Соотношение Крамерса-Кронига: формула и вывод

Соотношение Крамерса-Кронига - это пара интегральных формул, которые жёстко связывают действительную и мнимую части любой линейной характеристики среды: диэлектрической проницаемости, показателя преломления, магнитной восприимчивости. Связь возникает не из конкретной модели вещества, а из одного общего требования - причинности: отклик среды не может появиться раньше, чем пришло поле, которое его вызвало. Из этого требования математически следует, что дисперсия (действительная часть, отвечающая за преломление) и поглощение (мнимая часть) - это не два независимых свойства материала, а одна и та же информация, записанная дважды. Ниже разберём, откуда берётся эта связь, как она выглядит в виде формулы и как её проверить на конкретном примере - калькулятор ниже считает обе части для модели осциллятора Лоренца и тут же восстанавливает одну из другой.

Причинность и почему возникает соотношение Крамерса-Кронига

Пусть на среду действует внешнее поле $E(t)$, а отклик среды (поляризация, ток) описывается линейной восприимчивостью $\chi(\omega)$ в частотной области. Условие причинности означает, что отклик в момент времени $t$ зависит только от значений поля в прошлом, $t' \le t$, и не зависит от будущего. Это простое требование по теореме Титчмарша эквивалентно тому, что функция $\chi(\omega)$, продолженная в комплексную плоскость частоты, аналитична всюду в верхней полуполуплоскости $\mathrm{Im}\,\omega > 0$ и не имеет там полюсов.

Из аналитичности функции в верхней полуплоскости следует интегральная теорема Коши: значение функции в любой точке действительной оси выражается через контурный интеграл по границе области аналитичности. Если стянуть контур к действительной оси и обойти особую точку $\omega$ малым полукругом, действительная и мнимая части $\chi(\omega)$ оказываются связаны интегральным преобразованием Гильберта друг через друга. Именно эту связь и называют соотношением Крамерса-Кронига - по именам Ральфа Кронига и Хендрика Крамерса, независимо получивших её в 1926-1927 годах для показателя преломления рентгеновских лучей.

Формула соотношений Крамерса-Кронига

Для причинной функции $\chi(\omega) = \chi'(\omega) + i\chi''(\omega)$, стремящейся к $\chi(\infty)$ на бесконечности, соотношения Крамерса-Кронига в форме, удобной для реальных (положительных) частот, записываются так:

$$\chi'(\omega) - \chi'(\infty) = \frac{2}{\pi}\,\mathrm{P}\!\!\int_0^{\infty} \frac{\Omega\,\chi''(\Omega)}{\Omega^2-\omega^2}\,d\Omega,$$ $$\chi''(\omega) = -\frac{2\omega}{\pi}\,\mathrm{P}\!\!\int_0^{\infty} \frac{\chi'(\Omega)-\chi'(\infty)}{\Omega^2-\omega^2}\,d\Omega.$$

Символ $\mathrm{P}$ означает главное значение интеграла по Коши - особая точка $\Omega = \omega$, где знаменатель обращается в нуль, обходится симметрично и не даёт расходимости. Смысл формул прост: чтобы знать дисперсию $\chi'$ на какой-то частоте, достаточно знать поглощение $\chi''$на всех частотах, и наоборот. Одна измеренная величина восстанавливает другую без дополнительных предположений о механизме отклика.

Модель осциллятора Лоренца: явный пример

Чтобы увидеть соотношение Крамерса-Кронига не только как абстрактный интеграл, удобно взять простейшую причинную модель - затухающий осциллятор Лоренца. Диэлектрическая проницаемость такой модели:

$$\varepsilon(\omega) = 1 + \frac{\omega_p^2}{\omega_0^2-\omega^2-i\gamma\omega},$$

где $\omega_0$ - резонансная частота, $\gamma$ - параметр затухания, $\omega_p$ - плазменная частота (сила осциллятора). Введём нормированную частоту $u=\omega/\omega_0$, относительное затухание $\tilde\gamma=\gamma/\omega_0$ и силу $\varepsilon_p=(\omega_p/\omega_0)^2$. Тогда действительная и мнимая части раскладываются в явном виде:

$$\varepsilon'(u) = 1 + \varepsilon_p\,\frac{1-u^2}{(1-u^2)^2+\tilde\gamma^2u^2},$$ $$\varepsilon''(u) = \varepsilon_p\,\frac{\tilde\gamma\,u}{(1-u^2)^2+\tilde\gamma^2u^2}.$$

Рассчитать для своей задачи

Эта пара функций точно удовлетворяет соотношению Крамерса-Кронига - можно подставить $\varepsilon''(u)$ в интеграл выше и аналитически получить ровно $\varepsilon'(u)$. При параметрах по умолчанию $\tilde\gamma=0{,}3$ и $\varepsilon_p=1$ на резонансе $u=1$ дисперсия ровно возвращается к фону, $\varepsilon'(1)=1$, а поглощение достигает максимума $\varepsilon''(1)\approx 3{,}33$. На нулевой частоте $\varepsilon'(0)=1+\varepsilon_p=2$ - это статическая диэлектрическая проницаемость, тоже целиком определяемая интегралом по всему спектру поглощения.

Аномальная дисперсия и ширина полосы

Вдали от резонанса $\varepsilon'(u)$ растёт с частотой - это нормальная дисперсия, она наблюдается почти во всех прозрачных средах. Но в узкой полосе вокруг резонанса, там же, где сосредоточено поглощение, $\varepsilon'(u)$, наоборот, падает с ростом частоты - это и называется аномальной дисперсией. Совпадение области аномальной дисперсии с полосой поглощения - не случайность, а прямое следствие соотношения Крамерса-Кронига: там, где $\chi''$ велика и быстро меняется, $\chi'$ обязана «отреагировать» соответствующим провалом.

