Координатный способ задания движения точки: формулы

Координатный способ задания движения точки - самый универсальный из трёх способов, которые изучают в теоретической механике: он описывает движение через две (или три в пространстве) независимые функции времени, $x = x(t)$ и $y = y(t)$, каждая из которых показывает, как меняется соответствующая координата точки. В отличие от векторного и естественного способов, здесь не нужно заранее знать траекторию - она сама получается из уравнений движения, если исключить из них время. Разберём, как по $x(t)$ и $y(t)$ находят уравнение траектории, проекции и модуль скорости, полное ускорение и его разложение на касательное и нормальное, а также радиус кривизны пути. Чтобы сразу увидеть, как эти величины связаны и как ведёт себя точка на конкретной траектории, покрутите калькулятор ниже: он строит параболу движения и раскладывает вектор ускорения на составляющие в реальном времени.

Что такое координатный способ задания движения

При координатном способе положение точки в плоскости задают двумя функциями времени:

$x = x(t), \qquad y = y(t).$

Каждая функция - это закон изменения соответствующей координаты, обычно многочлен от $t$, реже тригонометрическая или показательная зависимость. Если движение происходит в пространстве, добавляется третья функция $z = z(t)$, но большинство учебных задач ограничены плоскостью. Главное преимущество способа в том, что не требуется заранее знать форму пути: траектория, скорость и ускорение получаются из уравнений движения чисто математически - дифференцированием и исключением параметра $t$. Это отличает координатный способ от естественного, где траектория задаётся заранее, а движение описывается законом $s = s(t)$ вдоль неё.

Уравнение траектории

Чтобы получить уравнение траектории в привычном виде $y = f(x)$, нужно исключить время из двух уравнений движения: выразить $t$ через $x$ из первого уравнения и подставить во второе. Возьмём типовой закон движения $x(t) = v_x t$, $y(t) = y_0 + \tfrac{1}{2} a_y t^2$, где $v_x$ и $a_y$ - постоянные. Из первого уравнения $t = x / v_x$, подставляем во второе:

$y = y_0 + \frac{a_y}{2v_x^2}\,x^2.$

Получилась парабола с вершиной в точке $(0, y_0)$ - именно такую траекторию рисует калькулятор выше при движении по умолчанию.

Рассчитать для своей задачи

Форма траектории зависит от вида функций $x(t)$ и $y(t)$: линейная зависимость обеих координат от времени даёт прямую, одна линейная и одна квадратичная - параболу (как в примере выше), а две гармонические функции с одинаковой частотой - эллипс или окружность. Именно поэтому координатный способ называют универсальным: он одинаково хорошо описывает и прямолинейное, и криволинейное движение без каких-либо дополнительных предположений.

Скорость точки: проекции и модуль

Проекции скорости на оси координат - это первые производные координат по времени:

$v_x = \frac{dx}{dt}, \qquad v_y = \frac{dy}{dt}.$

Модуль скорости находится как длина вектора с этими проекциями:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}.$

Для закона движения из примера выше $v_x = v_x$ остаётся постоянной (координата $x$ линейна по времени), а $v_y = a_y t$ растёт линейно с течением времени. Поэтому модуль скорости $v = \sqrt{v_x^2 + (a_y t)^2}$ увеличивается: в начальный момент вектор скорости почти горизонтален, а с ростом $t$ он разворачивается всё круче вверх, оставаясь при этом касательным к траектории в каждой точке. Это общее правило координатного способа: вектор скорости в любой момент времени направлен по касательной к траектории, даже если сама траектория заранее неизвестна.

Ускорение точки: полное, касательное и нормальное

Проекции ускорения - вторые производные координат по времени, то есть первые производные проекций скорости:

$a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}, \qquad a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d^2y}{dt^2}.$

Модуль полного ускорения - по тем же правилам, что и для скорости:

$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}.$

Для криволинейного движения полное ускорение принято раскладывать на две составляющие с разным физическим смыслом: касательную $a_\tau$, которая меняет только модуль скорости, и нормальную $a_N$, которая меняет только направление скорости (поворачивает вектор). Касательное ускорение - это скорость изменения модуля скорости, а через проекции оно выражается так:

$a_\tau = \frac{dv}{dt} = \frac{v_x a_x + v_y a_y}{v}.$

Нормальное ускорение получают как оставшуюся часть полного ускорения, ведь $a_\tau$ и $a_N$ взаимно перпендикулярны:

$a_N = \sqrt{a^2 - a_\tau^2}.$

Рассчитать для своей задачи

В примере с параболой ускорение $a_x = 0$, а $a_y$ постоянно, поэтому полное ускорение $a = |a_y|$ не меняется во времени - меняется только то, как оно распределяется между касательной и нормальной составляющими. В начале движения, пока скорость почти горизонтальна, а ускорение направлено вертикально, почти всё ускорение - нормальное: оно активно разворачивает вектор скорости. Чем дольше длится движение, тем ближе направления скорости и ускорения, и тем больше доля уходит в касательную составляющую - точка всё меньше поворачивает и всё больше просто разгоняется вдоль почти прямой линии.

