Задачи на конденсатор с диэлектриком: формулы и разбор

Задачи на конденсатор с диэлектриком - один из самых коварных разделов электростатики: формула ёмкости $C = \varepsilon\varepsilon_0 S/d$ выглядит простой, но стоит вставить диэлектрик не целиком, а частично, или задуматься, подключена ли батарея, как ответ переворачивается на противоположный. Ниже разберём общую формулу для произвольной глубины вставки, покажем, почему энергия конденсатора растёт при подключённом источнике и падает при отключённом, и решим типовую задачу с числами. Чтобы сразу увидеть, как ёмкость и энергия зависят от того, насколько диэлектрик задвинут в зазор, покрутите калькулятор ниже - он пересчитывает обе величины мгновенно для обоих режимов.

Как диэлектрик увеличивает ёмкость

Если диэлектрик с проницаемостью $\varepsilon$ заполняет весь зазор между обкладками плоского конденсатора, поле внутри диэлектрика ослабляется в $\varepsilon$ раз за счёт поляризации молекул, а ёмкость растёт во столько же раз:

$C = \varepsilon \varepsilon_0 \frac{S}{d},$

где $S$ - площадь обкладки, $d$ - расстояние между ними, $\varepsilon_0 = 8{,}854 \cdot 10^{-12}\ \text{Ф/м}$ - электрическая постоянная. Без диэлектрика ($\varepsilon = 1$) формула сводится к обычной ёмкости плоского конденсатора $C_0 = \varepsilon_0 S/d$. Именно отношение $C/C_0 = \varepsilon$ и определяет, во сколько раз меняются заряд, напряжение или энергия - но конкретный эффект зависит от того, что физически удерживается постоянным при вставке.

Рассчитать для своей задачи

Частичное заполнение зазора

В большинстве задач диэлектрик занимает не весь зазор, а только часть его толщины - пластину толщиной $b < d$ вдвигают между обкладками, оставляя воздушный промежуток $d - b$. Такой конденсатор эквивалентен последовательному соединению двух конденсаторов: воздушного зазора $d - b$ и диэлектрического слоя $b$. Складывая их ёмкости по правилу последовательного соединения, получаем общую формулу:

$C(b) = \frac{\varepsilon_0 S}{d - b + b/\varepsilon}.$

Удобно ввести долю заполнения $x = b/d$ (от 0 - диэлектрика нет, до 1 - диэлектрик заполняет весь зазор). Тогда формула принимает нормированный вид через ёмкость пустого конденсатора $C_0 = \varepsilon_0 S/d$:

$C(x) = \frac{C_0}{1 - x\left(1 - \dfrac{1}{\varepsilon}\right)}.$

При $x = 0$ формула даёт $C(0) = C_0$, при $x = 1$ - $C(1) = \varepsilon C_0$, то есть оба предельных случая согласуются с полной и нулевой вставкой. Это и есть главная рабочая формула для задач с частичным заполнением: она заменяет собой отдельный вывод для «половины зазора», «трети зазора» и так далее.

Батарея подключена: заряд и энергия растут

Если конденсатор остаётся подключённым к источнику с напряжением $U_0$ всё время, пока диэлектрик вдвигается, то напряжение на обкладках не меняется - это задаёт источник. Растёт только ёмкость, а вместе с ней заряд и энергия:

$Q(x) = C(x)\,U_0, \qquad W(x) = \frac{C(x)\,U_0^2}{2}.$

Обе величины растут вместе с $C(x)$: источник докачивает дополнительный заряд на обкладки, совершая работу, и часть этой работы идёт на увеличение энергии поля. Здесь легко ошибиться, решив по аналогии с механикой, что «система стремится к минимуму энергии» - для конденсатора под батареей это неверно, энергия именно растёт.

Конденсатор отключён: напряжение и энергия падают

Если конденсатор сначала зарядили до заряда $Q_0 = C_0 U_0$, а затем отключили от источника и только после этого вдвигают диэлектрик, заряд остаётся неизменным - ему просто некуда деться. Меняется напряжение и энергия:

$U(x) = \frac{Q_0}{C(x)}, \qquad W(x) = \frac{Q_0^2}{2\,C(x)}.$

Поскольку $C(x)$ растёт, а $Q_0$ фиксирован, напряжение $U(x)$ и энергия $W(x)$ убывают. Физически это означает, что диэлектрик втягивается в зазор конденсатора самим полем - на него действует сила, совершающая механическую работу, и именно за счёт неё убывает электрическая энергия. Это ключевое различие с предыдущим случаем: без батареи энергия конденсатора уменьшается, а не увеличивается.

Рассчитать для своей задачи

Рассчитать для своей задачи

На графике видно: кривая ёмкости $C(x)$ одна и та же в обоих сценариях - она зависит только от геометрии и диэлектрика, а не от электрической схемы. А вот энергия расходится в разные стороны в зависимости от того, что держится постоянным, - заряд или напряжение. Эта развилка и есть источник большинства ошибок в задачах на диэлектрик.

