Ротор и дивергенция векторного поля: формулы и смысл

Дивергенция и ротор - два оператора, которые из одного векторного поля вытаскивают совершенно разную информацию: дивергенция отвечает на вопрос, есть ли в точке источник или сток поля, а ротор - есть ли в точке локальное вращение. Оба понятия строятся из одних и тех же частных производных компонент поля, но комбинируют их по-разному, и именно поэтому студенты путают формулы местами. Разберём точные определения в декартовых координатах, разберём наглядный пример с линейным полем, где div и rot можно увидеть глазами, и свяжем оба оператора с интегральными теоремами Остроградского-Гаусса и Стокса. Чтобы почувствовать разницу сразу, покрутите калькулятор ниже: он рисует поле стрелок и мгновенно показывает, как div и rot реагируют на изменение параметров.

Смысл дивергенции и ротора: источники и вихри поля

Представьте поле как скорость течения жидкости в каждой точке пространства. Дивергенция $\operatorname{div}\mathbf{F}$ в точке измеряет, сколько жидкости рождается или исчезает в этой точке в единицу времени на единицу объёма: положительная дивергенция - точка-источник (жидкость «вытекает» из неё во все стороны), отрицательная - точка-сток (жидкость «стекается» и исчезает), нулевая - жидкость просто протекает мимо, не накапливаясь и не убывая.

Ротор $\operatorname{rot}\mathbf{F}$ (его также называют вихрем поля, $\nabla\times\mathbf{F}$) измеряет локальное вращение потока вокруг точки. Если бросить в жидкость маленькое колесо с лопастями, ротор задаёт ось и скорость его вращения: направление вектора $\operatorname{rot}\mathbf{F}$ - это ось (по правилу буравчика), а модуль - удвоенная угловая скорость вращения. Поле без вращения (колесо не крутится, хотя может сноситься потоком) называют безвихревым, или потенциальным.

Важно, что дивергенция - скаляр (число в каждой точке), а ротор - вектор: он несёт не только «сколько», но и «вокруг какой оси».

Формулы в декартовых координатах

Пусть поле задано тремя компонентами $\mathbf{F}(x,y,z) = (P, Q, R)$, каждая из которых - функция координат. Дивергенция - сумма частных производных каждой компоненты по своей же координате:

$\operatorname{div}\mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}.$

Ротор устроен иначе - каждая его компонента комбинирует производные ДРУГИХ компонент по ДРУГИМ координатам:

$\operatorname{rot}\mathbf{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right).$

Удобно запомнить оба оператора через символический вектор набла $\nabla = (\partial/\partial x, \partial/\partial y, \partial/\partial z)$: дивергенция - это скалярное произведение $\nabla\cdot\mathbf{F}$, а ротор - векторное произведение $\nabla\times\mathbf{F}$, которое формально раскрывается как определитель:

$\operatorname{rot}\mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \\ P & Q & R \end{vmatrix}.$

Этот определитель раскрывается по первой строке точно так же, как для обычного векторного произведения, только вместо чисел стоят операторы дифференцирования, применяемые к $P$, $Q$, $R$.

Линейное векторное поле: наглядный пример

Возьмём плоское поле, в котором дивергенция и ротор постоянны во всей плоскости - тогда их легко увидеть на картинке. Пусть

$\mathbf{F}(x,y) = (a x - b y,\; b x + a y,\; 0),$

то есть $P = ax - by$, $Q = bx + ay$, $R = 0$. Считаем дивергенцию:

$\operatorname{div}\mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} = a + a = 2a.$

И ротор - у него отлична от нуля только $z$-компонента:

$\operatorname{rot}_z\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = b - (-b) = 2b.$

При $a = 1$, $b = 1$ (значения по умолчанию в калькуляторе выше) получаем $\operatorname{div}\mathbf{F} = 2$ и $\operatorname{rot}_z\mathbf{F} = 2$ - поле одновременно расходится из начала координат и закручивается против часовой стрелки, поэтому стрелки образуют спираль. Если оставить только $a$ (положить $b = 0$), получится чистый источник: стрелки бьют прямо радиально, вращения нет. Если оставить только $b$ ($a = 0$), стрелки лягут на окружности постоянной длины - чистый вихрь без источников и стоков.

Рассчитать для своей задачи

Локальный смысл через малый контур: поток и циркуляция

Дивергенция и ротор - это не абстракции, а пределы вполне измеримых величин на маленьком контуре вокруг точки. Возьмём небольшой квадрат со стороной $h$ вокруг точки. Поток поля наружу через границу этого квадрата, делённый на площадь $h^2$, при $h \to 0$ стремится к дивергенции в этой точке:

$\operatorname{div}\mathbf{F} = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h^2} \oint_{\partial S} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dl.$

А циркуляция поля вдоль границы того же квадрата (обход против часовой стрелки), делённая на ту же площадь, стремится к $z$-компоненте ротора:

$\operatorname{rot}_z\mathbf{F} = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h^2} \oint_{\partial S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}.$

Для нашего линейного поля эти пределы становятся точными равенствами при ЛЮБОМ $h$, потому что дивергенция и ротор здесь постоянны - выигрыш не приближённый. Возьмём квадрат $[1, 2]\times[1, 2]$ (сторона $h = 1$, площадь $h^2 = 1$): поток через его границу равен ровно $\operatorname{div}\mathbf{F}\cdot 1 = 2a$, а циркуляция по границе - ровно $\operatorname{rot}_z\mathbf{F}\cdot 1 = 2b$. Именно эти два числа калькулятор выше пересчитывает вместе с показаниями div и rot - убедитесь, что они совпадают.

