Полное сопротивление последовательной RLC-цепи: Q и резонанс

В последовательной RLC-цепи резистор, катушка индуктивности и конденсатор соединены друг за другом, поэтому через все три элемента течёт один и тот же ток, а вот напряжения на них складываются не арифметически, а с учётом сдвига фаз. Полное сопротивление такой цепи, или импеданс, зависит от частоты источника: индуктивное сопротивление катушки растёт с частотой, ёмкостное сопротивление конденсатора падает, и где-то между ними лежит резонансная частота, на которой цепь ведёт себя особенно ярко. Ниже разберём формулу полного сопротивления, посчитаем добротность и полосу пропускания контура и увидим, почему на резонансе напряжение на катушке или конденсаторе может в несколько раз превышать напряжение самого источника. Покрутите калькулятор ниже: он держит частоту и параметры R, L, C, U на ползунках и сразу пересчитывает импеданс, ток и напряжения на всех трёх элементах.

Из чего складывается полное сопротивление

Ток в последовательной цепи общий для резистора, катушки и конденсатора, но их сопротивления переменному току ведут себя по-разному:

• активное сопротивление резистора $R$ не зависит от частоты;
• индуктивное сопротивление катушки $X_L = \omega L = 2\pi f L$ растёт с частотой;
• ёмкостное сопротивление конденсатора $X_C = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{2\pi f C}$ убывает с частотой.

Напряжение на резисторе совпадает по фазе с током, на катушке опережает его на четверть периода, на конденсаторе отстаёт на ту же четверть. Поэтому реактивные сопротивления $X_L$ и $X_C$ вычитаются друг из друга, а не складываются: результирующая реактивность цепи равна $X = X_L - X_C$.

Формула полного сопротивления Z

Полное сопротивление последовательной RLC-цепи находят как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого служат активное сопротивление $R$ и результирующая реактивность $X$:

$Z = \sqrt{R^2 + \left(X_L - X_C\right)^2}.$

Зная Z, ток в цепи находят по закону Ома для полной цепи переменного тока:

$I = \frac{U}{Z},$

где $U$ - действующее (или амплитудное) значение напряжения источника. Сдвиг фаз между током и напряжением источника равен

$\varphi = \operatorname{arctg}\frac{X_L - X_C}{R}.$

Если $X_L > X_C$, цепь ведёт себя индуктивно и ток отстаёт от напряжения; если $X_C > X_L$ - ёмкостно, и ток опережает напряжение. При равенстве $X_L = X_C$ реактивность обнуляется, $Z = R$ становится минимальным, а ток - максимальным. Это и есть резонанс.

Рассчитать для своей задачи

Поскольку ток общий, удобно делить весь треугольник на I и получать напряжения: $U_R = IR$, $U_L = IX_L$, $U_C = IX_C$, а само напряжение источника - гипотенуза $U = \sqrt{U_R^2 + (U_L - U_C)^2}$.

Резонансная частота

Резонанс наступает, когда индуктивное и ёмкостное сопротивления равны: $X_L = X_C$. Подставив выражения для $X_L$ и $X_C$, получаем резонансную частоту:

$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.$

Рассчитать для своей задачи

На резонансной частоте полное сопротивление минимально и равно чисто активному $R$, ток максимален и совпадает по фазе с напряжением источника. Ниже резонанса цепь ведёт себя ёмкостно, выше - индуктивно.

Добротность контура

Добротность $Q$ показывает, насколько «острый» резонанс у контура - во сколько раз реактивное сопротивление катушки на резонансной частоте превышает активное сопротивление цепи:

$Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{\omega_0 R C}.$

Чем меньше активное сопротивление и чем больше отношение $L/C$, тем выше добротность и тем резче цепь реагирует на изменение частоты вблизи резонанса. Высокая добротность - то, ради чего строят избирательные радиочастотные контуры: они пропускают узкую полосу частот и подавляют остальные.

Резонанс напряжений

Самое неожиданное следствие резонанса: хотя напряжение источника $U$ остаётся заданным, напряжения на катушке и конденсаторе на резонансной частоте равны друг другу и превышают $U$ в $Q$ раз:

$U_L = U_C = Q\,U \qquad \text{(на частоте } f = f_0\text{).}$

Это явление называют резонансом напряжений, в отличие от резонанса токов в параллельном контуре. Физически объясняется просто: на резонансе $U_L$ и $U_C$ равны по модулю и противоположны по фазе, поэтому в сумме (в треугольнике напряжений) они взаимно гасятся, и на источник приходится только $U_R = U$. Но каждый из элементов по отдельности переживает полное $Q$-кратное напряжение - при высокой добротности это может быть десятки и сотни вольт даже от источника в несколько вольт, и об этом нужно помнить при выборе рабочего напряжения конденсатора в реальной схеме.

