Скорость звука в газе: вывод формулы v = √(γRT/M)

Звук в газе - это бегущая волна сжатий и разрежений, и скорость её распространения зависит не от громкости или частоты колебаний, а только от свойств самого газа: его температуры, молярной массы и того, сколько степеней свободы есть у молекулы. Ниже разберём, как получить формулу скорости звука в идеальном газе, почему в лёгком гелии звук летит почти втрое быстрее, чем в воздухе, и как быстро прикинуть ответ для конкретной задачи. Чтобы сразу увидеть, как температура и род газа управляют скоростью, покрути калькулятор ниже - он пересчитывает всё мгновенно и строит два связанных графика.

Как выводится формула скорости звука в газе

Звуковая волна в газе распространяется настолько быстро, что соседние слои не успевают обмениваться теплом друг с другом: сжатие в одном месте почти мгновенно нагревает газ, а расширение в соседнем - почти мгновенно охлаждает, и тепло между ними просто не успевает перетечь. Поэтому распространение звука - процесс адиабатический, а не изотермический, как когда-то предполагал Ньютон. Именно поправку на адиабатичность внёс Лаплас, и общая формула для скорости звука в любой сплошной среде имеет вид

$v = \sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}},$

где $p$ - давление газа, $\rho$ - его плотность, а $\gamma = C_p / C_v$ - показатель адиабаты, отношение теплоёмкости при постоянном давлении к теплоёмкости при постоянном объёме. Чтобы избавиться от давления и плотности и перейти к более удобным для задач величинам, подставляют уравнение состояния идеального газа $p = \rho R T / M$, где $R = 8{,}314$ Дж/(моль·К) - универсальная газовая постоянная, $T$ - абсолютная температура в кельвинах, $M$ - молярная масса газа в кг/моль. После подстановки плотность сокращается, и получается главная формула скорости звука в идеальном газе:

$v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}.$

Рассчитать для своей задачи

Формула показывает: скорость звука растёт с температурой (как корень из $T$) и падает с ростом молярной массы газа (тоже как корень, но в знаменателе). При этом она не зависит ни от давления, ни от плотности по отдельности - оба параметра идеального газа входят в формулу только через отношение $p/\rho$, которое уравнение состояния сводит к температуре и молярной массе.

От чего зависит скорость звука в газе

Показатель адиабаты $\gamma$ определяется числом степеней свободы молекулы газа, по которым распределяется энергия теплового движения:

• Одноатомные газы (гелий, аргон, неон) - только поступательное движение, три степени свободы, $\gamma = 5/3 \approx 1{,}67$.
• Двухатомные газы (воздух как смесь азота и кислорода, водород) - добавляются две вращательные степени свободы, $\gamma = 7/5 = 1{,}4$.
• Многоатомные газы (углекислый газ, метан) - добавляются ещё колебательные степени свободы, $\gamma$ снижается примерно до $1{,}3$.

Чем больше степеней свободы, тем меньше $\gamma$ и тем ниже, при прочих равных, скорость звука. Но гораздо сильнее на итоговое число влияет молярная масса - она стоит под корнем в знаменателе, и разброс между лёгкими и тяжёлыми газами измеряется не процентами, а разами.

Рассчитать для своей задачи

На графике видно, что зависимость $v(t)$ не линейна - это корень из линейно растущей абсолютной температуры, поэтому кривая слегка выполаживается при высоких температурах. Именно эту нелинейность и приближают формулой ниже.

Приближённая формула для скорости звука в воздухе

Для воздуха при температурах, близких к комнатной, точную формулу часто заменяют линейным приближением - раскладывают корень $\sqrt{1 + t/273{,}15}$ в ряд около $t = 0$ и оставляют первый член:

$v \approx 331 + 0{,}6\,t,$

где $t$ - температура в градусах Цельсия, а скорость получается в м/с. При $t = 0\ °C$ формула даёт $v_0 \approx 331{,}3$ м/с - это табличное значение скорости звука в сухом воздухе при нормальном давлении. Приближение хорошо работает в диапазоне примерно от $-20$ до $40\ °C$: при $t = 27\ °C$ точная формула даёт $347{,}3$ м/с, а линейная - $347{,}6$ м/с, расхождение меньше десятой доли процента. При очень высоких или очень низких температурах приближение накапливает ошибку, и надёжнее считать по полной формуле $v = \sqrt{\gamma R T / M}$.

