Коэффициент теплопроводности газа: формула и расчёт

Коэффициент теплопроводности газа показывает, насколько интенсивно газ переносит тепловую энергию от более горячего слоя к более холодному за счёт хаотичного движения молекул. В отличие от твёрдых тел, где тепло передаётся колебаниями решётки, в газе энергию буквально разносят сами молекулы, перескакивая между слоями на расстояние своей длины свободного пробега. Ниже разберём, как выводится формула коэффициента теплопроводности из кинетической теории газов, от каких величин он зависит и почему инженеры считают его практически независимым от давления. Чтобы сразу увидеть, как температура, молярная масса и число степеней свободы молекулы влияют на итоговое число, покрути калькулятор ниже: он выбирает газ и пересчитывает коэффициент теплопроводности вместе с графиком его зависимости от температуры.

Как газ проводит тепло: механизм переноса энергии молекулами

Представим сосуд, у одной стенки которого температура выше, чем у другой. Молекулы газа около горячей стенки движутся в среднем быстрее, около холодной медленнее. Хаотичное тепловое движение постоянно перемешивает слои: молекула, столкнувшаяся с соседями в горячей области, пролетает в среднем расстояние, равное длине свободного пробега $\lambda$, а затем сталкивается уже в более холодном слое и передаёт часть избыточной кинетической энергии соседям. Так, слой за слоем, энергия диффузионно перетекает от горячей стенки к холодной, хотя каждая отдельная молекула движется совершенно хаотично и не «знает», куда идёт градиент температуры.

Рассчитать для своей задачи

Именно этот механизм и количественно описывает коэффициент теплопроводности $\kappa$: он стоит в законе Фурье $q = -\kappa \, dT/dx$, где $q$ - плотность теплового потока, а $dT/dx$ - градиент температуры. Чем больше $\kappa$, тем эффективнее газ выравнивает температуру.

Формула коэффициента теплопроводности газа

Кинетическая теория газов даёт для коэффициента теплопроводности следующую формулу:

$$\kappa = \frac{1}{3} \rho \langle v\rangle \lambda c_v,$$

где $\rho$ - плотность газа, $\langle v\rangle$ - средняя скорость теплового движения молекул, $\lambda$ - средняя длина свободного пробега, а $c_v$ - удельная теплоёмкость газа при постоянном объёме (в расчёте на единицу массы, Дж/(кг·К)). Формула похожа на выражение для коэффициента вязкости $\eta = \frac{1}{3}\rho\langle v\rangle\lambda$, и это не совпадение: перенос импульса (вязкость) и перенос энергии (теплопроводность) в газе описываются одной и той же диффузионной картиной, только вязкость переносит импульс, а теплопроводность энергию.

Каждый из четырёх множителей вычисляется отдельно. Средняя скорость теплового движения молекул:

$$\langle v\rangle = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}},$$

где $R = 8{,}314$ Дж/(моль·К) - универсальная газовая постоянная, $T$ - абсолютная температура, $M$ - молярная масса газа. Средняя длина свободного пробега:

$$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\,\pi d^2 n},$$

где $d$ - эффективный диаметр молекулы, а $n$ - концентрация молекул (число молекул в единице объёма). Плотность газа находим из уравнения Менделеева-Клапейрона, $\rho = pM/(RT)$, а удельную теплоёмкость через число степеней свободы молекулы $i$:

$$c_v = \frac{i}{2}\frac{R}{M}.$$

Число степеней свободы $i = 3$ у одноатомных газов (гелий, аргон), $i = 5$ у двухатомных (азот, кислород) и $i = 6$ у нелинейных многоатомных (в упрощённой модели, без учёта колебательных степеней свободы при умеренных температурах).

Средняя скорость молекул и длина свободного пробега

Средняя длина свободного пробега $\lambda$ - это расстояние, которое молекула в среднем пролетает между двумя последовательными столкновениями. Она зависит от концентрации молекул $n = p/(kT)$ (здесь $k = 1{,}380649\cdot10^{-23}$ Дж/К - постоянная Больцмана) и от эффективного диаметра молекулы $d$: чем плотнее газ или чем крупнее молекулы, тем чаще происходят столкновения и тем короче $\lambda$.

