Правило сложения погрешностей измерений: формулы и пример

Когда результат работы получают не прямым измерением, а суммой или разностью нескольких измеренных величин, погрешность итога нельзя просто взять как максимум из слагаемых - нужно правильно её сложить. Правило сложения погрешностей измерений отвечает на вопрос, как именно это сделать, и ответ зависит от природы погрешности: случайные независимые погрешности складываются иначе, чем систематические. Ниже разберём обе формулы, объясним, откуда берётся квадратный корень в одном случае и обычная сумма в другом, и решим типовую задачу с числами. Чтобы сразу увидеть разницу между двумя правилами на конкретных цифрах, покрутите калькулятор ниже - он складывает погрешности трёх отрезков сразу двумя способами и показывает, какой вклад вносит каждый.

Два типа погрешностей и почему их складывают по-разному

Прежде чем говорить о правиле сложения, нужно развести два типа погрешностей измерения:

• Случайные погрешности - вызваны множеством мелких независимых факторов (дрожание руки, флуктуации отсчёта, шум прибора). Они статистически независимы друг от друга: переоценка в одном измерении никак не связана с переоценкой в другом.
• Систематические (предельные) погрешности - заданы классом точности прибора или методикой измерения. Это худший возможный случай: прибор либо всегда немного завышает, либо всегда немного занижает показание в пределах своей паспортной точности.

Эта разница напрямую определяет, как погрешности складываются, когда итоговая величина - это сумма или разность нескольких измеренных: $Z = x_1 \pm x_2 \pm \ldots \pm x_n$.

Формула для случайных независимых погрешностей

Если погрешности $\Delta x_1, \Delta x_2, \ldots, \Delta x_n$ независимы и случайны, их нельзя просто сложить арифметически - это было бы слишком пессимистичной оценкой, ведь маловероятно, что все погрешности одновременно "сработают" в одну сторону. Корректная оценка получается из закона сложения дисперсий независимых случайных величин и даёт квадратичное сложение:

$\Delta Z = \sqrt{\Delta x_1^2 + \Delta x_2^2 + \ldots + \Delta x_n^2}.$

Знак у слагаемых ($x_1 + x_2$ или $x_1 - x_2$) на формулу не влияет - погрешность суммы и погрешность разности при независимых случайных погрешностях считаются одинаково, потому что в дисперсию вклад каждого слагаемого входит через квадрат, а квадрат отрицательного числа положителен. Это часто удивляет студентов: интуитивно кажется, что при вычитании погрешности должны "взаимно уничтожаться", но на деле они складываются так же, как при сложении.

Формула для систематических (предельных) погрешностей

Если погрешности систематические - например, заданы пределом допускаемой погрешности прибора, - нужно закладывать наихудший сценарий: все они одновременно достигают своего предельного значения с одним и тем же знаком. Тогда сложение строго арифметическое:

$\Delta Z = \Delta x_1 + \Delta x_2 + \ldots + \Delta x_n.$

Рассчитать для своей задачи

Линейное сложение всегда даёт результат не меньше квадратичного при одних и тех же слагаемых - это прямое следствие неравенства треугольника для евклидовой нормы. Разница между ними растёт с числом слагаемых: для двух погрешностей она невелика, а для пяти-шести независимых источников квадратичное сложение может дать результат почти вдвое меньше линейного.

Разбор типовой задачи

Условие: три отрезка измерены и составлены встык, их длины и приборные погрешности равны $L_1 = 10{,}0$ см ($\Delta L_1 = 0{,}5$ см), $L_2 = 20{,}0$ см ($\Delta L_2 = 0{,}3$ см), $L_3 = 15{,}0$ см ($\Delta L_3 = 0{,}2$ см). Погрешности случайны и независимы (разные измерения разных участков одним и тем же штангенциркулем). Найти суммарную длину и её погрешность.

Суммарная длина находится прямым сложением измеренных значений:

$L = L_1 + L_2 + L_3 = 10{,}0 + 20{,}0 + 15{,}0 = 45{,}0\ \text{см}.$

Поскольку погрешности случайны и независимы, применяем квадратичное сложение:

$\Delta L = \sqrt{\Delta L_1^2 + \Delta L_2^2 + \Delta L_3^2} = \sqrt{0{,}5^2 + 0{,}3^2 + 0{,}2^2} = \sqrt{0{,}38} \approx 0{,}62\ \text{см}.$

Итоговый результат записывается как $L = (45{,}0 \pm 0{,}6)$ см. Для сравнения, если бы те же погрешности считались систематическими (например, все три отрезка измерены разными приборами известных предельных классов точности), сложение было бы арифметическим:

$\Delta L_{\text{сист}} = 0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1{,}0\ \text{см},$

то есть почти в полтора раза больше, чем при квадратичном сложении тех же чисел.