Рассчитать для своей задачи

Для осциллятора Лоренца это можно увидеть количественно: локальный максимум $\varepsilon'(u)$ лежит примерно на $u\approx\sqrt{1-\tilde\gamma}$, локальный минимум - на $u\approx\sqrt{1+\tilde\gamma}$. При $\tilde\gamma=0{,}3$ это даёт границы примерно $u\approx0{,}84$ и $u\approx1{,}14$, то есть ширина зоны аномальной дисперсии $\Delta u\approx0{,}3$ - почти точно равна самому параметру затухания $\tilde\gamma$. Ровно такая же ширина получается у полосы поглощения на полувысоте пика $\varepsilon''(u)$. Это не совпадение чисел, а одно из проявлений соотношения Крамерса-Кронига: ширина и высота одной части однозначно диктуют форму другой.

Численное восстановление: проверка соотношения

Практический смысл соотношения Крамерса-Кронига в том, что оно превращает измерение одной величины в знание другой. На практике интеграл с особой точкой неудобно считать напрямую, поэтому используют «вычтенную» форму, где особенность устраняется алгебраически. Поскольку $\mathrm{P}\!\int_0^\infty d v/(v^2-u_0^2)=0$ для любого $u_0>0$, из исходной формулы можно вычесть этот нулевой интеграл, домноженный на значение подынтегрального выражения в точке $u_0$:

$$\varepsilon'(u_0) - 1 = \frac{2}{\pi}\int_0^{\infty} \frac{v\,\varepsilon''(v) - u_0\,\varepsilon''(u_0)}{v^2-u_0^2}\,dv.$$

Новый числитель обращается в нуль ровно там же, где и знаменатель, поэтому подынтегральное выражение остаётся конечным во всех точках - интеграл считается обычным численным суммированием, без специальных приёмов для особенности. Именно так в калькуляторе ниже из одной только кривой $\varepsilon''(u)$ восстанавливается $\varepsilon'(u_0)$ в выбранной точке зонда, и результат сравнивается с точным аналитическим значением.

Рассчитать для своей задачи

Где это применяется

Соотношение Крамерса-Кронига - рабочий инструмент, а не только теоретическая красота. В эллипсометрии и спектроскопии часто измеряют только один параметр - коэффициент поглощения или отражения в широком диапазоне частот, - а показатель преломления получают из него расчётом по этой же связи, не проводя отдельного независимого измерения. В анализе диэлектриков и полупроводников соотношение используют, чтобы проверить согласованность экспериментальных данных: если восстановленная дисперсия не совпадает с измеренной, значит, в данных есть систематическая ошибка или пропущен вклад на частотах вне диапазона измерения. Та же математика лежит в основе дисперсионных соотношений в других разделах физики - от акустики до квантовой теории рассеяния, - везде, где причинность связывает действительную и мнимую части отклика.

Частые ошибки

• Забыть про фон $\chi'(\infty)$. Формула восстанавливает разность $\chi'(\omega)-\chi'(\infty)$, а не саму $\chi'(\omega)$ - если фон не равен нулю (как единица в модели диэлектрика), его нужно прибавить отдельно.
• Интегрировать только по конечному диапазону измерения без поправки на "хвосты". Реальные данные обрываются на границах эксперимента, и вклад отброшенных частот занижает восстановленную дисперсию - это главный источник ошибки в практических КК-преобразованиях.
• Путать причинность во времени с чётностью по частоте. Условие $\chi''(-\omega)=-\chi''(\omega)$ и $\chi'(-\omega)=\chi'(\omega)$ - следствие вещественности отклика во времени, а не отдельное требование; забыть про него - потерять множитель 2 в интеграле.
• Игнорировать особую точку интеграла. Прямое численное интегрирование через точку $\Omega=\omega$ без вычтенной формы или без явного обхода даёт расходящийся или сильно зашумлённый результат.
• Считать, что соотношение работает только для оптики. Это общая математическая теорема для любой причинной линейной системы - она в равной мере применима к электрическим цепям, механическим откликам и квантовому рассеянию.

FAQ

Как формулируется соотношение Крамерса-Кронига простыми словами? Оно говорит: если известно, как среда поглощает энергию на всех частотах, то по одному этому знанию однозначно восстанавливается, как она преломляет свет на любой отдельной частоте, и наоборот. Это следствие причинности - отклик не может опережать вызвавшее его поле.

Почему в интеграле стоит главное значение (P), а не обычный интеграл? Подынтегральное выражение обращается в бесконечность в точке $\Omega=\omega$, где знаменатель равен нулю. Главное значение - это симметричный предел, при котором расходящиеся вклады с двух сторон особой точки взаимно сокращаются, а результат остаётся конечным.

Чем соотношение Крамерса-Кронига отличается от простой линейности отклика? Линейность - более слабое условие, оно допускает и нефизичный отклик, зависящий от будущего поля. Соотношение Крамерса-Кронига - это дополнительное следствие именно причинности внутри линейного отклика, и оно выполняется не для любой пары функций $\chi'$, $\chi''$, а только для тех, что получаются из одной аналитической в верхней полуплоскости функции.

Коротко

Соотношение Крамерса-Кронига связывает действительную и мнимую части линейного отклика среды через интегральное преобразование Гильберта - это прямое математическое следствие причинности. На модели осциллятора Лоренца связь видна явно: полоса поглощения $\varepsilon''(\omega)$ и зона аномальной дисперсии $\varepsilon'(\omega)$ имеют одинаковую ширину и появляются в одном и том же месте спектра. Практически это позволяет восстанавливать показатель преломления по измеренному поглощению без отдельного эксперимента - ровно это и делает калькулятор выше, численно интегрируя вычтенную форму соотношения.