Рассчитать для своей задачи

Для азота при нормальных условиях (300 К, 1 атмосфера) расчёт по формуле $\lambda = kT/(\sqrt{2}\pi d^2 p)$ даёт $\lambda \approx 65$ нанометров при среднем диаметре молекулы $d \approx 3{,}75\cdot10^{-10}$ м. Это на три порядка больше самого диаметра молекулы, поэтому модель разреженного газа, где молекулы почти всё время летят свободно и лишь изредка сталкиваются, работает хорошо при обычных давлениях.

Почему коэффициент теплопроводности не зависит от давления

На первый взгляд кажется, что при увеличении давления теплопроводность должна расти, ведь молекул становится больше и они чаще переносят энергию. Но при подстановке выражений для $\rho$ и $\lambda$ в формулу $\kappa$ происходит сокращение:

$$\rho \lambda = \frac{pM}{RT} \cdot \frac{kT}{\sqrt{2}\pi d^2 p} = \frac{Mk}{\sqrt{2}\pi d^2 R} = \frac{M}{\sqrt{2}\pi d^2 N_A},$$

где $N_A$ - число Авогадро. Давление $p$ из числителя и знаменателя полностью сокращается: произведение плотности на длину свободного пробега зависит только от свойств самого газа (молярной массы и диаметра молекулы), но не от давления. Физически это означает: при более высоком давлении молекул больше, но каждая из них пролетает меньшее расстояние между столкновениями, и эти два эффекта компенсируют друг друга. В калькуляторе выше это видно напрямую: подвиньте ползунок давления, и длина свободного пробега $\lambda$ изменится, а сам коэффициент теплопроводности $\kappa$ и график $\kappa(T)$ останутся прежними.

Этот вывод справедлив только пока газ остаётся достаточно плотным, то есть пока длина свободного пробега намного меньше размеров сосуда. При очень низких давлениях (глубокий вакуум), когда $\lambda$ становится сравнима с размером сосуда, наступает так называемый режим Кнудсена, и формула перестаёт работать: теплопроводность начинает падать вместе с давлением.

От чего зависит теплопроводность газа: температура, масса, степени свободы

После сокращения давления коэффициент теплопроводности можно записать в виде:

$$\kappa = \frac{iR}{6\sqrt{2}\,\pi d^2 N_A}\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}},$$

то есть $\kappa$ растёт пропорционально $\sqrt{T}$ (через среднюю скорость молекул), пропорционально числу степеней свободы $i$ и обратно пропорционально квадрату эффективного диаметра молекулы $d^2$. Отсюда легко объяснить порядок величин: у гелия при 300 К коэффициент теплопроводности почти в 5 раз выше, чем у азота, хотя у гелия меньше степеней свободы ($i=3$ против $i=5$). Причина в том, что молекулы гелия гораздо легче (молярная масса 4 г/моль против 28 г/моль) и поэтому летят намного быстрее, а эффективный диаметр атома гелия меньше, значит длина свободного пробега больше. Оба фактора перевешивают меньшее число степеней свободы.

Молярная масса входит в формулу дважды: напрямую через $\langle v \rangle \propto 1/\sqrt{M}$ и через $c_v \propto 1/M$, поэтому лёгкие газы (водород, гелий) всегда оказываются заметно лучшими проводниками тепла, чем тяжёлые (аргон, углекислый газ), при прочих равных условиях.

Теплопроводность и вязкость: как они связаны

Сравнивая формулы $\kappa = \frac{1}{3}\rho\langle v\rangle\lambda c_v$ и $\eta = \frac{1}{3}\rho\langle v\rangle\lambda$, можно заметить, что они отличаются только множителем $c_v$:

$$\kappa = \eta \, c_v.$$

Это удобное соотношение: если коэффициент вязкости газа уже известен из справочника или измерен экспериментально, коэффициент теплопроводности можно оценить, просто умножив вязкость на удельную теплоёмкость при постоянном объёме, не считая заново среднюю скорость и длину свободного пробега. На практике элементарная кинетическая теория, использованная выше, даёт значение $\kappa$ верного порядка величины, но обычно на 30-60% ниже точных экспериментальных данных (уточнённая теория Чепмена-Энскога учитывает распределение скоростей молекул точнее и вводит поправочный множитель, близкий к 2,5 для одноатомных газов).

Пример решения задачи

Найдём коэффициент теплопроводности азота при температуре $T = 300$ К и давлении $p = 101325$ Па (одна атмосфера), если молярная масса азота $M = 0{,}028$ кг/моль, эффективный диаметр молекулы $d = 3{,}75\cdot10^{-10}$ м, число степеней свободы $i = 5$.

