \text{кДж}.$$

Работа положительна: газ расширяется и отдаёт энергию поршню. Вывод формулы $A = \nu R \Delta T$ через площадь под изобарой лежит в статье про работу газа в изобарном процессе.

Шаг 5. Первый этап: теплота. Подставляем оба слагаемых в первое начало:

$$Q_1 = \Delta U_1 + A_1 = 8310 + 3324 = 11\,634\ \text{Дж} \approx 11{,}63\ \text{кДж}.$$

Тот же результат даёт прямая формула $Q = \nu C_p \Delta T = 2 \cdot 29{,}085 \cdot 200 = 11\,634$ Дж. Совпадение двух путей - хорошая проверка арифметики: если числа разошлись, ошибка либо в $C_p$, либо в работе.

Шаг 6. Второй этап: изохорное охлаждение. Объём заперт, поршень не движется, поэтому работа равна нулю:

$$A_2 = 0, \qquad \Delta U_2 = \nu C_V \Delta T_2 = 2 \cdot 20{,}775 \cdot (300 - 500) = -8310\ \text{Дж}.$$

Первое начало превращается в короткое равенство $Q_2 = \Delta U_2 = -8310$ Дж. Минус означает, что газ не получил теплоту, а отдал холодильнику 8,31 кДж.

Шаг 7. Складываем этапы. Внутренняя энергия - функция состояния, температура вернулась к исходным 300 К, поэтому за весь процесс

$$\Delta U = \Delta U_1 + \Delta U_2 = 8310 - 8310 = 0, \qquad A = 3324 + 0 = 3324\ \text{Дж}, \qquad Q = 11\,634 - 8310 = 3324\ \text{Дж}.$$

Баланс сошёлся: $Q = \Delta U + A$ даёт $3324 = 0 + 3324$. Вся чистая подведённая теплота ушла в работу - ровно потому, что газ вернулся к прежней температуре.

Ответ: $Q_1 \approx 11{,}63$ кДж, $\Delta U_1 = 8{,}31$ кДж, $A_1 = 3{,}32$ кДж; $Q_2 = \Delta U_2 = -8{,}31$ кДж, $A_2 = 0$; за весь процесс $\Delta U = 0$, $A = Q = 3{,}32$ кДж.

Формула первого начала и что в ней откуда

Три буквы в уравнении имеют разный статус, и путаница в задачах чаще всего растёт именно отсюда. Внутренняя энергия $U$ - функция состояния: у газа в данном состоянии она просто есть, и её изменение зависит только от начальной и конечной температуры, а не от того, каким путём газ туда попал. Теплота $Q$ и работа $A$ - не запасы, а способы передачи энергии; они описывают процесс и зависят от его пути.

Отсюда практическое правило расчёта. $\Delta U$ считают всегда одинаково, по $\Delta U = \nu C_V \Delta T$, даже если объём не постоянен. $A$ и $Q$ каждый раз зависят от вида процесса, поэтому их формулы приходится выбирать. Именно поэтому в шаге 3 стоял $C_V$ при изобаре, и это не ошибка, а следствие того, что $U$ зависит только от $T$.

Знаки в этой записи договорные и в российских учебниках выглядят так: $Q > 0$, если теплоту подвели к газу; $A > 0$, если работу совершил сам газ, то есть он расширился. Если газ сжимают, работа газа отрицательна, а работа внешних сил над ним равна ей по модулю с обратным знаком. Подробная сводка формулировок, включая дифференциальную форму и запрет вечного двигателя первого рода, собрана в статье про первое начало термодинамики.

Таблица изопроцессов: что обращается в ноль

Вся сложность применения первого начала сводится к одному вопросу: какая из трёх величин на этом участке равна нулю. Ответ даёт название процесса.

Читать таблицу удобно так: сначала по названию процесса вычёркиваете лишний член, потом считаете оставшийся. В изохоре считать нечего, кроме $\Delta U$. В адиабате газ работает исключительно за счёт запаса внутренней энергии, поэтому при расширении он остывает. В изотерме внутренняя энергия не меняется, и вся теплота уходит в работу - этот случай с логарифмом разобран отдельно в задаче про работу изотермического процесса. Как выглядят сами процессы на координатной плоскости, показано в разборе графиков изопроцессов идеального газа.

Если в условии другие данные

Задача не всегда даёт температуры. Чаще встречаются три разворота, и все они решаются тем же уравнением, просто неизвестной становится другая буква.

Дана теплота и процесс. Например, одноатомному газу при постоянном давлении сообщили 20 кДж. Тогда доли распределяются жёстко: $\Delta U / Q = C_V / C_p = 3/5$, значит на внутреннюю энергию уйдёт 12 кДж, а на работу 8 кДж. Считать температуры не нужно вовсе.