Рассчитать для своей задачи

Теоремы Остроградского-Гаусса и Стокса

Локальные пределы из предыдущего раздела - это в точности то, что превращает дивергенцию и ротор в мосты между поверхностными/контурными интегралами и объёмными/поверхностными. Теорема Остроградского-Гаусса связывает поток через ЗАМКНУТУЮ поверхность с интегралом дивергенции по объёму внутри неё:

$\oiint_{\partial V} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \operatorname{div}\mathbf{F}\,dV.$

Теорема Стокса связывает циркуляцию поля по ЗАМКНУТОМУ контуру с потоком ротора через любую поверхность, натянутую на этот контур:

$\oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{l} = \iint_\Sigma \operatorname{rot}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}.$

Обе теоремы работают одинаково: локальную характеристику (дивергенцию или ротор) интегрируют по «внутренности», и результат равен глобальной характеристике (потоку или циркуляции) на «границе». Разбив большую область на множество маленьких квадратов, легко увидеть, почему это работает: внутренние границы соседних квадратов при суммировании сокращаются (то, что вытекает из одного, втекает в соседний), и остаётся только вклад внешней границы всей области.

Частные случаи и тождества

Несколько результатов, которые часто спрашивают на экзамене:

• Соленоидальное поле: $\operatorname{div}\mathbf{F} = 0$ всюду. У такого поля нет источников и стоков, силовые линии не начинаются и не заканчиваются внутри области (например, поле магнитной индукции $\mathbf{B}$).
• Потенциальное (безвихревое) поле: $\operatorname{rot}\mathbf{F} = \mathbf{0}$ всюду. Такое поле можно представить как градиент некоторой скалярной функции, $\mathbf{F} = \nabla\varphi$ (например, электростатическое поле).
• Тождество $\operatorname{rot}(\nabla\varphi) = \mathbf{0}$: ротор градиента любой скалярной функции всегда равен нулю - поэтому потенциальные поля автоматически безвихревые.
• Тождество $\operatorname{div}(\operatorname{rot}\mathbf{F}) = 0$: дивергенция ротора любого поля всегда равна нулю - у поля $\operatorname{rot}\mathbf{F}$ не бывает источников, оно всегда соленоидально.

Эти два тождества - не совпадение, а следствие равенства смешанных частных производных (теорема Клеро-Шварца): при раскрытии обоих выражений все слагаемые попарно сокращаются.

Частые ошибки

• Перепутать порядок вычитания в роторе. Формула $\operatorname{rot}_z\mathbf{F} = \partial Q/\partial x - \partial P/\partial y$ - именно в таком порядке. Перестановка меняет знак всего вектора, а с ним и направление вращения на противоположное.
• Считать дивергенцию как обычную сумму производных всех компонент по всем координатам. В дивергенции каждая компонента дифференцируется ТОЛЬКО по своей координате ($P$ по $x$, $Q$ по $y$, $R$ по $z$) - смешанные производные вида $\partial P/\partial y$ в дивергенцию не входят.
• Забыть, что ротор - вектор, а не число. Ответ вида «ротор равен 5» неполон без указания направления; в задачах на плоскости обычно достаточно $z$-компоненты, но в общем 3D-случае нужны все три.
• Спутать соленоидальность и потенциальность. Это независимые свойства: поле может быть соленоидальным, но не потенциальным (чистый вихрь), потенциальным, но не соленоидальным (сток с $\operatorname{div}\ne 0$), или ни тем, ни другим.
• Забыть проверить область определения перед применением теорем. Теоремы Остроградского-Гаусса и Стокса требуют, чтобы поле было гладким (непрерывно дифференцируемым) во всей замкнутой области - при особых точках внутри области (например, заряд в центре сферы) нужны дополнительные оговорки.

FAQ

Как быстро понять, где в формуле ротора минус, а где плюс? Циклическая закономерность: компоненты идут по кругу $x \to y \to z \to x$. Компонента ротора по оси $x$ строится из $y$- и $z$-производных ($\partial R/\partial y - \partial Q/\partial z$), по оси $y$ - из $z$- и $x$-производных, по оси $z$ - из $x$- и $y$-производных, и каждый раз первым идёт слагаемое со «следующей» осью по циклу.

Может ли дивергенция быть отрицательной? Да, отрицательная дивергенция означает сток: в этой точке поле «исчезает» больше, чем «появляется». Физический пример - точка поглощения жидкости или отрицательный электрический заряд для поля напряжённости.

Зависит ли ротор от выбора системы координат? Направление и модуль вектора ротора - объективная характеристика поля, не зависящая от выбора осей. Меняются лишь его КОМПОНЕНТЫ при повороте системы координат, как и у любого обычного вектора, но сам вектор (стрелка) остаётся тем же.

Коротко

Дивергенция $\operatorname{div}\mathbf{F} = \partial P/\partial x + \partial Q/\partial y + \partial R/\partial z$ измеряет источники и стоки поля в точке, а ротор $\operatorname{rot}\mathbf{F} = \nabla\times\mathbf{F}$ измеряет локальное вращение вокруг точки. Оба оператора получают точный смысл через предел на малом контуре: поток на площадь даёт дивергенцию, циркуляция на площадь даёт ротор, - и это же связывает их с теоремами Остроградского-Гаусса и Стокса, переводящими локальные характеристики в глобальные потоки и циркуляции. Поле без источников называют соленоидальным ($\operatorname{div} = 0$), поле без вращения - потенциальным ($\operatorname{rot} = 0$), и это два независимых, но часто встречающихся вместе свойства.