Сначала находим среднюю скорость молекул:

$$\langle v\rangle = \sqrt{\frac{8 \cdot 8{,}314 \cdot 300}{\pi \cdot 0{,}028}} \approx 476\ \text{м/с}.$$

Затем длину свободного пробега через концентрацию $n = p/(kT) \approx 2{,}45\cdot10^{25}$ м⁻³:

$$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\,\pi d^2 n} \approx 6{,}5\cdot10^{-8}\ \text{м} = 65\ \text{нм}.$$

Плотность газа по уравнению состояния: $\rho = pM/(RT) \approx 1{,}14$ кг/м³. Удельная теплоёмкость: $c_v = (i/2)(R/M) \approx 742$ Дж/(кг·К). Подставляя всё в главную формулу:

$$\kappa = \frac{1}{3}\rho\langle v\rangle\lambda c_v \approx \frac{1}{3}\cdot 1{,}14 \cdot 476 \cdot 6{,}5\cdot10^{-8}\cdot 742 \approx 8{,}8\cdot10^{-3}\ \text{Вт/(м·К)}.$$

Получили $\kappa \approx 8{,}8$ мВт/(м·К) - того же порядка, что и табличное значение для азота (около 26 мВт/(м·К); расхождение как раз объясняется упрощённой моделью средних скоростей, о которой шла речь выше). Тот же расчёт для любого другого газа и давления мгновенно выполнит калькулятор в начале статьи.

Частые ошибки

• Подстановка молярной теплоёмкости вместо удельной. В формуле $\kappa = \frac{1}{3}\rho\langle v\rangle\lambda c_v$ нужна теплоёмкость на единицу МАССЫ (Дж/(кг·К)), а не на моль. Если взять молярную $C_v = (i/2)R$ и не разделить на $M$, получится значение $\kappa$ в тысячи раз больше правильного.
• Забытый перевод давления в паскали. Давление в атмосферах или миллиметрах ртутного столба нужно переводить в паскали ($1$ атм $= 101325$ Па), иначе концентрация $n$ и длина свободного пробега $\lambda$ получатся с ошибкой на несколько порядков.
• Путаница температуры в градусах Цельсия и кельвинах. Формулы средней скорости и концентрации требуют абсолютной температуры $T$ в кельвинах, а не $t$ в градусах Цельсия.
• Ожидание роста κ с давлением. Как показано выше, при подстановке $\rho$ и $\lambda$ давление сокращается, и коэффициент теплопроводности идеального газа от давления не зависит (в диапазоне обычных, не слишком низких давлений).
• Неверное число степеней свободы. Для двухатомных молекул при комнатной температуре обычно берут $i=5$ (3 поступательных + 2 вращательных), а не $i=6$ и не $i=3$ - колебательная степень свободы «замерзает» при умеренных температурах.

FAQ

От чего зависит коэффициент теплопроводности газа? От температуры (растёт как $\sqrt{T}$), молярной массы (легче газ - выше теплопроводность), эффективного диаметра молекулы и числа степеней свободы. От давления коэффициент теплопроводности практически не зависит, пока газ остаётся достаточно плотным.

Почему коэффициент теплопроводности газа не зависит от давления? Потому что в формуле $\kappa = \frac{1}{3}\rho\langle v\rangle\lambda c_v$ произведение плотности $\rho$ на длину свободного пробега $\lambda$ от давления не зависит: при росте давления молекул становится больше, но каждая пролетает меньшее расстояние между столкновениями, и оба эффекта в точности компенсируют друг друга.

Как связаны теплопроводность и вязкость газа? Соотношением $\kappa = \eta c_v$, где $\eta$ - динамическая вязкость, а $c_v$ - удельная теплоёмкость при постоянном объёме. Обе величины описываются одной и той же кинетической моделью переноса, только вязкость переносит импульс, а теплопроводность энергию.

Коротко

Коэффициент теплопроводности газа $\kappa = \frac{1}{3}\rho\langle v\rangle\lambda c_v$ складывается из плотности газа, средней скорости молекул $\langle v\rangle = \sqrt{8RT/(\pi M)}$, средней длины свободного пробега $\lambda$ и удельной теплоёмкости $c_v = (i/2)(R/M)$. После подстановки давление сокращается, и коэффициент теплопроводности идеального газа зависит только от температуры, молярной массы, эффективного диаметра молекулы и числа степеней свободы, но не от давления. Формула тесно связана с коэффициентом вязкости через $\kappa = \eta c_v$ и даёт верный порядок величины для реальных газов.