Коэффициент трения: формула Альтшуля для труб

Коэффициент гидравлического трения $\lambda$ показывает, какую долю скоростного напора поток теряет на трение о стенки трубы на каждом её диаметре длины. Точное значение $\lambda$ даёт неявное уравнение Колбрука-Уайта, которое приходится решать подбором, поэтому в инженерных расчётах почти всегда используют явную формулу Альтшуля - простое приближение, дающее ту же точность без итераций. Ниже разберём, как формула Альтшуля устроена, откуда в ней берутся число Рейнольдса и относительная шероховатость, как перейти от $\lambda$ к потерям напора по Дарси-Вейсбаху и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу увидеть, как параметры трубы и потока связаны с потерями, покрутите калькулятор ниже - он держит обе диаграммы синхронными с формулами, разобранными дальше.

Формула Альтшуля

Формула Альтшуля выражает коэффициент трения через относительную шероховатость стенки и число Рейнольдса:

$$\lambda = 0{,}11 \left( \frac{\Delta}{d} + \frac{68}{Re} \right)^{0{,}25},$$

где $\Delta$ - эквивалентная абсолютная шероховатость стенок трубы (мм), $d$ - внутренний диаметр трубы (в тех же единицах, что и $\Delta$), $Re$ - число Рейнольдса потока. Формула - явная аппроксимация неявного уравнения Колбрука-Уайта: она охватывает весь турбулентный диапазон, от гидравлически гладких труб (где вклад $\Delta/d$ мал и $\lambda$ определяется в основном числом Рейнольдса) до полностью шероховатых (где доминирует $\Delta/d$, а $Re$ почти не влияет). Именно поэтому формула Альтшуля так популярна в учебных и проектных расчётах трубопроводов - она даёт ответ в одно действие вместо итерационного решения.

Число Рейнольдса и границы применимости

Число Рейнольдса - безразмерный параметр, который сравнивает силы инерции и вязкого трения в потоке:

$$Re = \frac{v\,d}{\nu},$$

где $v$ - средняя скорость потока, $d$ - диаметр трубы, $\nu$ - кинематическая вязкость жидкости (для воды при 20°C $\nu \approx 1{,}0 \times 10^{-6}\ \text{м}^2/\text{с}$). Режим течения определяется именно этим числом:

Рассчитать для своей задачи

• При $Re < 2300$ течение ламинарное, и коэффициент трения считается по простой формуле $\lambda = 64/Re$ - здесь шероховатость стенки роли не играет, слой жидкости у стенки гасит все возмущения.
• При $Re > 4000$ течение турбулентное, и вступает в силу формула Альтшуля - теперь важна именно шероховатость, потому что турбулентные вихри достают до неровностей стенки.
• Диапазон $2300 < Re < 4000$ переходный: течение неустойчиво, и точного явного выражения для него нет, инженеры обычно используют формулу Альтшуля как приближённую оценку сверху.

Применять формулу Альтшуля к ламинарному потоку - частая ошибка: подстановка малых чисел Рейнольдса в неё даёт число, но оно физически неверно, потому что формула выведена именно для турбулентного режима.

Шероховатость трубы и её вклад в потери

Относительная шероховатость $\Delta/d$ - это отношение высоты бугорков на внутренней стенке трубы к её диаметру. Абсолютная шероховатость $\Delta$ зависит от материала и состояния трубы: новая стальная труба имеет $\Delta \approx 0{,}2$ мм, новая чугунная - около $0{,}25$ мм, старая корродированная чугунная труба может дорасти до $1$-$1{,}5$ мм, а гладкий пластик или ПВХ - всего $0{,}01$-$0{,}03$ мм.

Рассчитать для своей задачи

Чем больше относительная шероховатость, тем выше коэффициент трения при том же числе Рейнольдса - в формуле Альтшуля это видно напрямую: слагаемое $\Delta/d$ складывается со слагаемым $68/Re$ под корнем четвёртой степени. При большом $Re$ второе слагаемое становится пренебрежимо малым, и $\lambda$ выходит на «полку», определяемую только шероховатостью - это и есть режим квадратичного сопротивления.

Потери напора по Дарси-Вейсбаху

Зная $\lambda$, потери напора на трение по длине трубопровода находят по формуле Дарси-Вейсбаха:

$$h_l = \lambda\, \frac{L}{d}\, \frac{v^2}{2g},$$

где $L$ - длина участка трубы, $g \approx 9{,}81\ \text{м/с}^2$ - ускорение свободного падения. Формула показывает, что потери растут линейно с длиной трубы и квадратично со скоростью потока - удвоение скорости учетверяет потери напора при том же коэффициенте трения. Потери давления получаются простым домножением на плотность жидкости и ускорение свободного падения:

$$\Delta p = \rho\, g\, h_l = \lambda\, \frac{L}{d}\, \frac{\rho v^2}{2}.$$

Рассчитать для своей задачи

На графике видно, как коэффициент трения падает с ростом числа Рейнольдса в ламинарной зоне, а затем в турбулентной зоне выходит на пологую кривую, зависящую от шероховатости. Именно эта кривая - упрощённый аналог диаграммы Муди, только вместо семейства линий здесь используется явная формула Альтшуля.

