Расчёт кольцевой водопроводной сети: метод Лобачёва-Кросса

Кольцевая водопроводная сеть отличается от тупиковой тем, что вода к каждому потребителю может прийти сразу с двух сторон кольца - это надёжнее (при аварии на одном участке подача не прервётся), но и считать такую сеть сложнее: расход на каждом участке заранее неизвестен, а найти его в одно действие, как в тупиковой сети, нельзя. Инженеры решают эту задачу методом последовательных приближений - предварительно распределяют расход, а затем увязывают контур так, чтобы сумма потерь напора по замкнутому пути стремилась к нулю. Ниже разберём, откуда берётся формула потерь напора, как работает сама увязка и почему точка, где встречаются два потока воды, не всегда там, где её ожидают. Перед разбором формул попробуй калькулятор: он проводит полную увязку контура за вас и показывает, как распределится расход при разных диаметрах участков.

Что такое кольцевая сеть и почему её нельзя посчитать напрямую

В тупиковой сети вода течёт от источника к каждому потребителю только одним путём, поэтому расход на любом участке однозначно равен сумме расходов всех потребителей, которые запитаны через него дальше по трубе. В кольцевой сети всё иначе: если взять простейшее кольцо из узла-источника 1 и трёх узлов-потребителей 2, 3, 4, вода из узла 1 может дойти до узла 3 двумя путями - через узел 2 или через узел 4. Баланс расхода в каждом узле (сколько пришло, столько и ушло) выполняется при любом разбиении притока между двумя путями - это уравнение одно, а неизвестных больше. Недостающее условие даёт второй закон Кирхгофа для гидравлических сетей: сумма потерь напора при обходе замкнутого контура по часовой стрелке равна нулю, потому что напор в любом узле не может иметь два разных значения одновременно. Именно это условие и нужно подогнать перебором.

Формула потерь напора на участке

Потери напора на участке трубопровода длиной $L$ и диаметром $d$ при расходе $Q$ считаются по формуле Дарси-Вейсбаха. Через скорость потока $v = Q / (\pi d^2/4)$ она приводится к прямой зависимости от расхода:

$h = \lambda \frac{L}{d}\cdot\frac{v^2}{2g} = \frac{8\lambda L}{g\pi^2 d^5}\, Q^2 = S\,Q^2,$

где $\lambda$ - коэффициент гидравлического трения (для стальных труб в расчётах часто берут порядок 0,03), $g = 9{,}81$ м/с², а $S$ - гидравлическое сопротивление участка, зависящее только от его длины и диаметра. Чем толще труба, тем резче падает сопротивление: диаметр входит в пятой степени, поэтому увеличение диаметра всего на 30% снижает потери напора почти вдвое при том же расходе.

Рассчитать для своей задачи

При расчёте кольца важно не потерять знак: если направление обхода контура выбрано по часовой стрелке, а фактический поток на участке идёт против него, расход и потери напора на этом участке считаются отрицательными - $h = S\,Q\,|Q|$, а не просто $S\,Q^2$.

Метод Лобачёва-Кросса: как увязывают контур

Расчёт начинается с предварительного распределения расхода: инженер задаёт, сколько воды идёт по каждому из двух путей от источника, произвольно - лишь бы в каждом узле сходился баланс притока и оттока. Для простого кольца это всегда можно сделать, просто разделив приток на источнике на две части. После этого для выбранного направления обхода считают потери напора на каждом участке и складывают их с учётом знака. Если сумма не равна нулю - контур не увязан, и нужна поправка.

Рассчитать для своей задачи

Поправка находится по формуле Лобачёва-Кросса:

$\Delta Q = -\,\frac{\sum h_i}{2\sum S_i\,|Q_i|},$

где суммирование идёт по всем участкам контура. Поправку прибавляют к расходу на всех участках, где обход совпадает с выбранным направлением, и вычитают там, где обход идёт против него - то есть добавляют к каждому участку одну и ту же величину $\Delta Q$ с учётом знака направления. Затем невязку считают заново с исправленным расходом и повторяют, пока сумма потерь напора не станет пренебрежимо малой - обычно достаточно 3-6 итераций даже вручную, а для сети с несколькими контурами поправки на каждом контуре считают независимо и повторяют проход по всем контурам по очереди.

Где на самом деле сходятся потоки

Пока диаметры и отборы воды в узлах симметричны, поток от источника делится поровну и встречается точно в узле напротив источника - как и предполагает интуиция. Но стоит одному узлу забрать заметно больше воды или одной половине кольца оказаться заметно уже другой, точка встречи смещается: расход на одном из последних участков перед предполагаемым узлом схода может получиться отрицательным. Это не ошибка расчёта, а признак того, что в реальности вода на этом участке течёт в обратную сторону - и узел, который должен был получать воду с одной стороны, на самом деле получает её сразу с двух. Калькулятор выше отслеживает эту ситуацию и показывает, в какой узел на самом деле приходят оба потока.

