Кубическая плотнейшая упаковка: параметр решётки и плотность

Кубическая плотнейшая упаковка - это способ уложить одинаковые атомы в кристалле так, чтобы они занимали максимально возможную долю пространства, оставаясь при этом в узлах кубической решётки. У неё есть более привычное название - гранецентрированная кубическая решётка (ГЦК): атомы стоят в вершинах куба и дополнительно в центре каждой из шести граней. Именно так кристаллизуются медь, алюминий, никель, серебро, золото и ещё десяток технически важных металлов, поэтому задачи на параметр решётки и плотность кристалла - одни из самых частых в курсе кристаллографии и физики твёрдого тела. Ниже разберём, откуда берётся связь радиуса атома и параметра ячейки, почему коэффициент компактности равен $0{,}7405$ и как эта геометрия превращается в формулу плотности вещества. Чтобы сразу увидеть, как радиус атома и молярная масса превращаются в плотность конкретного металла, покрутите калькулятор ниже - он сравнивает расчёт с табличными значениями для шести реальных ГЦК-металлов.

Как устроена гранецентрированная кубическая ячейка

В элементарной ячейке кубической плотнейшей упаковки атомы занимают восемь вершин куба и центры всех шести граней. Чтобы найти, сколько атомов реально принадлежит одной ячейке, нужно учесть, что вершинный атом делится между восемью соседними ячейками, а атом в центре грани - между двумя:

$Z = 8 \cdot \frac{1}{8} + 6 \cdot \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4.$

Значит, на одну ячейку ГЦК приходится ровно четыре атома - вдвое больше, чем в объёмноцентрированной решётке, и вчетверо больше, чем в простой кубической. Плотнейшие слои атомов в такой структуре укладываются друг на друга в последовательности ABCABC: третий слой не повторяет первый, а сдвинут в новую позицию, и только четвёртый слой снова совпадает с первым. Именно порядок чередования слоёв отличает кубическую плотнейшую упаковку от гексагональной плотнейшей упаковки, где слои идут проще - ABAB.

Рассчитать для своей задачи

Каждый атом в ГЦК-решётке касается двенадцати ближайших соседей - это координационное число, максимально возможное для одинаковых шаров. Шесть соседей лежат в том же плотнейшем слое, ещё по три - в соседних слоях сверху и снизу. Такое окружение и обеспечивает предельно плотную упаковку пространства.

Связь параметра решётки с радиусом атома

Чтобы перейти от геометрии к числам, нужно понять, где именно атомы касаются друг друга. В ГЦК-решётке они соприкасаются не вдоль ребра куба, а по диагонали грани: атом в вершине, атом в центре грани и атом в соседней вершине выстраиваются на одной линии. Диагональ грани квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$, а на ней укладывается ровно четыре атомных радиуса:

$4R = a\sqrt{2} \quad \Longrightarrow \quad a = 2\sqrt{2}\,R \approx 2{,}828\,R.$

Рассчитать для своей задачи

Обратная формула тоже полезна: если известен параметр решётки (его находят экспериментально, например рентгеноструктурным анализом), радиус атома выражается как $R = a\sqrt{2}/4$. Важно не путать эту зависимость с простой кубической решёткой, где атомы касаются вдоль ребра ($a = 2R$), и с объёмноцентрированной, где контакт идёт по пространственной диагонали куба ($a = 4R/\sqrt{3}$) - в задачах эта путаница даёт неверный параметр решётки в разы.

Коэффициент компактности гранецентрированной решётки

Коэффициент компактности (его же называют атомным фактором упаковки) показывает, какая доля объёма ячейки реально занята атомами-шарами, а не пустотами между ними. Он равен отношению суммарного объёма атомов к объёму ячейки:

$\varphi = \frac{Z \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{a^3}.$

Подставим $Z = 4$ и $a = 2\sqrt{2}\,R$, то есть $a^3 = 16\sqrt{2}\,R^3$:

$\varphi = \frac{4 \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{16\sqrt{2}\,R^3} = \frac{\frac{16}{3}\pi}{16\sqrt{2}} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0{,}7405.$

Радиус атома в этой формуле сокращается полностью - коэффициент компактности зависит только от геометрии решётки, а не от того, насколько велик сам атом. Это же значение $0{,}7405$ получается и для гексагональной плотнейшей упаковки: обе структуры физически эквивалентны по плотности заполнения, различаясь лишь порядком слоёв. Для сравнения, у объёмноцентрированной решётки $\varphi = \sqrt{3}\pi/8 \approx 0{,}6802$, а у простой кубической - всего $\varphi = \pi/6 \approx 0{,}5236$. Более плотной упаковки одинаковых шаров, чем $0{,}7405$, геометрически не существует - это доказанный факт, известный как гипотеза Кеплера.

Как найти плотность кристалла через параметры решётки

Именно связь радиуса, параметра решётки и числа атомов на ячейку позволяет посчитать плотность вещества напрямую из кристаллической структуры, без весов и мерного цилиндра. Масса содержимого одной ячейки равна произведению числа атомов $Z$ на массу одного атома $M/N_A$, где $M$ - молярная масса, а $N_A$ - число Авогадро. Разделив эту массу на объём ячейки $a^3$, получаем плотность:

$\rho = \frac{Z \cdot M}{N_A \cdot a^3}.$

Формула требует аккуратности с единицами: если радиус задан в пикометрах, параметр решётки тоже получится в пикометрах, а для плотности в граммах на кубический сантиметр объём ячейки нужно перевести в кубические сантиметры ($1$ пм $= 10^{-10}$ см). Именно эту цепочку - от радиуса к параметру решётки, от параметра решётки к объёму ячейки, от объёма к плотности - и считает калькулятор в начале статьи, сравнивая результат сразу с шестью реальными ГЦК-металлами.