Дана работа внешних сил. При адиабатном сжатии $Q = 0$, поэтому вся работа внешних сил идёт в нагрев: $\Delta U = 5$ кДж, а нагрев находится обратной подстановкой из $\Delta U = \nu C_V \Delta T$.

Дан график в координатах $p$ и $V$. Работа газа равна площади под кривой, а знак определяется направлением обхода: вправо по оси объёма - газ расширяется и работа положительна. Для замкнутого цикла $\Delta U = 0$ автоматически, поэтому теплота за цикл равна площади цикла.

Наконец, если в задаче требуется ещё и изменение энтропии, первое начало остаётся отправной точкой: приращение энтропии считают через $\delta Q / T$, и для изохоры это показано в разборе изменения энтропии при изохорном процессе.

Частые ошибки

• Берут $C_p$ вместо $C_V$ в формуле внутренней энергии. Изменение $U$ всегда считается через $C_V$, даже при изобарном процессе. Через $C_p$ считается только теплота, и только при $p = \text{const}$.
• Теряют знак на этапе охлаждения. Если температура падает, $\Delta T$ отрицательна, и $\Delta U$ тоже. Подставлять модуль разности нельзя: именно на этом рассыпается баланс в многоэтапных задачах.
• Путают работу газа и работу внешних сил. В записи $Q = \Delta U + A$ стоит работа самого газа. При сжатии она отрицательна, а работа внешних сил положительна; сложить их в одну строку - обычный источник удвоенного ответа.
• Переводят в кельвины разность температур. Прибавлять 273 нужно к самой температуре, а не к её изменению: разность в градусах Цельсия и в кельвинах совпадает.
• Считают изохору вообще без работы поршня, но приписывают ей расширение. Если объём постоянен, газ не может ни расшириться, ни сжаться, и любое «небольшое расширение» в решении означает, что процесс выбран неверно.
• Забывают, что $\Delta U$ по замкнутому пути равно нулю. Возврат в исходную температуру сразу даёт $Q = A$ и экономит половину вычислений.

FAQ

Почему внутренняя энергия считается через $C_V$ даже при изобарном процессе? Потому что $U$ идеального газа зависит только от температуры. Величина $C_V$ входит в формулу не как «теплоёмкость при постоянном объёме», а как коэффициент связи между энергией и температурой: $U = \tfrac{i}{2}\nu R T$. Постоянство объёма здесь нужно было лишь для вывода формулы, а результат работает для любого процесса.

Как понять, какой знак у теплоты в ответе? Знак получается сам, если аккуратно подставить $\Delta T$ со своим знаком. Положительное $Q$ означает, что газ теплоту получил, отрицательное - что отдал. В нашей задаче на втором этапе вышло $-8{,}31$ кДж, то есть газ отдал холодильнику ровно столько, сколько запас внутренней энергии потерял.

Можно ли применять первое начало к участку, который не является изопроцессом? Да, само уравнение $Q = \Delta U + A$ верно для любого процесса. Меняется только способ посчитать работу: для произвольной кривой это интеграл $\int p\,dV$, то есть площадь под ней. Изопроцессы удобны тем, что этот интеграл берётся в готовую формулу.

Зачем считать обе величины, если третью можно найти из уравнения? Затем, что независимый расчёт третьей величины служит проверкой. В шаге 5 теплота была найдена и как сумма $\Delta U + A$, и напрямую через $C_p$: совпадение двух путей почти гарантирует, что арифметика верна.

Коротко

1. Записать $Q = \Delta U + A$ и разбить процесс на участки, на каждом из которых вид процесса постоянен.
2. Посчитать $C_V = iR/2$ и $C_p = C_V + R$ по числу степеней свободы молекулы; для азота $i = 5$, то есть 20,775 и 29,085 Дж/(моль·К).
3. На каждом участке найти $\Delta U = \nu C_V \Delta T$ со своим знаком - эта формула работает при любом процессе.
4. По виду процесса вычеркнуть нулевой член: изохора обнуляет работу, изотерма - изменение внутренней энергии, адиабата - теплоту; оставшуюся величину получить из первого начала.
5. Для примера с двумя молями азота: изобара даёт $Q_1 = 11{,}63$ кДж, $\Delta U_1 = 8{,}31$ кДж, $A_1 = 3{,}32$ кДж; изохора даёт $Q_2 = \Delta U_2 = -8{,}31$ кДж при $A_2 = 0$; за весь процесс $\Delta U = 0$ и $A = Q = 3{,}32$ кДж.