Электроёмкость уединённого проводника: формула

Уединённый проводник - это проводящее тело, удалённое от других тел и заряженных объектов настолько, что их полем можно пренебречь: на его потенциал влияет только собственный заряд и форма самого тела. У такого проводника есть характеристика, которая совсем не зависит ни от заряда, ни от материала - электроёмкость $C$. Она показывает, сколько заряда нужно сообщить проводнику, чтобы поднять его потенциал на единицу, и определяется исключительно геометрией тела и средой вокруг него. Ниже разберём общую формулу электроёмкости через заряд и потенциал, выведем частный случай уединённого шара, оценим характерные числа и разберём типовую задачу. Чтобы сразу увидеть, как ёмкость зависит от радиуса и среды, покрутите калькулятор ниже - он пересчитывает ёмкость, потенциал поверхности и энергию заряженного шара мгновенно.

Что такое уединённый проводник

Проводник считается уединённым, если рядом нет других заряженных тел, способных исказить его собственное поле: соседние проводники, экраны и диэлектрики находятся настолько далеко, что их влиянием пренебрегают. Заряд $q$, сообщённый такому проводнику, распределяется по его поверхности так, чтобы внутри проводника поле было равно нулю, а сама поверхность стала эквипотенциальной - то есть всюду на ней потенциал одинаков. Это ключевое допущение задачи: раз вся поверхность имеет один и тот же потенциал $\varphi$, отношение заряда к потенциалу оказывается фиксированным числом для данного тела и не зависит от того, сколько именно заряда на него поместили.

Формула ёмкости через заряд и потенциал

Электроёмкость уединённого проводника определяется как отношение заряда к потенциалу, который этот заряд создаёт на поверхности:

$C = \frac{q}{\varphi}.$

Смысл этого отношения прост: если удвоить заряд, потенциал тоже удвоится, а их отношение останется прежним. Поэтому $C$ - характеристика самого проводника (его формы, размера и среды вокруг), а не текущего состояния заряда. Единица измерения ёмкости - фарад ($1\ \text{Ф} = 1\ \text{Кл}/\text{В}$), но фарад - величина огромная для реальных тел, поэтому на практике ёмкость уединённых проводников измеряют в пикофарадах (пФ) и микрофарадах (мкФ).

Электроёмкость уединённого шара

Самый простой и при этом практически важный случай - уединённый проводящий шар радиусом $R$. Поле вне заряженного шара совпадает с полем точечного заряда, помещённого в его центр, поэтому потенциал поверхности находят по теореме Гаусса так же, как для точечного заряда на расстоянии $R$:

$\varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon R} = k\,\frac{q}{\varepsilon R},$

где $k \approx 9 \cdot 10^9\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2$ - постоянная в законе Кулона, а $\varepsilon$ - диэлектрическая проницаемость среды вокруг шара. Подставив это выражение в определение $C = q/\varphi$, заряд сокращается, и остаётся формула, зависящая только от геометрии и среды:

$C = 4\pi\varepsilon_0\varepsilon R = \frac{\varepsilon R}{k}.$

Рассчитать для своей задачи

На графике видно: внутри проводника ($r < R$) потенциал одинаков всюду и равен поверхностному значению - это и есть эквипотенциальность проводника. Снаружи ($r \ge R$) потенциал спадает как $1/r$, в точности как у точечного заряда той же величины, помещённого в центр шара.

От чего зависит электроёмкость

Рассчитать для своей задачи

Формула $C = 4\pi\varepsilon_0\varepsilon R$ показывает: электроёмкость уединённого шара растёт прямо пропорционально радиусу и не зависит ни от заряда шара, ни от того, из чего он сделан - медный шар и алюминиевый шар одного радиуса в одной и той же среде имеют одинаковую ёмкость. Важны только два фактора:

• Размер и форма тела. Чем больше поверхность, на которой может разместиться заряд без чрезмерного роста потенциала, тем больше ёмкость. У шара это выражается прямой зависимостью $C \propto R$: увеличив радиус вдвое, вдвое увеличивают и ёмкость.
• Диэлектрическая проницаемость среды $\varepsilon$. Диэлектрик вокруг проводника поляризуется и частично компенсирует поле заряда, поэтому для того же заряда потенциал получается ниже, а ёмкость - выше.

Заряд и потенциал при этом связаны формулой $C=q/\varphi$, но сама ёмкость через неё не выражается - она остаётся константой тела, а заряд и потенциал меняются вместе, сохраняя отношение.

Влияние диэлектрической среды

Рассчитать для своей задачи

Если тот же шар погрузить в среду с большей диэлектрической проницаемостью, ёмкость вырастет пропорционально $\varepsilon$: в масле ($\varepsilon \approx 2{,}2$) ёмкость примерно вдвое больше, чем в воздухе, а в воде ($\varepsilon \approx 81$) - в 81 раз больше при том же радиусе. На практике для проводника в воздухе обычно берут $\varepsilon \approx 1$, поскольку диэлектрическая проницаемость воздуха отличается от единицы лишь в третьем знаке после запятой.

Единицы измерения и характерные значения

Фарад - величина настолько большая, что ёмкость в один фарад имел бы уединённый проводник радиусом около 9 миллионов километров, поэтому реальные тела всегда измеряют в пикофарадах или микрофарадах. Для ориентира полезно запомнить два числа:

• Уединённый шар радиусом 9 см в воздухе имеет ёмкость примерно 10 пФ - удобный опорный пример для прикидки на глаз.
• Планета Земля как уединённый проводник (радиус около 6371 км) имеет ёмкость примерно 708 мкФ - величина неожиданно скромная для такого гигантского тела, потому что ёмкость шара растёт линейно с радиусом, а не с объёмом или площадью поверхности.