Скорость звука в разных газах: сравнение

Если зафиксировать температуру и менять только газ, разброс скоростей получается заметным. При $t = 20\ °C$ ($T = 293{,}15$ К):

Рассчитать для своей задачи

Именно поэтому знаменитый эффект «после вдоха гелия голос становится писклявым» связан не с изменением частоты колебаний голосовых связок (она почти не меняется), а с тем, что резонансные частоты голосового тракта смещаются вверх пропорционально возросшей скорости звука в лёгком газе.

Пример расчёта скорости звука

Найдём скорость звука в гелии при температуре $t = 27\ °C$, если показатель адиабаты гелия $\gamma = 1{,}66$, а молярная масса $M = 0{,}004$ кг/моль.

Сначала переводим температуру в кельвины:

$T = 27 + 273{,}15 = 300{,}15\ \text{К} \approx 300\ \text{К}.$

Теперь подставляем все величины в главную формулу:

$v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}} = \sqrt{\frac{1{,}66 \cdot 8{,}314 \cdot 300}{0{,}004}} \approx 1017\ \text{м/с}.$

Для сравнения, скорость звука в воздухе при той же температуре - около 347 м/с, то есть звук в гелии распространяется почти в три раза быстрее. Это отношение легко проверить и без калькулятора: скорости относятся как корень из отношения $\gamma M_{возд} / (\gamma_{возд} M)$ - подставив числа, получите то же кратное различие.

Частые ошибки

• Подстановка температуры в градусах Цельсия вместо кельвинов. Формула $v = \sqrt{\gamma R T / M}$ работает только с абсолютной температурой; забытый перевод $T = t + 273{,}15$ даёт неверный, а иногда и отрицательный результат под корнем.
• Путаница молярной массы с массой молекулы или массой моля в граммах. $M$ в формуле - это молярная масса именно в кг/моль (для воздуха $\approx 0{,}029$, а не $29$).
• Использование изотермической формулы Ньютона вместо адиабатической Лапласа. Без множителя $\gamma$ расчёт занижает скорость звука в воздухе почти на 20 %.
• Приближение $v \approx 331 + 0{,}6\,t$ применяется к другим газам. Эта линейная формула выведена именно для воздуха; для гелия или CO₂ коэффициенты будут другими.
• Игнорирование того, что скорость не зависит от давления напрямую. При увеличении давления при постоянной температуре плотность растёт пропорционально, и в итоге скорость звука не меняется - путать это с независимостью от температуры нельзя.

FAQ

Почему скорость звука в газе не зависит от давления? Потому что в формуле $v = \sqrt{\gamma p / \rho}$ давление и плотность идеального газа связаны уравнением состояния $p = \rho R T/M$ и при подстановке сокращаются, оставляя зависимость только от температуры и молярной массы газа.

Как быстро прикинуть скорость звука в воздухе без калькулятора? Использовать линейное приближение $v \approx 331 + 0{,}6\,t$ м/с, где $t$ - температура воздуха в градусах Цельсия. Оно точно в диапазоне обычных бытовых температур.

Почему в гелии скорость звука выше, чем в воздухе? Из-за меньшей молярной массы гелия ($0{,}004$ кг/моль против $0{,}029$ кг/моль у воздуха) - молярная масса стоит под корнем в знаменателе, поэтому лёгкий газ даёт заметно бо́льшую скорость даже при чуть более высоком показателе адиабаты.

Коротко

Скорость звука в идеальном газе задаётся формулой $v = \sqrt{\gamma R T / M}$: она растёт с температурой как корень из $T$ и падает с молярной массой газа как корень из $M$ в знаменателе, но не зависит от давления напрямую. Показатель адиабаты $\gamma$ определяется числом степеней свободы молекулы - от $5/3$ у одноатомных газов до $1{,}3$ у многоатомных. Для воздуха при обычных температурах удобно линейное приближение $v \approx 331 + 0{,}6\,t$, а для точного расчёта в любом газе - только полная формула с переводом температуры в кельвины.