Независимость криволинейного интеграла от пути

Криволинейный интеграл второго рода $\int_L P\,dx + Q\,dy$ в общем случае зависит от того, по какой кривой $L$ идёт интегрирование. Но иногда - в задачах физики и математики - результат оказывается одинаковым для любого пути с теми же концами. Тогда поле называют потенциальным, а интеграл - независимым от пути. Ниже разберём, при каком условии это происходит, как проверить его за секунду и как восстановить потенциал по заданным $P$ и $Q$. Чтобы увидеть, как условие работает в числах, покрутите слайдеры в калькуляторе ниже - он покажет, совпадают ли частные производные для вашего поля.

Критерий независимости от пути

Пусть функции $P(x,y)$ и $Q(x,y)$ непрерывно дифференцируемы в односвязной области $D$. Тогда интеграл $\int_L P\,dx + Q\,dy$ не зависит от пути в $D$ тогда и только тогда, когда в каждой точке области выполнено условие:

$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.$$

Это равенство - признак того, что $P\,dx + Q\,dy$ является полным дифференциалом некоторой функции $u(x,y)$: $du = P\,dx + Q\,dy$. Функцию $u$ называют потенциалом поля с проекциями $(P, Q)$.

Геометрически это означает, что интеграл по любому замкнутому контуру $C \subset D$ равен нулю: $\oint_C P\,dx + Q\,dy = 0$. Это следует из теоремы Грина и является равносильным переформулированием того же условия.

Рассчитать для своей задачи

Как найти потенциал

Если условие $\partial P/\partial y = \partial Q/\partial x$ выполнено, функция $u(x,y)$ восстанавливается в два шага.

Шаг 1. Интегрируем по $x$, считая $y$ параметром:

$$u(x,y) = \int P(x,y)\,dx + \varphi(y).$$

Здесь $\varphi(y)$ - произвольная функция, зависящая только от $y$.

Шаг 2. Находим $\varphi(y)$ из условия $\partial u/\partial y = Q$:

$$\frac{\partial}{\partial y}\!\int P\,dx + \varphi'(y) = Q(x,y),$$

откуда $\varphi'(y)$ должна не содержать $x$ (по условию это обеспечивается), и её достаточно проинтегрировать.

После того как $u$ найдена, значение интеграла между любыми двумя точками $A(x_0, y_0)$ и $B(x_1, y_1)$ вычисляется мгновенно по формуле Ньютона–Лейбница:

$$\int_{A}^{B} P\,dx + Q\,dy = u(x_1, y_1) - u(x_0, y_0).$$

Путь интегрирования в итоге не важен - достаточно знать концы отрезка.

Рассчитать для своей задачи

На изображении выше - поверхность потенциала $u(x,y) = x^2 + y^2$ и линии уровня $u = \text{const}$ (окружности). Силовые линии поля направлены вдоль градиента $\nabla u$ и перпендикулярны изолиниям. Работа по замкнутому пути на такой поверхности всегда равна нулю.

Пример: проверка и вычисление интеграла

Задача. Вычислить $\int_{(0,0)}^{(1,1)} (2xy)\,dx + (x^2 + 1)\,dy$.

Шаг 1. Проверка условия. Здесь $P = 2xy$, $Q = x^2 + 1$. Считаем:

$$\frac{\partial P}{\partial y} = 2x, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x.$$

Производные равны, поэтому интеграл не зависит от пути.

Шаг 2. Потенциал. Интегрируем $P$ по $x$:

$$u = \int 2xy\,dx = x^2 y + \varphi(y).$$

Из условия $\partial u/\partial y = Q$: $x^2 + \varphi'(y) = x^2 + 1$, откуда $\varphi'(y) = 1$ и $\varphi(y) = y + C$.

Шаг 3. Результат. Потенциал $u = x^2 y + y$. Значение интеграла:

$$u(1,1) - u(0,0) = (1 + 1) - 0 = 2.$$

Связь с ротором и физическим смыслом

В трёхмерном случае аналогичное условие формулируется через ротор (вихрь) вектора $\mathbf{F} = (P, Q, R)$: поле потенциально тогда и только тогда, когда $\operatorname{rot} \mathbf{F} = \mathbf{0}$ (в односвязной области). Плоское условие $\partial P/\partial y = \partial Q/\partial x$ - это плоская компонента этого требования.

В механике потенциальное поле сил $\mathbf{F} = (P, Q)$ называют консервативным: работа сил не зависит от пути, существует потенциальная энергия $U = -u$, и полная механическая энергия сохраняется. Поле тяготения, кулоновское электрическое поле и поле упругих сил - примеры консервативных полей.

В термодинамике условие полного дифференциала позволяет различать функции состояния (внутренняя энергия $U$, энтальпия $H$) и процессные величины (теплота $Q$, работа $A$): у первых $dU$ - полный дифференциал, у вторых нет.

Алгоритм решения задач

1. Выписать $P$ и $Q$ из подынтегрального выражения.
2. Вычислить $\partial P/\partial y$ и $\partial Q/\partial x$ и сравнить.
3. Если равны и область односвязна - восстановить потенциал $u$ интегрированием.
4. Подставить координаты концов пути в $u$ и взять разность.
5. Если равенство производных не выполнено - путь убрать нельзя, нужно параметризовать конкретный контур.

Частые ошибки

• Не проверяют односвязность области. Равенство производных в кольцеобразной области не гарантирует независимости от пути - поле может иметь «особую точку» внутри контура.
• Путают переменную интегрирования при восстановлении потенциала. При интегрировании $P$ по $x$ переменная $y$ - параметр, а не константа; результат зависит от $y$.
• Забывают $\varphi(y)$ в потенциале. Без этой функции уравнение $\partial u/\partial y = Q$ обычно не выполняется и потенциал окажется неверным.
• Проверяют условие только в одной точке. Условие $\partial P/\partial y = \partial Q/\partial x$ должно выполняться во всей области, а не в отдельной точке.
• Применяют формулу к разомкнутой кривой без восстановления потенциала. Если потенциал не найден, нельзя подставлять граничные точки - сначала нужен $u$.

FAQ

Как быстро проверить, зависит ли интеграл от пути? Вычислите $\partial P/\partial y$ и $\partial Q/\partial x$. Если они равны во всей (односвязной) области - нет, интеграл не зависит от пути. Если хотя бы в одной точке не равны - зависит.

Что делать, если область не односвязна? Следует проверить, охватывает ли контур интегрирования «особые» точки (где $P$ или $Q$ не определены). Если охватывает - интеграл по замкнутому контуру может быть ненулевым даже при равенстве производных. Чаще всего используют теорему Грина: $\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \!\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA$.

Можно ли всегда выбирать удобный путь интегрирования? Да, если условие выполнено. Стандартный приём - ломаная из двух звеньев: сначала горизонтальный отрезок (фиксируем $y = y_0$, меняем $x$), затем вертикальный (фиксируем $x = x_1$, меняем $y$). Это упрощает вычисления.

Коротко

Криволинейный интеграл $\int_L P\,dx + Q\,dy$ не зависит от пути в односвязной области тогда и только тогда, когда $\partial P/\partial y = \partial Q/\partial x$ во всей области. В этом случае существует потенциал $u$ такой, что $du = P\,dx + Q\,dy$, и интеграл вычисляется как $u(B) - u(A)$ - независимо от выбранной кривой.