Энергетический выход ядерной реакции: расчёт по формуле

Ядерная реакция - это превращение одних атомных ядер в другие, и почти всегда оно сопровождается выделением или поглощением энергии. Эту энергию называют энергетическим выходом реакции $Q$, и посчитать её можно точно, не зная ничего о механизме самого превращения - достаточно табличных масс ядер до и после реакции. Разберём, откуда берётся эта энергия, как связать дефект массы с мегаэлектронвольтами и джоулями и почему ядерные реакции по энергетической плотности на много порядков превосходят любое химическое горение. Чтобы сразу увидеть масштаб цифр, поиграйте с калькулятором ниже: он считает выход трёх типичных реакций и переводит его в привычные единицы - от одного акта в мегаэлектронвольтах до килограммов топлива в тоннах тротилового эквивалента.

Что такое энергетический выход ядерной реакции

Когда ядра вступают в реакцию, суммарная масса продуктов почти всегда чуть отличается от суммарной массы исходных ядер. Эта разница называется дефектом массы:

$\Delta m = \sum m_{исх} - \sum m_{кон}.$

Если $\Delta m > 0$ - масса продуктов меньше массы реагентов, реакция экзотермическая и высвобождает энергию. Если $\Delta m < 0$ - продукты тяжелее реагентов, и реакция идёт только с поглощением энергии извне (эндотермическая, о них ниже отдельно). Сама энергия связана с дефектом массы формулой Эйнштейна:

$Q = \Delta m\, c^2.$

Ключевая особенность именно ядерных реакций - масштаб этого эффекта. В химических реакциях энергия связи электронов настолько мала, что дефект массы в принципе не измерим никакими весами. В ядерных реакциях энергия связи нуклонов на несколько порядков больше, и относительное изменение массы становится заметной, вычислимой величиной - обычно от десятых до единиц процента от массы покоя реагентов.

Формула Q = Δm·c² и перевод в мегаэлектронвольты

Считать дефект массы в килограммах неудобно - числа получаются исчезающе малыми. Поэтому массы ядер традиционно берут в атомных единицах массы (а.е.м., $u$), а энергетический эквивалент одной а.е.м. давно вычислен раз и навсегда:

$1\ u \cdot c^2 = 931{,}494\ \text{МэВ}.$

Тогда энергетический выход сразу получается в мегаэлектронвольтах:

$Q\ [\text{МэВ}] = \Delta m\ [u] \cdot 931{,}494.$

Это главная рабочая формула для задач на энергетический выход реакции: находите массы всех участников по таблице изотопных масс, вычитаете сумму продуктов из суммы реагентов - и умножаете разницу на 931,5. Дальше при необходимости результат переводят в джоули через $1\ \text{МэВ} = 1{,}602 \cdot 10^{-13}$ Дж, а для макроскопического количества вещества - умножают энергию одного акта на число актов реакции, которое находят через число Авогадро.

Пример: энергетический выход реакции лития-7 с протоном

Разберём классическую учебную реакцию - синтез лития-7 с протоном с образованием двух ядер гелия-4:

${}^{7}_{3}\text{Li} + {}^{1}_{1}\text{H} \rightarrow 2\,{}^{4}_{2}\text{He}.$

Рассчитать для своей задачи

По таблице масс изотопов: $m(^7\text{Li}) = 7{,}016004\ u$, $m(^1\text{H}) = 1{,}007825\ u$, $m(^4\text{He}) = 4{,}002603\ u$. Складываем массы реагентов и продуктов:

$\sum m_{исх} = 7{,}016004 + 1{,}007825 = 8{,}023829\ u, \qquad \sum m_{кон} = 2 \cdot 4{,}002603 = 8{,}005206\ u.$

Дефект массы:

$\Delta m = 8{,}023829 - 8{,}005206 = 0{,}018623\ u.$

Переводим в мегаэлектронвольты:

$Q = 0{,}018623 \cdot 931{,}494 \approx 17{,}3\ \text{МэВ}.$

Рассчитать для своей задачи

Для одного акта реакции 17,3 МэВ выглядит скромно - это меньше энергии, которую электрон получает при прохождении через бытовую розетку в миллион раз усиленном виде. Но в одном грамме лития-7 содержится порядка $10^{22}$ атомов, и если бы все они прореагировали, суммарная энергия составила бы сотни гигаджоулей - это наглядно видно на бегунке массы топлива в калькуляторе выше.

Масштаб энергии: почему ядерные реакции выделяют так много

Чтобы почувствовать разницу, полезно сравнить энергию от одинаковой массы вещества в ядерной реакции и в обычном химическом горении. При сжигании угля выделяется около $2{,}9 \cdot 10^4$ Дж на грамм - это энергия перестройки электронных оболочек, дефект массы там исчезающе мал и практически не поддаётся измерению. При синтезе того же грамма лития-7 с протонами по реакции выше выделяется около $2{,}4 \cdot 10^{11}$ Дж - это в миллионы раз больше энергии с той же массы вещества.