Октаэдрические и тетраэдрические пустоты

Даже при рекордном коэффициенте компактности $0{,}7405$ четверть объёма ячейки остаётся пустой. Эти пустоты не хаотичны, а образуют два правильных типа междоузлий: октаэдрические (окружены шестью атомами, крупнее) и тетраэдрические (окружены четырьмя атомами, мельче). На одну ГЦК-ячейку приходится четыре октаэдрические пустоты и восемь тетраэдрических - именно в них при легировании или образовании соединений садятся более мелкие атомы, например углерод в решётке гамма-железа. Подробный разбор геометрии и размеров этих пустот - тема отдельного материала о плотнейшей упаковке шаров.

Чем кубическая плотнейшая упаковка отличается от гексагональной

Раз коэффициент компактности у ГЦК и ГПУ одинаков, а координационное число тоже равно двенадцати, разница между ними - чисто топологическая. У кубической упаковки третий плотнейший слой сдвинут в позицию, отличную от первых двух (последовательность ABCABC), а у гексагональной третий слой в точности повторяет первый (ABAB). Это отличие меняет симметрию кристалла: ГЦК описывается кубической сингонией, а ГПУ - гексагональной, и от этого напрямую зависят механические свойства металла, например способность скользить по определённым плоскостям при пластической деформации. Подробный разбор идеального отношения осей $c/a$ и геометрии гексагональной решётки - в материале про гексагональную плотнейшую упаковку.

Пример решения типовой задачи

Разберём классическую формулировку: металл кристаллизуется в гранецентрированной кубической решётке, атомный радиус $R = 128$ пм, молярная масса $M = 63{,}55$ г/моль (это медь). Нужно найти параметр решётки и плотность металла.

Сначала параметр решётки по формуле диагонали грани:

$a = 2\sqrt{2}\,R = 2{,}828 \cdot 128 \approx 362{,}0\ \text{пм} = 3{,}620 \cdot 10^{-8}\ \text{см}.$

Дальше объём ячейки:

$a^3 \approx (3{,}620 \cdot 10^{-8})^3 \approx 4{,}744 \cdot 10^{-23}\ \text{см}^3.$

И плотность, зная, что на ячейку приходится $Z = 4$ атома:

$\rho = \frac{4 \cdot 63{,}55}{6{,}022 \cdot 10^{23} \cdot 4{,}744 \cdot 10^{-23}} \approx \frac{254{,}2}{28{,}57} \approx 8{,}90\ \text{г/см}^3.$

Табличная плотность меди - $8{,}96$ г/см³, расхождение меньше процента и связано лишь с округлением радиуса атома до целых пикометров. Такая сходимость - хорошая проверка: если ваш расчёт отличается от таблицы на десятки процентов, ищите ошибку в переводе единиц или в подстановке $Z$.

Частые ошибки

• Контакт атомов вдоль ребра куба, а не по диагонали грани. Формула $a = 2R$ верна для простой кубической решётки, но не для ГЦК - там атомы соприкасаются по диагонали грани, и правильная формула $a = 2\sqrt{2}\,R$.
• Неверное число атомов на ячейку. Забывают, что вершинный атом делится на восемь ячеек, а не считается целиком - в результате вместо $Z = 4$ получают $Z = 14$ (по числу видимых позиций).
• Путаница единиц измерения в формуле плотности. Радиус в пикометрах нужно перевести в сантиметры, прежде чем возводить параметр решётки в куб - иначе плотность получится в $10^{30}$ раз больше или меньше нужной.
• Смешение ГЦК и ГПУ по числу атомов. У обеих решёток одинаковый коэффициент компактности $0{,}7405$, но число атомов на условную ячейку разное - четыре у ГЦК и шесть у гексагональной ячейки ГПУ.
• Попытка получить коэффициент компактности больше $\pi/(3\sqrt{2})$. Это теоретический предел для одинаковых шаров - если в ответе получилось больше, где-то ошибка в объёме атомов или ячейки.

FAQ

Чем кубическая плотнейшая упаковка отличается от гранецентрированной кубической решётки? Это два названия одной и той же структуры. «Кубическая плотнейшая упаковка» подчёркивает способ укладки плотнейших слоёв (ABCABC), а «гранецентрированная кубическая решётка» (ГЦК) - геометрическое расположение атомов в кубической ячейке. Обе формулировки эквивалентны.

Сколько атомов приходится на элементарную ячейку кубической плотнейшей упаковки? Четыре: восемь вершинных атомов дают вклад $8 \cdot 1/8 = 1$, шесть атомов в центрах граней - $6 \cdot 1/2 = 3$, в сумме $Z = 4$.

Какие металлы кристаллизуются в кубической плотнейшей упаковке? Медь, алюминий, никель, серебро, золото, платина, свинец и ещё ряд металлов с гранецентрированной кубической решёткой при комнатной температуре - именно поэтому расчёт плотности через параметр решётки так часто встречается в задачах по материаловедению.

Коротко

Кубическая плотнейшая упаковка (она же гранецентрированная кубическая решётка, ГЦК) - структура, где на элементарную ячейку приходится четыре атома, координационное число равно двенадцати, а плотнейшие слои чередуются в последовательности ABCABC. Параметр решётки связан с радиусом атома формулой $a = 2\sqrt{2}\,R$, а коэффициент компактности $\varphi = \pi/(3\sqrt{2}) \approx 0{,}7405$ не зависит от размера атома и является теоретическим пределом для упаковки одинаковых шаров. Зная параметр решётки, число атомов на ячейку и молярную массу, плотность любого такого кристалла находится по простой формуле $\rho = ZM/(N_A a^3)$.