Полоса пропускания

Полосой пропускания называют диапазон частот вокруг резонанса, где ток не опускается ниже $1/\sqrt{2}$ от максимального значения (это соответствует условию $Z = \sqrt{2}\,R$, то есть $|X_L - X_C| = R$). Для последовательного RLC-контура эта ширина находится точно, без приближений:

$\Delta f = \frac{f_0}{Q} = \frac{R}{2\pi L}.$

Рассчитать для своей задачи

Чем выше добротность, тем уже полоса пропускания - контур становится более избирательным, но и более чувствительным к точному совпадению частоты источника с $f_0$. Именно поэтому в расчётах радиотехнических фильтров $Q$ и $\Delta f$ идут парой: одно число нельзя увеличить, не уменьшив другое при фиксированной $f_0$.

Пример решения типовой задачи

Последовательная RLC-цепь: $R = 40$ Ом, $L = 200$ мГн, $C = 2$ мкФ, источник переменного тока частотой $f = 200$ Гц и напряжением $U = 20$ В. Найти полное сопротивление, ток и сдвиг фаз.

Сначала находим реактивные сопротивления:

$X_L = 2\pi f L = 2\pi \cdot 200 \cdot 0{,}2 \approx 251{,}3\ \text{Ом},$

$X_C = \frac{1}{2\pi f C} = \frac{1}{2\pi \cdot 200 \cdot 2\cdot 10^{-6}} \approx 397{,}9\ \text{Ом}.$

Реактивность цепи $X = X_L - X_C \approx 251{,}3 - 397{,}9 = -146{,}6$ Ом - цепь ёмкостная. Полное сопротивление:

$Z = \sqrt{40^2 + (-146{,}6)^2} \approx 151{,}9\ \text{Ом}.$

Ток $I = U/Z = 20/151{,}9 \approx 0{,}132$ А, а сдвиг фаз $\varphi = \operatorname{arctg}(-146{,}6/40) \approx -74{,}7°$ - ток опережает напряжение почти на четверть периода, что типично для сильно ёмкостной цепи вдали от резонанса.

Частые ошибки

• Складывать $X_L$ и $X_C$ напрямую вместо вычитания. Реактивности противоположны по знаку в комплексной форме, поэтому в формулу Z входит именно разность $X_L - X_C$, а не сумма.
• Забыть перевести миллигенри и микрофарады в системные единицы. Формулы $X_L = \omega L$ и $X_C = 1/(\omega C)$ требуют генри и фарад; подстановка мГн и мкФ без перевода даёт ошибку на три-шесть порядков.
• Путать резонанс напряжений с резонансом токов. В последовательной цепи на резонансе минимален импеданс и максимален ток; в параллельном контуре, наоборот, импеданс максимален, а ток через источник минимален.
• Считать, что $U_L$ и $U_C$ не могут превышать напряжение источника. Могут - и превышают ровно в $Q$ раз именно на резонансе, это не ошибка расчёта, а физическая особенность контура.
• Использовать приближённую формулу полосы пропускания там, где нужна точная. Для последовательного RLC-контура $\Delta f = R/(2\pi L)$ верна точно при любой добротности, приближение $f_0/Q$ с высокодобротным допущением тут не нужно - обе формулы совпадают.

FAQ

Как найти полное сопротивление последовательной RLC-цепи, если известны только R, L, C и частота? Сначала считают $X_L = 2\pi f L$ и $X_C = 1/(2\pi f C)$, затем подставляют в $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$. Ток при известном напряжении источника находят как $I = U/Z$.

Почему напряжение на конденсаторе может быть больше напряжения источника? На частотах, близких к резонансу, $U_L$ и $U_C$ почти равны и противофазны, поэтому в сумме дают напряжение источника, а по отдельности каждое из них может превышать его в $Q$ раз - это резонанс напряжений, характерный именно для последовательного контура.

От чего зависит добротность последовательного RLC-контура? От отношения реактивного сопротивления катушки на резонансной частоте к активному сопротивлению цепи: $Q = \omega_0 L / R$. Чем меньше R и больше L относительно C, тем выше добротность и уже полоса пропускания.

Коротко

Полное сопротивление последовательной RLC-цепи равно $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$, минимально на резонансной частоте $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ и там же ток максимален. Добротность $Q = \sqrt{L/C}/R$ задаёт полосу пропускания $\Delta f = f_0/Q = R/(2\pi L)$ и объясняет резонанс напряжений: на резонансе $U_L = U_C = QU$ могут в разы превышать напряжение источника, хотя их сумма в треугольнике напряжений по-прежнему равна U. Для базовой формулы Z и разбора самого понятия импеданса - смотрите также статью про полное сопротивление RLC-цепи и резонанс.