Пример решения типовой задачи

Плоский конденсатор с площадью обкладок $S = 100\ \text{см}^2$ и зазором $d = 2\ \text{мм}$ подключён к источнику $U_0 = 100\ \text{В}$. В зазор наполовину ($x = 0{,}5$) вдвигают диэлектрическую пластину с $\varepsilon = 5$. Найдём ёмкость, заряд и энергию конденсатора до и после вставки - сначала для случая, когда источник остаётся подключённым, а затем для случая, когда конденсатор перед вставкой отключают.

Сначала находим ёмкость пустого конденсатора:

$C_0 = \varepsilon_0 \frac{S}{d} = 8{,}854 \cdot 10^{-12} \cdot \frac{0{,}01}{0{,}002} \approx 44{,}27\ \text{пФ}.$

Теперь ёмкость с диэлектриком, заполняющим половину зазора:

$C(x) = \frac{C_0}{1 - 0{,}5\left(1 - \dfrac{1}{5}\right)} = \frac{44{,}27}{1 - 0{,}5 \cdot 0{,}8} = \frac{44{,}27}{0{,}6} \approx 73{,}78\ \text{пФ}.$

Если батарея подключена ($U_0 = 100\ \text{В}$ неизменно): заряд растёт с $Q_0 = C_0 U_0 \approx 4{,}427\ \text{нКл}$ до $Q(x) = C(x) U_0 \approx 7{,}378\ \text{нКл}$. Энергия растёт с $W_0 = C_0 U_0^2/2 \approx 0{,}221\ \text{мкДж}$ до $W(x) = C(x) U_0^2/2 \approx 0{,}369\ \text{мкДж}$ - прирост примерно $0{,}148\ \text{мкДж}$.

Если конденсатор отключили при том же начальном заряде $Q_0 \approx 4{,}427\ \text{нКл}$: напряжение падает с $100\ \text{В}$ до $U(x) = Q_0/C(x) \approx 60\ \text{В}$. Энергия падает с тех же $W_0 \approx 0{,}221\ \text{мкДж}$ до $W(x) = Q_0^2/(2C(x)) \approx 0{,}133\ \text{мкДж}$ - убыль примерно $0{,}089\ \text{мкДж}$.

Обратите внимание: ёмкость $C(x) \approx 73{,}78\ \text{пФ}$ одна и та же в обеих постановках - разошлись только заряд, напряжение и энергия, потому что физическая связь конденсатора с источником была разной.

Частые ошибки

• Забыть перевести единицы. Площадь нужно перевести из см² в м² (умножить на $10^{-4}$), зазор - из мм в м (умножить на $10^{-3}$). Пропущенный порядок величины даёт ответ, ошибочный на несколько десятичных разрядов.
• Спутать режимы «батарея подключена» и «конденсатор отключён». Это не техническая деталь, а определяющее условие: в одном случае постоянно напряжение, в другом - заряд, и формулы для энергии противоположны по знаку изменения.
• Применить формулу полного заполнения к частичному случаю. $C = \varepsilon\varepsilon_0 S/d$ верна только когда диэлектрик занимает весь зазор; при частичной вставке нужна формула последовательного соединения через долю $x = b/d$.
• Забыть, что энергия при отключённом источнике не сохраняется просто так. Убыль энергии не исчезает бесследно - она равна работе поля по втягиванию диэлектрика, а не «теряется».
• Перепутать проницаемость с диэлектрической постоянной другого материала - $\varepsilon$ в задаче обычно дана явно, не нужно подставлять табличное значение по памяти без проверки условия.

FAQ

Как найти ёмкость конденсатора, если диэлектрик заполняет только часть зазора? Используйте формулу последовательного соединения $C = \varepsilon_0 S / (d - b + b/\varepsilon)$, где $b$ - толщина слоя диэлектрика. Через долю заполнения $x = b/d$ она записывается как $C(x) = C_0/(1 - x(1 - 1/\varepsilon))$.

Почему энергия конденсатора растёт при вставке диэлектрика, если батарея подключена, но падает, если отключена? При подключённой батарее напряжение постоянно, и источник докачивает заряд - энергия растёт вместе с ёмкостью. При отключённом конденсаторе постоянен заряд, а рост ёмкости при фиксированном $Q$ по формуле $W = Q^2/(2C)$ уменьшает энергию - избыток уходит в механическую работу поля, втягивающего диэлектрик.

Зависит ли ёмкость конденсатора с диэлектриком от того, подключена батарея или нет? Нет. Ёмкость $C(x)$ определяется только геометрией зазора и проницаемостью диэлектрика - она одинакова в обоих сценариях. От электрической схемы зависят только заряд, напряжение и энергия.

Коротко

Ёмкость плоского конденсатора с диэлектриком, частично заполняющим зазор на долю $x = b/d$, задаётся формулой $C(x) = C_0/(1 - x(1-1/\varepsilon))$, где $C_0 = \varepsilon_0 S/d$ - ёмкость без диэлектрика. Если батарея остаётся подключённой, заряд и энергия растут вместе с ёмкостью; если конденсатор отключён и заряд фиксирован, напряжение и энергия падают, а разница уходит в работу поля, втягивающего диэлектрик. Именно эта развилка - не сама формула ёмкости - источник большинства ошибок в задачах на конденсатор с диэлектриком.