Потери напора по длине: формула Дарси-Вейсбаха

Потери напора по длине - это часть энергии потока, которая уходит на преодоление трения жидкости о стенки трубы на прямом участке без местных сопротивлений (поворотов, задвижек, сужений). Их считают по формуле Дарси-Вейсбаха - универсальной зависимости, работающей для любой жидкости, любого режима течения и любого материала трубы, если правильно подобрать коэффициент трения. Ниже разберём вывод формулы, откуда берётся коэффициент трения λ, как его находят через число Рейнольдса и шероховатость стенок, и решим типовую задачу гидравлического расчёта. Чтобы сразу увидеть, как расход, диаметр и материал трубы влияют на итоговые потери, покрутите калькулятор ниже - он пересчитывает скорость, число Рейнольдса, λ и h_f мгновенно.

Формула Дарси-Вейсбаха

Потери напора по длине трубопровода записываются так:

$h_f = \lambda \, \frac{L}{D} \, \frac{v^2}{2g},$

где $h_f$ - потери напора (м), $\lambda$ - безразмерный коэффициент гидравлического трения, $L$ - длина участка трубы (м), $D$ - внутренний диаметр трубы (м), $v$ - средняя скорость потока (м/с), $g = 9{,}81$ м/с² - ускорение свободного падения. Формула показывает три интуитивных факта: потери растут прямо пропорционально длине трубы, обратно пропорционально диаметру и квадратично зависят от скорости - удвоение скорости увеличивает потери в четыре раза, а не в два.

Рассчитать для своей задачи

Скорость потока в формуле не задаётся напрямую - её находят из расхода $Q$ и площади поперечного сечения трубы $A = \pi D^2/4$:

$v = \frac{Q}{A} = \frac{4Q}{\pi D^2}.$

Откуда берётся коэффициент трения λ

Коэффициент $\lambda$ - не константа, а функция режима течения и относительной шероховатости стенок трубы. Чтобы понять, какой режим у потока, вычисляют число Рейнольдса:

$Re = \frac{vD}{\nu},$

где $\nu$ - кинематическая вязкость жидкости (для воды при 20 °C $\nu \approx 1{,}01 \times 10^{-6}$ м²/с). Число Рейнольдса - безразмерное отношение сил инерции к силам вязкости, и именно оно определяет, какой формулой считать λ.

Рассчитать для своей задачи

Ламинарный режим ($Re < 2300$). Течение слоистое, без перемешивания, и коэффициент трения находится точно из решения уравнения Навье-Стокса для течения в трубе (формула Пуазейля):

$\lambda = \frac{64}{Re}.$

Турбулентный и переходный режим ($Re \ge 2300$). Течение перемешивается, и точной формулы уже нет - используются эмпирические зависимости. Самая известная - уравнение Колбрука-Уайта, но оно неявное (λ входит и в левую, и в правую часть под логарифмом). На практике для инженерных расчётов чаще берут явную формулу Альтшуля, которая приближает решение Колбрука-Уайта с точностью, достаточной для проектных расчётов:

$\lambda = 0{,}11 \left( \frac{\Delta}{D} + \frac{68}{Re} \right)^{0{,}25},$

где $\Delta$ - эквивалентная шероховатость стенок трубы (мм), а $\Delta/D$ - относительная шероховатость. Чем больше шероховатость и чем ниже число Рейнольдса, тем выше коэффициент трения. У новой стальной трубы $\Delta \approx 0{,}1$ мм, у старой стальной или чугунной - до $1$ мм и выше, у пластиковых труб - около $0{,}01$ мм. Это объясняет, почему одна и та же вода в одной и той же трубе даёт разные потери напора спустя годы эксплуатации: коррозия и отложения увеличивают шероховатость стенок.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку: по стальной трубе диаметром $D = 100$ мм и длиной $L = 150$ м течёт вода с расходом $Q = 15$ л/с. Труба новая, эквивалентная шероховатость $\Delta = 0{,}1$ мм. Нужно найти потери напора по длине.

