Разветвлённая магнитная цепь: расчёт по законам Кирхгофа

Разветвлённая магнитная цепь отличается от простой неразветвлённой тем же, чем разветвлённая электрическая цепь отличается от последовательной: в ней есть узлы, где поток расходится по нескольким параллельным путям, и для расчёта уже недостаточно одного закона Ома - нужны аналоги первого и второго законов Кирхгофа. Типичный пример - Ш-образный магнитопровод: обмотка стоит на среднем стержне, а слева и справа от неё тянутся два боковых стержня, каждый со своим магнитным сопротивлением. Ниже разберём, как записать законы Кирхгофа для такой цепи, как найти эквивалентное сопротивление параллельных ветвей и как поток перераспределяется между ними, если в одной из ветвей появляется воздушный зазор. Чтобы сразу увидеть эту логику в цифрах, покрутите калькулятор ниже: он живьём считает потоки в обеих ветвях по законам Кирхгофа и показывает, как узел делит общий поток.

Устройство разветвлённой магнитной цепи

Возьмём Ш-образный магнитопровод: три стержня, соединённых сверху и снизу ярмами. На среднем стержне намотана обмотка с током $I$ и числом витков $w$ - она создаёт магнитодвижущую силу (МДС) $F = Iw$. Средний стержень в верхней и нижней точках соединяется с двумя узлами, от которых расходятся левый и правый боковые стержни. Поток, созданный обмоткой, выходит из среднего стержня в узел и там разделяется на две части - по одной на каждую боковую ветвь, - а затем снова сходится в другом узле и возвращается по среднему стержню. Это в точности повторяет топологию электрической цепи с одним источником и двумя параллельными резисторами: средний стержень играет роль источника с внутренним сопротивлением, а боковые стержни - роль двух параллельных нагрузок.

Законы Кирхгофа для магнитной цепи

Первый закон Кирхгофа для магнитной цепи - это закон сохранения потока в узле: сумма потоков, втекающих в узел, равна сумме потоков, вытекающих из него. Для нашей Ш-образной цепи это записывается просто:

$\Phi_0 = \Phi_1 + \Phi_2,$

где $\Phi_0$ - поток в среднем стержне (через обмотку), $\Phi_1$ и $\Phi_2$ - потоки в левом и правом боковых стержнях. Второй закон Кирхгофа - это закон полного тока для замкнутого контура: сумма магнитных напряжений вдоль контура равна алгебраической сумме МДС, охваченных этим контуром. Для контура «средний стержень плюс левый боковой» это даёт:

$F = \Phi_0 R_0 + \Phi_1 R_1,$

а для контура «средний стержень плюс правый боковой»:

$F = \Phi_0 R_0 + \Phi_2 R_2,$

где $R_0$, $R_1$, $R_2$ - магнитные сопротивления среднего, левого и правого стержней. Из равенства правых частей этих двух уравнений сразу следует, что $\Phi_1 R_1 = \Phi_2 R_2$ - магнитное напряжение узла одинаково для обеих ветвей, ровно как напряжение между двумя узлами одинаково для параллельных резисторов в электрической цепи.

Эквивалентное сопротивление параллельных ветвей

Магнитное сопротивление каждого стержня считается так же, как и в неразветвлённой цепи:

$R = \frac{l}{\mu_0 \mu_r S},$

где $l$ - длина стержня вдоль средней магнитной линии, $S$ - сечение, $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ Гн/м, $\mu_r$ - относительная проницаемость материала. Если в одном из боковых стержней есть воздушный зазор $\delta$, его сопротивление добавляется последовательно к сопротивлению стали этого же стержня: $R_2 = l_2/(\mu_0\mu_r S) + \delta/(\mu_0 S)$. Поскольку боковые ветви соединяют одну и ту же пару узлов, их сопротивления складываются как параллельные:

$R_{12} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}.$

Рассчитать для своей задачи

Дальше цепь считается точно как последовательная: полное сопротивление цепи равно $R_{м} = R_0 + R_{12}$, а поток в среднем стержне - по закону Ома для магнитной цепи:

$\Phi_0 = \frac{F}{R_0 + R_{12}}.$

Магнитное напряжение узла $U = \Phi_0 R_{12}$ - та самая величина, что была одинаковой для обеих ветвей, - а из неё находятся потоки в боковых стержнях: $\Phi_1 = U/R_1$ и $\Phi_2 = U/R_2$. Это и есть аналог делителя тока: чем меньше сопротивление ветви, тем больше потока через неё проходит при одном и том же напряжении узла.

Как зазор в одной ветви меняет распределение потока

Рассчитать для своей задачи

Если оба боковых стержня одинаковы и без зазора, поток делится между ними строго пополам - это следует из симметрии: $R_1 = R_2$, значит, $\Phi_1 = \Phi_2 = \Phi_0/2$. Как только в одном из стержней появляется зазор, симметрия ломается: сопротивление этой ветви растёт, и узел начинает пропускать в неё меньше потока, а в ветвь без зазора - больше. При этом важно не путать этот эффект с эффектом из неразветвлённой цепи: там рост зазора уменьшает общий поток цепи. Здесь общий поток $\Phi_0$ тоже немного падает (потому что $R_{12}$ растёт), но главный эффект - именно перераспределение между ветвями, а не общее падение потока. Даже при очень большом зазоре правая ветвь не отключается полностью: пока $\delta$ конечно, $R_2$ конечно, и через неё всё равно течёт какой-то поток, просто маленький.

Пример расчёта

Возьмём типовые числа. Обмотка: ток $I = 0{,}6$ А, число витков $w = 500$, МДС $F = Iw = 300$ А·в. Средний стержень из электротехнической стали ($\mu_r = 2000$) длиной $l_0 = 0{,}3$ м, оба боковых стержня той же стали длиной $l_1 = l_2 = 0{,}4$ м, сечение всех трёх стержней одинаковое: $S = 10$ см² $= 0{,}001$ м². В правом боковом стержне - воздушный зазор $\delta = 1$ мм.