Это сравнение хорошо показывает, что здравая интуиция про размер и ёмкость часто подводит: ёмкость определяется линейным размером, а не «массивностью» тела.

Пример решения типовой задачи

Уединённому проводящему шару радиусом $R = 9$ см, находящемуся в воздухе ($\varepsilon = 1$), сообщили заряд $q = 1$ нКл. Найдите электроёмкость шара, потенциал его поверхности и энергию, запасённую в поле.

Сначала находим ёмкость по формуле для шара:

$C = \frac{\varepsilon R}{k} = \frac{1 \cdot 0{,}09}{9 \cdot 10^9} = 10^{-11}\ \text{Ф} = 10\ \text{пФ}.$

Зная ёмкость и заряд, находим потенциал поверхности из определения ёмкости:

$\varphi = \frac{q}{C} = \frac{10^{-9}}{10^{-11}} = 100\ \text{В}.$

Энергия заряженного проводника выражается через заряд и потенциал так же, как энергия конденсатора:

$W = \frac{q\varphi}{2} = \frac{10^{-9} \cdot 100}{2} = 5 \cdot 10^{-8}\ \text{Дж} = 50\ \text{нДж}.$

Разберём и обратную по духу задачу - на предельно допустимый заряд. Электрическая прочность воздуха составляет примерно $E_{max} = 3 \cdot 10^6$ В/м: выше этого значения начинается коронный разряд, и заряд с шара начинает стекать в воздух. Для того же шара радиусом 9 см максимальные потенциал и заряд равны:

$\varphi_{max} = E_{max} R = 3\cdot 10^6 \cdot 0{,}09 = 2{,}7\cdot 10^5\ \text{В}, \qquad q_{max} = C\varphi_{max} = 10^{-11}\cdot 2{,}7\cdot 10^5 = 2{,}7\ \text{мкКл}.$

Этот тип задачи часто встречается в паре с формулой ёмкости: сначала находят $C$, а затем используют её, чтобы оценить, сколько заряда вообще можно удержать на теле такого размера, прежде чем воздух вокруг него "пробьётся".

Частые ошибки

• Путают ёмкость шара с ёмкостью сферического конденсатора. Формула $C = 4\pi\varepsilon_0\varepsilon R$ работает только для уединённого тела, когда внешней обкладки нет вообще. Как только рядом появляется вторая проводящая поверхность (даже далёкий корпус прибора), задача превращается в конденсатор с другой формулой.
• Забывают перевести радиус в метры. В формуле $C = 4\pi\varepsilon_0\varepsilon R$ радиус подставляется в метрах, а не в сантиметрах - иначе результат окажется завышен в 100 раз.
• Считают, что ёмкость зависит от заряда или материала. Медный, алюминиевый или стальной шар одного радиуса в одной среде имеют одинаковую ёмкость; заряд и материал влияют только на потенциал и допустимую плотность заряда, но не на саму ёмкость.
• Путают диэлектрическую проницаемость среды с материалом самого проводника. В формулу входит $\varepsilon$ вещества ВОКРУГ проводника (воздуха, масла, воды), а не самого проводящего тела - у проводника диэлектрической проницаемости в этом смысле нет.
• Не учитывают, что ёмкость реального тела не сферической формы (провод, пластина, диск) не описывается формулой шара точно - для таких тел ёмкость находят через более сложные интегралы или приближённо через эффективный радиус.

FAQ

Как найти электроёмкость уединённого проводника, если известны заряд и потенциал? Ёмкость всегда находится по определению $C = q/\varphi$: разделите заряд, сообщённый проводнику, на потенциал, который этот заряд создал на его поверхности. Для шара результат дополнительно можно проверить формулой $C = 4\pi\varepsilon_0\varepsilon R$.

Почему электроёмкость уединённого проводника не зависит от заряда? Потому что и заряд, и потенциал меняются пропорционально друг другу: при увеличении заряда вдвое потенциал поверхности тоже растёт вдвое, а их отношение $C = q/\varphi$ остаётся неизменным. Ёмкость - это свойство геометрии тела и среды, а не текущего электрического состояния.

Чему равна электроёмкость уединённого шара радиусом 1 см в вакууме? Подставляем в формулу $C = \varepsilon R/k$ при $\varepsilon = 1$, $R = 0{,}01$ м: $C = 0{,}01/(9\cdot 10^9) \approx 1{,}11\cdot 10^{-12}$ Ф, то есть примерно 1,11 пФ - именно поэтому 1 см радиуса шара в вакууме часто называют «единицей ёмкости» на глаз.

Коротко

Электроёмкость уединённого проводника - это отношение заряда к потенциалу его поверхности, $C = q/\varphi$, не зависящее от того, сколько заряда на нём в данный момент находится. Для уединённого шара радиусом $R$ в среде с проницаемостью $\varepsilon$ формула принимает вид $C = 4\pi\varepsilon_0\varepsilon R$: ёмкость растёт линейно с радиусом и пропорционально проницаемости среды, но не зависит от заряда и материала тела. Зная ёмкость, легко находить потенциал и энергию заряженного проводника при любом заданном заряде, а также оценивать предельно допустимый заряд, при котором ещё не начинается пробой окружающей среды.