Рассчитать для своей задачи

Проверить итоговую увязку удобно именно по напору: если посчитать напор в точке схода двумя разными путями от источника, при правильной увязке оба значения должны совпасть с точностью до долей процента. Это и есть графическая версия того же условия - суммы потерь напора по контуру равной нулю.

Пример расчёта: увязка простого кольца

Пусть кольцо состоит из источника 1 с общим притоком $Q_0 = 20$ л/с и трёх узлов с отбором $q_2 = 5$, $q_3 = 10$, $q_4 = 5$ л/с. Участки 1-2 и 2-3 имеют диаметр 150 мм, участки 3-4 и 4-1 - тоже 150 мм, длина каждого участка 300 м. Сопротивление участка при таком диаметре и $\lambda = 0{,}03$:

$S = \frac{8\cdot 0{,}03\cdot 300}{9{,}81\cdot\pi^2\cdot 0{,}15^5} \approx 9793\ \text{(в единицах СИ, при }Q\text{ в м}^3\text{/с)}.$

Из-за симметрии отборов ($q_2 = q_4$) и одинаковых диаметров предварительное распределение поровну сразу даёт увязанный контур: $Q_{12} = Q_{41} = 10$ л/с, $Q_{23} = Q_{43} = 5$ л/с. Потери напора на первом участке каждого пути $h_{12} = h_{41} = S\cdot(0{,}01)^2 \approx 0{,}979$ м, на втором участке каждого пути $h_{23} = h_{43} = S\cdot(0{,}005)^2 \approx 0{,}245$ м. Напор в точке схода, посчитанный любым из путей, получается одинаковым - примерно $-1{,}224$ м относительно источника, - то есть контур увязан с первой попытки. Если сдвинуть диаметр одного из участков или перераспределить отбор неравномерно, симметрия пропадает и метод Лобачёва-Кросса потребует уже нескольких итераций - именно это можно увидеть, подвинув ползунки в калькуляторе выше.

Частые ошибки

• Потеря знака при обходе контура. Потери напора на участке, где фактический поток идёт против выбранного направления обхода, обязательно отрицательны - забыть об этом значит получить неверную невязку и разойтись при поправке.
• Округление диаметра до расчёта, а не после. Диаметр входит в формулу в пятой степени - округление на этапе подстановки, а не в итоговом ответе, сильно искажает сопротивление участка.
• Проверка увязки только по одному участку. Невязка контура - это сумма потерь напора по всем участкам замкнутого пути, а не разница напоров на соседних двух узлах.
• Игнорирование смены знака расхода между итерациями. Если поправка $\Delta Q$ меняет знак расхода на участке, направление течения там изменилось - нужно пересчитать все зависящие от него величины, а не просто взять модуль.
• Смешение единиц. Расход в задачах обычно дают в литрах в секунду, а в формулу потерь напора его нужно подставлять в кубометрах в секунду - иначе результат расходится на три порядка.

FAQ

Почему в кольцевой сети нельзя сразу найти расход на каждом участке, как в тупиковой? Потому что баланс расхода в узлах не определяет распределение однозначно - при одном и том же наборе отборов воды приток можно разделить между двумя путями кольца по-разному, и только требование равенства напора в точке схода даёт единственное решение.

Сколько итераций метода Лобачёва-Кросса обычно нужно для сходимости? Для одноконтурной сети с не слишком разными диаметрами и отборами хватает 3-6 итераций вручную; при сильной асимметрии диаметров или отборов может потребоваться больше, но метод сходится монотонно и почти всегда быстро.

Что означает отрицательный расход на участке после увязки? Это означает, что реальное направление течения на этом участке противоположно тому, что было принято в предварительном распределении - точка встречи двух потоков сместилась на соседний узел.

Коротко

Кольцевая водопроводная сеть требует увязки, потому что баланс расхода в узлах не определяет распределение воды по двум путям однозначно - нужно ещё и равенство напора в точке, где потоки встречаются. Метод Лобачёва-Кросса решает это итеративно: предварительно распределённый расход поправляется на величину $\Delta Q = -\sum h_i / (2\sum S_i|Q_i|)$ до тех пор, пока сумма потерь напора по контуру не станет пренебрежимо малой. Диаметр участка входит в сопротивление в пятой степени, поэтому даже небольшая асимметрия диаметров или отборов воды в узлах может сместить точку схода потоков на соседний узел.