Пример расчёта

Возьмём типовую задачу: вода течёт по новой стальной трубе диаметром $d = 100$ мм со скоростью $v = 1{,}5$ м/с, шероховатость трубы $\Delta = 0{,}2$ мм, длина участка $L = 100$ м. Кинематическая вязкость воды $\nu = 1{,}0 \times 10^{-6}\ \text{м}^2/\text{с}$.

Сначала число Рейнольдса:

$$Re = \frac{v\,d}{\nu} = \frac{1{,}5 \cdot 0{,}1}{1{,}0 \times 10^{-6}} = 150\,000.$$

Это больше 4000, значит режим турбулентный и формула Альтшуля применима. Относительная шероховатость:

$$\frac{\Delta}{d} = \frac{0{,}2}{100} = 0{,}002.$$

Подставляем в формулу Альтшуля:

$$\lambda = 0{,}11 \left( 0{,}002 + \frac{68}{150\,000} \right)^{0{,}25} = 0{,}11 \cdot (0{,}002453)^{0{,}25} \approx 0{,}0245.$$

Теперь потери напора по Дарси-Вейсбаху:

$$h_l = 0{,}0245 \cdot \frac{100}{0{,}1} \cdot \frac{1{,}5^2}{2 \cdot 9{,}81} \approx 2{,}81\ \text{м}.$$

И потери давления:

$$\Delta p = 1000 \cdot 9{,}81 \cdot 2{,}81 \approx 27\,500\ \text{Па} \approx 27{,}5\ \text{кПа}.$$

Те же числа стоят в калькуляторе по умолчанию - можно свериться и подвигать ползунки, чтобы увидеть, как каждый параметр меняет итог.

Частые ошибки

• Формулу Альтшуля применяют к ламинарному потоку. Если $Re < 2300$, коэффициент трения находят по $\lambda = 64/Re$, а не по формуле Альтшуля - она выведена именно для турбулентного режима.
• Путают $\Delta$ и $\Delta/d$. В формулу подставляется относительная шероховатость (отношение, безразмерная величина), а не абсолютная шероховатость в миллиметрах саму по себе.
• Забывают перевести единицы. $\Delta$ и $d$ должны быть в одних единицах измерения (оба в мм или оба в м) - иначе относительная шероховатость получится в тысячу раз неверной.
• Путают показатель степени. Показатель у скобки - $0{,}25$ (корень четвёртой степени), а не $0{,}5$ или целая степень - ошибка в показателе сильно искажает результат.
• Забывают квадрат скорости в потерях напора. В формуле Дарси-Вейсбаха скорость входит в квадрате, поэтому увеличение скорости в два раза увеличивает потери напора в четыре раза, а не в два.

FAQ

Чем формула Альтшуля отличается от уравнения Колбрука-Уайта? Уравнение Колбрука-Уайта неявное - $\lambda$ входит в обе части и уравнение решают итерациями. Формула Альтшуля - явная аппроксимация того же уравнения с той же точностью в турбулентном диапазоне, но без итераций: подставил число Рейнольдса и относительную шероховатость - сразу получил $\lambda$.

Как формула Альтшуля работает при очень большом числе Рейнольдса? При очень больших $Re$ слагаемое $68/Re$ стремится к нулю, и формула вырождается в $\lambda \approx 0{,}11 (\Delta/d)^{0{,}25}$ - коэффициент трения перестаёт зависеть от скорости потока и определяется только шероховатостью. Это называется режимом квадратичного сопротивления, или автомодельностью по числу Рейнольдса.

Можно ли использовать формулу Альтшуля для труб произвольного сечения, не круглых? Да, если заменить диаметр $d$ на гидравлический диаметр $d_г = 4S/P$ ($S$ - площадь сечения потока, $P$ - смоченный периметр), а число Рейнольдса считать по нему же. Для круглой трубы, полностью заполненной жидкостью, гидравлический диаметр совпадает с обычным.

Коротко

Формула Альтшуля $\lambda = 0{,}11(\Delta/d + 68/Re)^{0{,}25}$ даёт коэффициент гидравлического трения для турбулентного течения без итерационного решения уравнения Колбрука-Уайта. Она работает при $Re > 4000$ (ниже 2300 действует ламинарная формула $64/Re$) и объединяет вклад относительной шероховатости трубы и числа Рейнольдса под одним корнем четвёртой степени. Зная $\lambda$, потери напора находят по формуле Дарси-Вейсбаха $h_l = \lambda (L/d) (v^2/2g)$, а потери давления - домножением на плотность и ускорение свободного падения.