Рассчитать для своей задачи

Причина - именно в дефекте массы. В химической реакции перестраиваются внешние электронные оболочки, энергия связи которых - единицы электронвольт, и относительное изменение массы системы на уровне $10^{-10}\%$ - ни одни весы такое не различат. В ядерной реакции разница энергий связи нуклонов измеряется мегаэлектронвольтами, а относительный дефект массы достигает десятых долей процента - именно поэтому энергетический выход ядерных реакций удаётся вычислить прямо по табличным массам, а не измерять калориметром.

Похожая логика работает и при делении тяжёлых ядер: при захвате медленного нейтрона ядром урана-235 оно распадается на два осколка и несколько нейтронов, а суммарная энергия одного акта деления составляет около 200 МэВ - это табличное среднее значение, поскольку набор осколков каждый раз получается разным и считать точный дефект массы для каждого варианта на практике не нужно.

Эндотермические реакции и порог реакции

Не любая ядерная реакция выделяет энергию - если суммарная масса продуктов превышает массу исходных ядер, $\Delta m$ отрицателен, и энергетический выход тоже получается отрицательным: реакция может идти только при подводе энергии извне, обычно за счёт кинетической энергии налетающей частицы. Классический пример - реакция азота-14 с альфа-частицей, впервые осуществлённая Резерфордом:

${}^{14}_{7}\text{N} + {}^{4}_{2}\text{He} \rightarrow {}^{17}_{8}\text{O} + {}^{1}_{1}\text{H}.$

Здесь дефект массы отрицателен, и для протекания реакции налетающая альфа-частица должна иметь кинетическую энергию не меньше порога реакции - минимальной энергии, при которой реакция вообще становится возможной с учётом закона сохранения импульса. Порог реакции всегда немного больше по модулю самого $|Q|$, потому что часть кинетической энергии налетающей частицы обязана сохраниться как кинетическая энергия продуктов в системе центра масс. Такие расчёты чаще встречаются в задачах повышенного уровня, но начинаются они всё с той же формулы дефекта массы, что и обычный энергетический выход.

Частые ошибки

• Смешивают массы атомов и массы ядер. В школьных и вузовских таблицах обычно даны массы нейтральных атомов (с электронами), а не голых ядер. Для энергетического выхода это не критично, если число электронов у реагентов и продуктов совпадает - тогда масса электронов сокращается сама, и результат не меняется.
• Забывают перевести а.е.м. в МэВ через правильный коэффициент. Иногда путают $931{,}5$ МэВ/а.е.м. с другими похожими константами (например, с массой протона в МэВ) - это разные числа с разным физическим смыслом.
• Не учитывают знак дефекта массы. Если продукты тяжелее реагентов, $Q$ отрицателен, и реакция эндотермическая - записывать положительный энергетический выход в таком случае неверно.
• Путают энергию одного акта реакции с энергией макроскопического образца. Чтобы перейти от МэВ на одну реакцию к джоулям на грамм вещества, нужно умножить на число актов реакции, которое находится через число Авогадро и молярную массу, а не просто на массу в граммах.
• Забывают о законе сохранения числа нуклонов и заряда. Прежде чем считать энергетический выход, стоит проверить, что сумма массовых чисел и сумма зарядов слева и справа от стрелки совпадают - иначе уравнение реакции записано неверно.

FAQ

Как найти энергетический выход ядерной реакции, если известны только массовые числа, а не точные массы? Массовые числа (число нуклонов) для точного расчёта не годятся - нужны именно табличные массы конкретных изотопов в атомных единицах массы, потому что энергия связи (а значит и точная масса) у разных изотопов с одинаковым массовым числом отличается.

Может ли энергетический выход реакции быть равен нулю? Формально да, если суммарные массы реагентов и продуктов совпадают с точностью измерения, но на практике для реальных ядерных реакций такое совпадение крайне маловероятно - дефект массы почти всегда либо заметно положителен, либо заметно отрицателен.

Почему при делении урана-235 используют приближённое значение Q, а не точный расчёт по массам? Потому что при делении получается не один фиксированный набор осколков, а множество разных пар с разной вероятностью - точный дефект массы отличается от акта к акту. Табличное значение около 200 МэВ - это усреднённая оценка по всем возможным каналам деления.

Коротко

Энергетический выход ядерной реакции находят по дефекту массы $\Delta m$ - разности суммарных масс реагентов и продуктов в атомных единицах массы, а саму энергию получают по формуле $Q = \Delta m\, c^2$, удобной через коэффициент 931,5 МэВ на одну а.е.м. Положительный $Q$ означает экзотермическую реакцию, отрицательный - эндотермическую, требующую энергии извне. Из-за большой энергии связи нуклонов ядерные реакции выделяют на много порядков больше энергии с той же массы вещества, чем любое химическое горение, - именно это делает их пригодным источником энергии в промышленных масштабах.