Сначала находим скорость потока через площадь сечения:

$A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi \cdot 0{,}1^2}{4} \approx 0{,}00785\ \text{м}^2, \qquad v = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}015}{0{,}00785} \approx 1{,}91\ \text{м/с}.$

Дальше вычисляем число Рейнольдса, чтобы понять режим течения:

$Re = \frac{vD}{\nu} = \frac{1{,}91 \cdot 0{,}1}{1{,}01 \times 10^{-6}} \approx 189\,000.$

Это заметно больше 2300, значит режим турбулентный, и λ считаем по формуле Альтшуля с относительной шероховатостью $\Delta/D = 0{,}1/100 = 0{,}001$:

$\lambda = 0{,}11 \left( 0{,}001 + \frac{68}{189\,000} \right)^{0{,}25} \approx 0{,}0211.$

Осталось подставить всё в главную формулу:

$h_f = \lambda \, \frac{L}{D} \, \frac{v^2}{2g} = 0{,}0211 \cdot \frac{150}{0{,}1} \cdot \frac{1{,}91^2}{2 \cdot 9{,}81} \approx 5{,}89\ \text{м}.$

То есть на участке трубы длиной 150 м поток теряет почти 6 метров напора - это нужно учитывать при подборе насоса, чтобы он компенсировал и эти потери, и разницу высот, и местные сопротивления (задвижки, повороты, тройники), которые считаются отдельно через коэффициенты местных сопротивлений $\xi$.

Обратите внимание, насколько чувствительна формула к диаметру: он входит и в скорость (через площадь сечения), и напрямую в множитель $L/D$, поэтому в сумме потери напора зависят от диаметра примерно в пятой степени. Уменьшение диаметра трубы вдвое при том же расходе увеличивает потери напора примерно в 32 раза - это ключевая причина, почему на практике диаметр трубопровода подбирают не «с запасом побольше», а расчётом: слишком узкая труба резко увеличивает эксплуатационные расходы на прокачку, а слишком широкая неоправданно увеличивает капитальные затраты на материал.

Почему потери растут с длиной линейно, а с расходом - почти квадратично

Из формулы видно: при фиксированных λ, D и v зависимость $h_f(L)$ строго линейна - график представляет собой прямую через начало координат с наклоном $\lambda v^2/(2gD)$. А вот зависимость от расхода $Q$ сложнее квадратичной параболы: скорость входит в квадрате явно, но и число Рейнольдса, а значит и λ, тоже зависят от расхода. На практике λ меняется с расходом гораздо слабее, чем $v^2$, поэтому итоговая кривая $h_f(Q)$ очень близка к параболе, но не совпадает с ней в точности - это хорошо видно на графике в калькуляторе выше, если менять расход при фиксированных длине и диаметре.

Частые ошибки

• Путают внутренний диаметр с наружным. В формулу подставляется именно внутренний (проходной) диаметр трубы - он меньше номинального на удвоенную толщину стенки.
• Забывают проверить режим течения. Формула $\lambda = 64/Re$ работает только при $Re < 2300$; применение формулы Альтшуля к ламинарному потоку (и наоборот) даёт неверный результат.
• Путают расход и скорость. Расход $Q$ (м³/с или л/с) и скорость $v$ (м/с) - разные величины, связанные площадью сечения; нельзя подставлять расход напрямую в формулу вместо скорости.
• Игнорируют шероховатость трубы. Для старых труб с коррозией и отложениями шероховатость может быть в 10 раз выше табличной для нового материала - это заметно меняет λ и итоговые потери.
• Забывают перевести единицы. Диаметр в мм нужно перевести в метры, расход в л/с - в м³/с, иначе численный результат будет ошибочным на порядки.

FAQ

Как формула Дарси-Вейсбаха связана с формулой Шези для открытых каналов? Обе формулы описывают потери энергии на трение, но формула Шези применяется к безнапорному течению в открытых руслах и каналах, где роль играет гидравлический радиус, а не диаметр трубы. Формула Дарси-Вейсбаха - для напорного течения в закрытых трубах.

Можно ли использовать формулу Дарси-Вейсбаха для газов? Да, формула универсальна для любой ньютоновской жидкости или газа при малых перепадах давления, если учитывать соответствующую плотность и вязкость среды в числе Рейнольдса. Для газов с большим перепадом давления нужно учитывать сжимаемость.

Что делать, если труба состоит из участков разного диаметра? Потери напора считают отдельно для каждого участка постоянного диаметра по формуле Дарси-Вейсбаха, а затем складывают, добавляя ещё потери в местных сопротивлениях на стыках (внезапное расширение или сужение).

Коротко

Потери напора по длине трубопровода считаются по формуле $h_f = \lambda (L/D)(v^2/2g)$, где скорость находится из расхода и площади сечения, а коэффициент трения λ зависит от режима течения (число Рейнольдса) и относительной шероховатости стенок: для ламинарного потока $\lambda = 64/Re$, для турбулентного - формула Альтшуля $\lambda = 0{,}11(\Delta/D + 68/Re)^{0{,}25}$. Потери растут линейно с длиной трубы и почти квадратично с расходом, а материал и возраст трубы напрямую влияют на итоговый результат через шероховатость стенок.