Плотнейшая упаковка шаров: формула плотности заполнения

Плотнейшая упаковка шаров - это способ уложить в пространстве одинаковые шары так, чтобы они занимали максимально возможную долю объёма: коэффициент компактности $\varphi = \pi/(3\sqrt{2}) \approx 0{,}7405$, то есть шары заполняют около 74% пространства, а оставшиеся 26% приходятся на пустоты между ними. Это не просто красивая геометрическая задача - то, что 74,05% и есть абсолютный предел для равных шаров, доказала знаменитая гипотеза Кеплера, а сама модель лежит в основе строения металлов и ионных кристаллов. Ниже разберём, как складывается такая упаковка слой за слоем, откуда берётся координационное число 12 и формула компактности, и как устроены пустоты между шарами, в которые садятся более мелкие частицы. Чтобы сразу почувствовать геометрию пустот, покрутите калькулятор ниже: он показывает, в какую пустоту попадает частица заданного размера.

Как складывается плотнейшая упаковка: слой за слоем

Возьмите один слой одинаковых шаров и уложите их максимально плотно - получится гексагональный узор, в котором каждый шар касается 6 соседей в своей плоскости. Второй слой кладут не поверх первого, а в углубления между шарами первого слоя - из шести углублений вокруг каждого шара для этого годится только половина, и как только выбор сделан, положение второго слоя жёстко зафиксировано.

Рассчитать для своей задачи

Развилка возникает на третьем слое: его можно опустить точно над впадинами первого слоя - тогда чередование слоёв идёт по схеме ABAB, и получается гексагональная плотнейшая упаковка (ГПУ). А можно сдвинуть третий слой в оставшиеся, ещё не занятые впадины - тогда чередование ABCABC даёт гранецентрированную кубическую упаковку (ГЦК, она же кубическая плотнейшая упаковка). Дальше выбор либо повторяется на каждом следующем слое, либо кристалл переключается между схемами - в реальных металлах встречаются обе, а иногда и их беспорядочные смеси. Важно, что коэффициент компактности у ГПУ и ГЦК совпадает: разница только в порядке слоёв, а не в самой плотности заполнения.

Координационное число 12: почему ровно столько соседей

Координационное число - это число ближайших соседей, которых касается один шар. В плотнейшей упаковке оно равно 12, и это число складывается из трёх геометрически разных вкладов: 6 соседей в собственном слое, 3 соседа в слое сверху и ещё 3 соседа в слое снизу.

Рассчитать для своей задачи

Число 12 - это максимум, которого вообще можно достичь для одинаковых шаров: доказано, что тринадцатый шар того же радиуса физически не помещается так, чтобы касаться центрального (это отдельная классическая задача, «проблема тринадцати шаров»). Поэтому плотнейшая упаковка одновременно даёт и максимальную плотность заполнения, и максимальное координационное число - оба факта связаны напрямую: чем плотнее уложены шары, тем больше у каждого касающихся соседей.

Коэффициент компактности: вывод формулы

Возьмём кубическую ячейку плотнейшей упаковки (ГЦК). В ней шары соприкасаются вдоль диагонали грани куба, поэтому диагональ грани равна четырём радиусам:

$$a\sqrt{2} = 4R, \qquad a = 2\sqrt{2}\,R.$$

На такую ячейку приходится 4 целых шара (8 вершин по 1/8 плюс 6 центров граней по 1/2). Объём, занятый шарами, и объём ячейки равны:

$$V_{шаров} = 4\cdot\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{16}{3}\pi R^3, \qquad V_{ячейки} = a^3 = 16\sqrt{2}\,R^3.$$

Коэффициент компактности - это отношение занятого объёма к объёму ячейки:

$$\varphi = \frac{V_{шаров}}{V_{ячейки}} = \frac{16\pi R^3/3}{16\sqrt{2}\,R^3} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0{,}7405.$$

Радиус шаров $R$ в этой формуле полностью сокращается - компактность зависит только от геометрии упаковки, а не от того, насколько крупные шары уложены. Для сравнения: у объёмноцентрированной кубической решётки (ОЦК, координационное число 8) $\varphi = \sqrt{3}\,\pi/8 \approx 0{,}6802$, а у простой кубической (координационное число 6) $\varphi = \pi/6 \approx 0{,}5236$ - обе решётки заметно рыхлее плотнейшей.

Пустоты плотнейшей упаковки: октаэдрические и тетраэдрические

Незанятые 26% объёма распределены не хаотично, а образуют пустоты двух правильных типов - тетраэдрические и октаэдрические. Тетраэдрическая пустота окружена 4 шарами, стоящими по вершинам тетраэдра, октаэдрическая - 6 шарами по вершинам октаэдра. На каждый упаковочный шар приходится ровно 2 тетраэдрические и 1 октаэдрическая пустота - это соотношение $2{:}1$ не зависит от того, ГЦК перед нами или ГПУ.