Рассчитать для своей задачи

Относительная погрешность суммы

Отдельный вопрос - относительная погрешность итога, $E = \Delta L / L \cdot 100\%$. Для нашего примера при случайных погрешностях $E \approx 0{,}62 / 45{,}0 \cdot 100\% \approx 1{,}4\%$, при систематических - $E_{\text{сист}} \approx 1{,}0 / 45{,}0 \cdot 100\% \approx 2{,}2\%$. Обратите внимание: относительная погрешность суммы получается меньше относительных погрешностей каждого отдельного слагаемого (у первого отрезка она $0{,}5/10{,}0 = 5\%$), потому что абсолютные погрешности складываются не пропорционально самим величинам, а по своей отдельной формуле - большая величина с маленькой абсолютной погрешностью "разбавляет" относительную погрешность суммы.

Какой вклад вносит каждое слагаемое

Важное наблюдение из формулы квадратичного сложения: итоговую погрешность определяет НАИБОЛЬШАЯ по модулю абсолютная погрешность, а не относительная и не длина самого отрезка. В разобранном примере отрезок 1 - самый короткий (10 см), но у него самая большая абсолютная погрешность (0,5 см), и именно он вносит основной вклад в дисперсию суммы: доля $\Delta L_1^2 / (\Delta L_1^2+\Delta L_2^2+\Delta L_3^2) = 0{,}25/0{,}38 \approx 66\%$. Отсюда практический вывод: чтобы уменьшить погрешность итогового результата, нужно повышать точность измерения именно той величины, у которой абсолютная погрешность больше остальных, - совершенствовать измерение остальных слагаемых почти бесполезно, пока доминирует один источник.

Это же правило работает и в обратную сторону при планировании эксперимента: если нужно уменьшить итоговую погрешность суммы вдвое, недостаточно вдвое точнее измерить любое из слагаемых - нужно найти именно то, чья абсолютная погрешность даёт наибольший вклад в сумму квадратов, и снижать погрешность прежде всего у него. Замена прибора на более точный там, где вклад уже мал, почти не сдвигает итоговый результат, зато может неоправданно усложнить и удорожить измерение.

Частые ошибки

• Смешивание случайных и систематических погрешностей в одной формуле. Нельзя квадратично сложить одну случайную и одну систематическую погрешность без дополнительного обоснования - их природа разная, и такое смешение требует отдельной оценки (в простых учебных задачах обычно считают все погрешности одного типа).
• Арифметическое сложение случайных погрешностей "на всякий случай". Это завышает результат и создаёт ложное впечатление меньшей точности прибора, чем есть на самом деле.
• Забытый перевод единиц перед сложением - если одна погрешность в миллиметрах, а другая в сантиметрах, складывать их напрямую нельзя.
• Игнорирование знака при разности величин. При случайных независимых погрешностях знак операции ($+$ или $-$) не важен - формула одна и та же, но студенты по инерции пытаются вычесть погрешности вместо сложения квадратов.
• Путаница абсолютной и относительной погрешности при определении вклада слагаемого - доминирует то слагаемое, у которого больше абсолютная погрешность, а не относительная.

FAQ

Как складываются погрешности при вычитании двух величин? Точно так же, как при сложении: если погрешности случайны и независимы, применяется квадратичное сложение $\Delta Z = \sqrt{\Delta x_1^2 + \Delta x_2^2}$ независимо от того, складываются величины или вычитаются.

Почему для случайных погрешностей используется корень из суммы квадратов, а не обычная сумма? Потому что случайные погрешности независимы и статистически маловероятно, чтобы все они одновременно достигли максимума в одну сторону. Квадратичное сложение следует из закона сложения дисперсий независимых случайных величин и даёт более реалистичную (и всегда меньшую или равную) оценку, чем арифметическая сумма.

Что делать, если неизвестно, случайная погрешность или систематическая? В учебных задачах обычно явно указывается тип погрешности или прибор задаёт предельную (систематическую) погрешность через класс точности. Если тип не указан, для простых оценок допустимо взять более осторожную арифметическую сумму - она даёт верхнюю границу.

Коротко

Правило сложения погрешностей измерений различает два случая: случайные независимые погрешности складываются квадратично, $\Delta Z = \sqrt{\Delta x_1^2 + \ldots + \Delta x_n^2}$, а систематические (предельные) - арифметически, $\Delta Z = \Delta x_1 + \ldots + \Delta x_n$. Знак операции над самими величинами (сумма или разность) на выбор формулы не влияет. Итоговую погрешность суммы почти всегда определяет наибольшая по модулю абсолютная погрешность одного из слагаемых, а не относительная точность или величина самого измерения.