Уравнение в полных дифференциалах: как решить

Уравнение в полных дифференциалах - один из немногих типов дифференциальных уравнений первого порядка, который решается не подбором интегрирующего множителя или заменой переменных, а прямым восстановлением функции по её дифференциалу. Уравнение записывают в виде $M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0$, и если левая часть действительно является полным дифференциалом некоторой функции $F(x,y)$, то всё решение сводится к простому равенству $F(x,y) = C$. Ниже разберём, как распознать такое уравнение по условию точности, как восстановить функцию $F$ пошагово и как найти частное решение по начальному условию. Чтобы сразу увидеть, что стоит за формулами, покрути калькулятор ниже: он проверяет точность, считает константу $C$ по заданной точке и рисует саму кривую решения.

Что такое уравнение в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение первого порядка $M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0$ называют уравнением в полных дифференциалах, если существует функция $F(x,y)$, для которой

$dF = \frac{\partial F}{\partial x}\,dx + \frac{\partial F}{\partial y}\,dy = M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy.$

Иными словами, вся левая часть уравнения - это дифференциал одной функции $F$, а само уравнение превращается в $dF = 0$. Раз дифференциал функции равен нулю вдоль решения, сама функция вдоль него постоянна, и общее решение записывается без интегрирования исходного уравнения в привычном смысле - достаточно найти $F$ и приравнять её к произвольной постоянной: $F(x,y) = C$. Задача сводится к тому, чтобы, во-первых, убедиться, что такая функция $F$ вообще существует, а во-вторых, восстановить её по известным $M$ и $N$.

Условие точности: как проверить уравнение

Не любое уравнение вида $M\,dx + N\,dy = 0$ является точным. Проверка опирается на равенство смешанных частных производных: если $F$ существует и достаточно гладкая, то $\dfrac{\partial^2 F}{\partial y\,\partial x} = \dfrac{\partial^2 F}{\partial x\,\partial y}$, а значит

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.$

Это и есть условие точности - единственное, что нужно проверить перед тем, как искать $F$. Если равенство не выполняется, уравнение не точное в исходном виде: тогда либо подбирают интегрирующий множитель, который делает его точным, либо решают другим методом. Если равенство выполняется на всей области определения (без разрывов и без исключённых точек), функция $F$ гарантированно существует.

Рассчитать для своей задачи

Калькулятор выше держит это условие выполненным при любом значении ползунка $p$ - коэффициент входит в $M$ и $N$ симметрично, поэтому $\partial M/\partial y = \partial N/\partial x = p$ независимо от того, какое значение выбрано. Это удобно, чтобы почувствовать: точность - это свойство самой пары функций $M$, $N$, а не какого-то одного значения параметра.

Алгоритм нахождения функции F(x,y)

Как только условие точности подтверждено, функцию $F$ восстанавливают по шагам:

1. Интегрируем $M$ по $x$, считая $y$ постоянной: $F(x,y) = \displaystyle\int M(x,y)\,dx + \varphi(y)$, где $\varphi(y)$ - неизвестная пока функция только от $y$ (она играет роль постоянной интегрирования, которая могла зависеть от второй переменной).
2. Дифференцируем полученное выражение по $y$ и приравниваем к $N$: $\dfrac{\partial F}{\partial y} = N(x,y)$.
3. Из этого равенства выражаем $\varphi'(y)$ - все слагаемые с $x$ должны сократиться, иначе где-то ошибка в вычислениях или условие точности на самом деле не выполнено.
4. Интегрируем $\varphi'(y)$ по $y$ и получаем саму $\varphi(y)$ (постоянную интегрирования на этом шаге можно опустить - она войдёт в общую константу $C$).
5. Записываем общее решение $F(x,y) = C$.

Рассчитать для своей задачи

Видео показывает, почему это работает: пока точка идёт вдоль кривой $F(x,y) = C$, значение $F$ не меняется - а значит и её дифференциал в каждый момент равен нулю. Это тот же факт, что и исходное уравнение $M\,dx + N\,dy = 0$, только увиденный геометрически: решения точного уравнения - это линии уровня функции $F$.

Общее и частное решение

Равенство $F(x,y) = C$ с произвольной постоянной $C$ - это общее решение: оно описывает целое семейство кривых, по одной на каждое значение $C$. Чтобы получить частное решение, соответствующее конкретной задаче (например, условию $y(x_0) = y_0$), нужно подставить начальную точку в найденную функцию $F$ и вычислить, чему равна константа именно для неё:

$C = F(x_0, y_0).$

После этого частное решение - уже не семейство, а одна конкретная кривая $F(x,y) = F(x_0,y_0)$, проходящая ровно через заданную точку.