Рассчитать для своей задачи

Максимальный радиус частицы, которая помещается в пустоту без натяга, определяется отношением радиусов:

$$\frac{r_{тетра}}{R} = \sqrt{\frac{3}{2}} - 1 \approx 0{,}2247, \qquad \frac{r_{окта}}{R} = \sqrt{2} - 1 \approx 0{,}4142.$$

Если гостевая частица крупнее верхней границы октаэдрической пустоты, она уже не помещается ни в одну из пустот плотнейшей упаковки без натяга и начинает раздвигать упаковочные шары - структура перестаёт быть плотнейшей. Именно эти два отношения радиусов и подсчитывает калькулятор выше.

ГЦК и ГПУ: одна плотность, разная симметрия

ГЦК и ГПУ - это два частных случая плотнейшей упаковки, различающихся только порядком слоёв (ABCABC против ABAB), но не плотностью: коэффициент компактности $0{,}7405$ и координационное число 12 у них совпадают. Отличаются они дальней симметрией и, как следствие, некоторыми физическими свойствами реальных металлов - например плоскостями лёгкого скольжения. Если вам нужен подробный разбор именно гексагонального варианта, включая идеальное отношение осей $c/a$, см. гексагональную плотнейшую упаковку отдельно - там же калькулятор сравнивает её с ГЦК, ОЦК и простой кубической решёткой по компактности.

Пример решения задачи

Пусть радиус упаковочного шара $R = 140$ пм, а радиус гостевого иона $r = 40$ пм. Найдём отношение радиусов:

$$\frac{r}{R} = \frac{40}{140} \approx 0{,}286.$$

Сравним с границами: $0{,}2247 \le 0{,}286 < 0{,}4142$, значит, ион попадает в октаэдрическую пустоту и касается 6 упаковочных шаров. Если бы ион был мельче, скажем $r = 25$ пм, отношение $25/140 \approx 0{,}179$ оказалось бы меньше $0{,}2247$ - тогда он поместился бы уже в тетраэдрическую пустоту с координационным числом 4. Ровно такую проверку границ и делает калькулятор при каждом сдвиге ползунка.

Частые ошибки

• Путают коэффициент компактности с координационным числом. Первое - это доля занятого объёма ($0{,}7405$ для плотнейшей упаковки), второе - число касающихся соседей (12). Числа похожи по значимости, но это разные величины с разной размерностью.
• Считают ГЦК и ГПУ разными по плотности. У обеих $\varphi = \pi/(3\sqrt{2})$ - разница только в порядке слоёв, плотность одинаковая.
• Забывают, что радиус сокращается в формуле компактности. $\varphi$ не зависит от абсолютного размера шаров - это чисто геометрическое число.
• Путают границы пустот. Тетраэдрическая пустота - меньшая ($r/R < 0{,}2247$), октаэдрическая - большая ($0{,}2247 \le r/R < 0{,}4142$); перепутать верх и низ диапазона - частая ошибка в задачах.
• Забывают соотношение числа пустот. На один упаковочный шар приходится 2 тетраэдрические и 1 октаэдрическая пустота - не поровну.

FAQ

Чему равен коэффициент компактности плотнейшей упаковки шаров? $\varphi = \pi/(3\sqrt{2}) \approx 0{,}7405$, то есть шары занимают около 74,05% объёма - это доказанный максимум для упаковки одинаковых шаров (гипотеза Кеплера).

Сколько пустот приходится на один атом в плотнейшей упаковке? На каждый упаковочный шар приходится ровно 1 октаэдрическая и 2 тетраэдрические пустоты, независимо от того, ГЦК это или ГПУ.

Чем ГЦК отличается от ГПУ, если плотность у них одинаковая? Только порядком чередования слоёв: у ГЦК это ABCABC, у ГПУ - ABAB. Координационное число 12 и компактность $0{,}7405$ у обеих одинаковы, различается дальняя симметрия решётки.

Коротко

Плотнейшая упаковка шаров - это укладка одинаковых шаров с максимально возможной плотностью $\varphi = \pi/(3\sqrt{2}) \approx 0{,}7405$ и координационным числом 12, которое набирается из 6 соседей в своём слое и по 3 сверху и снизу. Есть ровно два способа чередовать слои - ABAB (ГПУ) и ABCABC (ГЦК) - с одинаковой плотностью, но разной симметрией. Между шарами остаются пустоты двух типов: октаэдрические (радиус до $0{,}4142R$, координационное число 6) и тетраэдрические (радиус до $0{,}2247R$, координационное число 4), в соотношении 1 к 2 на один упаковочный шар - именно от этого отношения зависит, какой тип пустоты займёт гостевая частица заданного размера.