Радиус кривизны траектории

Нормальное ускорение точки на криволинейной траектории связано с радиусом кривизны пути $\rho$ в данной точке той же формулой, что и центростремительное ускорение при движении по окружности:

$a_N = \frac{v^2}{\rho} \quad \Rightarrow \quad \rho = \frac{v^2}{a_N}.$

Радиус кривизны - это не постоянная величина траектории (как радиус настоящей окружности), а локальная характеристика: в каждой точке параболы или любой другой кривой окружность, которая наилучшим образом приближает путь именно в этой точке, имеет свой радиус. Там, где траектория искривляется сильнее (например, у вершины параболы), радиус кривизны меньше, а там, где путь почти выпрямляется, радиус растёт и стремится к бесконечности. Это хорошо видно на калькуляторе: при малых $t$ нормальное ускорение велико и радиус кривизны мал, а с ростом времени радиус кривизны увеличивается, потому что нормальная составляющая ускорения падает.

Пример решения типовой задачи

Точка движется по закону $x(t) = 4t$ (см), $y(t) = t^2 - 2$ (см). Найти скорость, ускорение и радиус кривизны траектории в момент $t = 2$ с.

Сначала координаты и проекции скорости:

$x = 4 \cdot 2 = 8 \text{ см}, \qquad y = 2^2 - 2 = 2 \text{ см},$

$v_x = 4 \text{ см/с} \ (\text{постоянна}), \qquad v_y = 2t = 4 \text{ см/с}.$

Модуль скорости:

$v = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} \approx 5{,}66 \text{ см/с}.$

Проекции и модуль ускорения: $a_x = 0$, $a_y = 2$ см/с², значит $a = 2$ см/с². Касательное ускорение:

$a_\tau = \frac{v_x a_x + v_y a_y}{v} = \frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot 2}{5{,}66} \approx 1{,}41 \text{ см/с}^2.$

Нормальное ускорение и радиус кривизны:

$a_N = \sqrt{2^2 - 1{,}41^2} \approx 1{,}41 \text{ см/с}^2, \qquad \rho = \frac{v^2}{a_N} = \frac{32}{1{,}41} \approx 22{,}6 \text{ см}.$

Эти же числа выставлены по умолчанию в калькуляторе выше - переставьте ползунок времени на $t = 2$ с и сверьте показания панели с результатами расчёта.

Частые ошибки

• Путать проекции ускорения с полным ускорением. $a_x$ и $a_y$ - это проекции на неподвижные оси, они складываются геометрически, а не арифметически: $a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$, а не $a_x + a_y$.
• Забывать, что $a_\tau$ может быть отрицательным. Если точка замедляется, касательное ускорение направлено против скорости и в проекции получается отрицательным числом - знак важен для правильного разложения.
• Считать радиус кривизны постоянным. В отличие от окружности, у произвольной траектории радиус кривизны меняется от точки к точке; для параболы он минимален у вершины и растёт по мере удаления от неё.
• Путать нормальное ускорение с полным. Нормальное ускорение - это только часть полного, отвечающая за поворот вектора скорости; равенство $a = a_N$ верно лишь тогда, когда скорость по модулю не меняется (например, при равномерном движении по окружности).
• Дифференцировать координаты неверно. Скорость - первая производная координаты по времени, ускорение - вторая; частая ошибка - взять вместо производной саму функцию или продифференцировать не по той переменной.

FAQ

Чем координатный способ отличается от векторного и естественного? Векторный способ описывает положение точки одним радиус-вектором $\vec r(t)$, естественный - законом $s = s(t)$ вдоль заранее известной траектории. Координатный способ раскладывает движение на независимые уравнения по осям, из которых траектория получается сама, без дополнительных предположений о её форме.

Как получить уравнение траектории, если $x(t)$ и $y(t)$ - тригонометрические функции? Нужно исключить время с помощью тригонометрического тождества, а не простой подстановкой. Например, если $x = R\cos(\omega t)$ и $y = R\sin(\omega t)$, то из $\cos^2 + \sin^2 = 1$ сразу следует $x^2 + y^2 = R^2$ - окружность радиусом $R$.

Может ли нормальное ускорение быть равно нулю? Да, при прямолинейном движении: если траектория - прямая, вектор скорости не поворачивается, и вся работа по изменению скорости приходится на касательную составляющую, а нормальная равна нулю.

Коротко

Координатный способ задаёт движение точки функциями $x(t)$ и $y(t)$, из которых исключением времени получают уравнение траектории. Скорость и ускорение находят дифференцированием: $v_x = \dot x$, $v_y = \dot y$, $a_x = \ddot x$, $a_y = \ddot y$, а их модули - как длины соответствующих векторов. Полное ускорение раскладывают на касательную составляющую $a_\tau = (v_x a_x + v_y a_y)/v$, отвечающую за изменение модуля скорости, и нормальную $a_N = \sqrt{a^2 - a_\tau^2}$, отвечающую за поворот вектора скорости; через нормальное ускорение находят радиус кривизны траектории $\rho = v^2 / a_N$ в каждой конкретной точке пути.