Рассчитать для своей задачи

В калькуляторе выше именно так и устроено: два ползунка задают начальную точку $(x_0, y_0)$, калькулятор подставляет её в $F(x,y) = x^2 + pxy + y^2$ и получает константу $C$, а затем рисует золотую кривую этого частного решения на фоне пунктирных соседей - других значений $C$ того же семейства.

Пример решения типовой задачи

Разберём уравнение $(2x + y)\,dx + (x + 2y)\,dy = 0$ с условием $y(1) = 2$ - это ровно те значения, что стоят в калькуляторе по умолчанию.

Сначала проверяем точность: $M = 2x + y$, значит $\partial M/\partial y = 1$; $N = x + 2y$, значит $\partial N/\partial x = 1$. Равенство выполнено, уравнение точное.

Интегрируем $M$ по $x$:

$F(x,y) = \int (2x + y)\,dx + \varphi(y) = x^2 + xy + \varphi(y).$

Дифференцируем по $y$ и сравниваем с $N$:

$\frac{\partial F}{\partial y} = x + \varphi'(y) = x + 2y \quad\Rightarrow\quad \varphi'(y) = 2y \quad\Rightarrow\quad \varphi(y) = y^2.$

Значит, $F(x,y) = x^2 + xy + y^2$, а общее решение - $x^2 + xy + y^2 = C$. Подставляем начальную точку $x_0 = 1$, $y_0 = 2$:

$C = 1^2 + 1\cdot 2 + 2^2 = 1 + 2 + 4 = 7.$

Частное решение: $x^2 + xy + y^2 = 7$. Это и есть та самая золотая кривая на графике калькулятора при значениях по умолчанию - можно подвинуть ползунки $x_0$ и $y_0$ и убедиться, что кривая и константа $C$ пересчитываются согласованно.

Частые ошибки

• Забыли, что $\varphi$ зависит только от $y$. После интегрирования $M$ по $x$ добавляемая функция не должна содержать $x$ - если при дифференцировании по $y$ слагаемые с $x$ не сократились с $N$, значит либо в интегрировании ошибка, либо условие точности на самом деле не выполнялось.
• Проверили точность не полностью. Условие $\partial M/\partial y = \partial N/\partial x$ нужно проверять как тождество, а не в одной точке - совпадение значений в конкретной точке ничего не доказывает.
• Перепутали, откуда берётся $\varphi(y)$. Она получается интегрированием $\varphi'(y)$ по $y$, а не подстановкой значения - частая путаница у тех, кто решает уравнение впервые.
• Забыли постоянную интегрирования на последнем шаге и потеряли общее решение. Итоговая запись - обязательно $F(x,y) = C$ с произвольной постоянной, а не просто выражение для $F$.
• Подставили начальное условие не в $F$, а в исходное уравнение. Константа $C$ ищется именно из равенства $C = F(x_0, y_0)$, после того как функция $F$ уже найдена.

FAQ

Как быстро проверить, что уравнение точное, не решая его до конца? Достаточно продифференцировать $M$ по $y$ и $N$ по $x$ и сравнить результаты. Если они совпадают как функции (тождественно, а не в отдельной точке), уравнение точное и можно переходить к поиску $F$.

Можно ли начинать интегрирование не с $M$ по $x$, а с $N$ по $y$? Да, оба пути равноправны и дают одну и ту же функцию $F$ с точностью до постоянной. Выбирают тот, где интегрирование проще технически - иногда $N$ интегрируется по $y$ легче, чем $M$ по $x$.

Что делать, если условие точности не выполняется? Уравнение в исходном виде не точное. В этом случае ищут интегрирующий множитель - функцию, на которую умножают обе части, чтобы условие точности стало выполняться, либо решают уравнение другим методом (разделение переменных, линейное уравнение, замена переменной).

Коротко

Уравнение $M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0$ точное, если $\partial M/\partial y = \partial N/\partial x$. В этом случае существует функция $F(x,y)$ с $dF = M\,dx + N\,dy$, а решение уравнения - это семейство линий уровня $F(x,y) = C$. Функцию $F$ находят интегрированием $M$ по $x$ с добавлением неизвестной $\varphi(y)$, которую определяют через сравнение с $N$. Частное решение получают, подставив начальную точку в найденную $F$ и вычислив константу $C$ именно для неё.