Магнитные сопротивления:

$R_0 \approx 1{,}194 \times 10^{5}, \quad R_1 \approx 1{,}592 \times 10^{5}, \quad R_2 \approx 9{,}549 \times 10^{5}\ \text{А·в/Вб}.$

Эквивалентное сопротивление боковых ветвей и полное сопротивление цепи:

$R_{12} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \approx 1{,}364 \times 10^{5}, \qquad R_{м} = R_0 + R_{12} \approx 2{,}558 \times 10^{5}\ \text{А·в/Вб}.$

Поток в среднем стержне и магнитное напряжение узла:

$\Phi_0 = \frac{F}{R_{м}} \approx 1{,}173\ \text{мВб}, \qquad U = \Phi_0 R_{12} \approx 160\ \text{А·в}.$

Отсюда потоки в боковых ветвях:

$\Phi_1 = \frac{U}{R_1} \approx 1{,}005\ \text{мВб}, \qquad \Phi_2 = \frac{U}{R_2} \approx 0{,}168\ \text{мВб}.$

Проверка первым законом Кирхгофа: $\Phi_1 + \Phi_2 \approx 1{,}173$ мВб - совпадает с $\Phi_0$. Ветвь без зазора несёт около 86% общего потока, ветвь с миллиметровым зазором - только 14%, хотя геометрически стержни одинаковы. Индукции в стержнях: $B_0 \approx 1{,}173$ Тл, $B_1 \approx 1{,}005$ Тл, $B_2 \approx 0{,}168$ Тл - все значения далеки от насыщения стали, значит линейное приближение $\mu_r = \text{const}$ здесь оправдано.

Чем разветвлённая цепь отличается от неразветвлённой

В неразветвлённой магнитной цепи постоянного тока поток одинаков на всех участках, и все сопротивления складываются последовательно - там достаточно одного закона Ома для магнитной цепи. В разветвлённой цепи поток различается по ветвям, и без первого закона Кирхгофа (сохранение потока в узле) и второго закона Кирхгофа (магнитное напряжение по контуру) задачу не решить: одного уравнения $\Phi = F/R_м$ уже недостаточно, нужна система уравнений для узлов и контуров, как в разветвлённой электрической цепи постоянного тока. Практически это означает на один шаг больше: сначала найти эквивалентное сопротивление параллельного участка, и только потом применять формулу закона Ома к цепи в целом.

Частые ошибки

• Сложили $R_1$ и $R_2$ вместо параллельного соединения. Боковые ветви соединяют одну и ту же пару узлов, поэтому их сопротивления складываются по формуле $R_{12} = R_1R_2/(R_1+R_2)$, а не просто суммируются - иначе поток в среднем стержне получится заниженным.
• Забыли, что зазор увеличивает сопротивление только той ветви, где он стоит. Магнитное сопротивление зазора добавляется последовательно к сопротивлению стали именно этого стержня, а не всей цепи целиком.
• Считали, что при увеличении зазора в одной ветви общий поток падает пропорционально сильно. На самом деле $\Phi_0$ снижается умеренно (растёт лишь $R_{12}$, а не всё сопротивление цепи), а основной эффект - перераспределение между ветвями.
• Не проверили первый закон Кирхгофа. Сумма $\Phi_1 + \Phi_2$ обязана совпасть с $\Phi_0$; если не совпадает - ошибка в вычислении $R_{12}$ или магнитного напряжения узла.
• Перепутали магнитное напряжение узла с полной МДС. Величина $U = \Phi_0 R_{12}$ - это падение только на параллельном участке; полная МДС $F$ дополнительно включает падение на среднем стержне $\Phi_0 R_0$.

FAQ

Почему поток в ветви с зазором меньше, даже если стержень геометрически такой же, как без зазора? Потому что зазор добавляет сопротивление последовательно именно этой ветви. Магнитное напряжение узла для обеих ветвей одинаково, а поток обратно пропорционален сопротивлению ветви - значит, при большем $R_2$ поток $\Phi_2$ меньше.

Как проверить решение задачи на разветвлённую магнитную цепь? Двумя способами: первым законом Кирхгофа ($\Phi_1 + \Phi_2 = \Phi_0$) и вторым - магнитные напряжения по любому замкнутому контуру должны в сумме равняться охваченной этим контуром МДС ($\Phi_0 R_0 + \Phi_1 R_1 = F$ и $\Phi_0 R_0 + \Phi_2 R_2 = F$ одновременно).

Что если зазоры стоят в обеих боковых ветвях сразу? Тогда просто у обоих $R_1$ и $R_2$ появляется своё слагаемое $\delta/(\mu_0 S)$ с собственной длиной зазора - формула эквивалентного сопротивления $R_{12} = R_1R_2/(R_1+R_2)$ не меняется, меняются лишь сами $R_1$ и $R_2$.

Коротко

Разветвлённая магнитная цепь считается по аналогии с разветвлённой электрической: первый закон Кирхгофа сохраняет поток в узле ($\Phi_0 = \Phi_1 + \Phi_2$), второй - связывает МДС с магнитными напряжениями по контурам. Боковые ветви складываются параллельно ($R_{12} = R_1R_2/(R_1+R_2)$), после чего вся цепь считается как последовательная: $\Phi_0 = F/(R_0 + R_{12})$. Зазор в одной из ветвей не столько снижает общий поток, сколько перераспределяет его в пользу ветви с меньшим сопротивлением - этот эффект и стоит проверять первым законом Кирхгофа на каждом шаге расчёта.