Ядро сечения при внецентренном сжатии: формула ромба

Внецентренное сжатие возникает, когда продольная сила приложена не в центре тяжести сечения, а со смещением - эксцентриситетом. Из-за этого смещения в стержне появляется не только равномерное сжатие, но и изгиб, и напряжение по сечению распределяется неравномерно: где-то оно больше среднего, а где-то может смениться на растягивающее. Для хрупких материалов вроде кирпичной кладки, бетона или грунта под фундаментом растяжение особенно опасно - именно поэтому в сопромате вводят понятие ядра сечения: области вокруг центра тяжести, при попадании в которую сила сжимает сечение целиком, без единой точки растяжения. Ниже разберём формулу нормального напряжения при внецентренном сжатии, выведем границы ядра для прямоугольника и круга и проверим результат на калькуляторе.

Что такое ядро сечения и зачем оно нужно

Ядро сечения - это область вокруг центра тяжести сечения, при приложении силы внутри которой во всех точках сечения возникают напряжения одного знака. Для сжимающей силы это означает: если точка приложения силы лежит внутри ядра, всё сечение работает только на сжатие, растягивающих напряжений нет нигде. Как только точка выходит за границу ядра, в сечении появляется зона с напряжением противоположного знака - для сжатого стержня это зона растяжения.

Понятие критично для материалов, которые плохо сопротивляются растяжению: кирпичная и каменная кладка, бетон без арматуры, грунт под подошвой фундамента. Инженер, проектируя опору или фундамент, обязан убедиться, что равнодействующая нагрузки не выходит за пределы ядра сечения - иначе в конструкции появятся трещины или отрыв подошвы от грунта. Для стали и других пластичных материалов, которые нормально работают на растяжение, ядро сечения используют реже, но сама формула напряжения при внецентренном сжатии универсальна для любого материала.

Формула нормального напряжения при внецентренном сжатии

Рассмотрим стержень, сжатый силой $N$, приложенной в точке с координатами $e_x$, $e_y$ относительно центра тяжести сечения (центральных осей $x$ и $y$). Эта сила эквивалентна силе $N$, приложенной в центре тяжести, плюс два изгибающих момента: $M_x = N e_y$ и $M_y = N e_x$. Нормальное напряжение в произвольной точке сечения с координатами $x$, $y$ складывается из трёх слагаемых - от продольной силы и от каждого момента:

$\sigma(x, y) = \frac{N}{A} + \frac{M_x}{I_x} y + \frac{M_y}{I_y} x = \frac{N}{A}\left(1 + \frac{e_x x}{i_y^2} + \frac{e_y y}{i_x^2}\right),$

где $A$ - площадь сечения, $I_x$ и $I_y$ - осевые моменты инерции относительно центральных осей, а $i_x^2 = I_x/A$ и $i_y^2 = I_y/A$ - квадраты радиусов инерции сечения. Здесь $N$ считаем положительной для сжатия, поэтому $\sigma > 0$ означает сжатие, а $\sigma < 0$ - растяжение.

Рассчитать для своей задачи

Из формулы видно: напряжение линейно зависит от координат точки. Значит, экстремальные значения напряжения достигаются на границе сечения - в угловых точках для прямоугольника или в точке контура, ближайшей и дальней от направления эксцентриситета, для круга. Условие $\sigma(x, y) = 0$ задаёт нейтральную ось - прямую, разделяющую зону сжатия и зону растяжения. Из формулы её уравнение в отрезках:

$\frac{x}{a_x} + \frac{y}{a_y} = 1, \qquad a_x = -\frac{i_y^2}{e_x}, \qquad a_y = -\frac{i_x^2}{e_y}.$

Ядро сечения - это именно те положения точки приложения силы $(e_x, e_y)$, при которых нейтральная ось проходит вне контура сечения и не пересекает его. Граница ядра получается перебором всех положений нейтральной оси, касательных к контуру сечения снаружи.

Ядро сечения прямоугольника

Для прямоугольника шириной $b$ и высотой $h$ моменты инерции относительно центральных осей равны $I_x = bh^3/12$ и $I_y = hb^3/12$, откуда $i_x^2 = h^2/12$ и $i_y^2 = b^2/12$. Чтобы найти границу ядра, представим, что нейтральная ось совпадает с правой гранью прямоугольника - вертикальной прямой $x = b/2$. Тогда $a_x = b/2$, $a_y \to \infty$ (ось параллельна оси $y$, момент $e_y = 0$), и из формулы отрезка находим соответствующий эксцентриситет:

$e_x = -\frac{i_y^2}{a_x} = -\frac{b^2/12}{b/2} = -\frac{b}{6}.$

Аналогично для верхней и нижней грани получаем $e_y = \pm h/6$, а для левой грани $e_x = -b/6$ (по симметрии, с обратным знаком). Перебирая все четыре грани прямоугольника и соединяя полученные точки, получаем, что ядро сечения прямоугольника - это ромб с вершинами в точках $(\pm b/6,\, 0)$ и $(0,\, \pm h/6)$, то есть с полудиагоналями $b/6$ и $h/6$.

Рассчитать для своей задачи

Практический вывод простой: пока сила приложена внутри этого ромба, всё сечение сжато. Например, для сечения $200 \times 300$ мм ромб ядра имеет полудиагонали $200/6 \approx 33{,}3$ мм по горизонтали и $300/6 = 50$ мм по вертикали - заметно меньше самого сечения.

Ядро сечения круга

Для круглого сечения диаметром $D$ (радиус $R = D/2$) площадь и момент инерции равны $A = \pi R^2$ и $I = \pi R^4/4$, а квадрат радиуса инерции - $i^2 = I/A = R^2/4$ - одинаков по любому направлению, потому что круг симметричен. Рассуждая так же, как для прямоугольника - нейтральная ось касается окружности контура на расстоянии $R$ от центра, - находим эксцентриситет вершины ядра:

$e = -\frac{i^2}{R} = -\frac{R^2/4}{R} = -\frac{R}{4}.$

Поскольку круг одинаков по всем направлениям, ядро сечения круга - это тоже круг, концентричный сечению, радиусом $R/4 = D/8$. Он вчетверо меньше по радиусу, чем само сечение, и вдвое меньше по площади... точнее, площадь ядра составляет $(1/4)^2 = 1/16$ от площади сечения.

Рассчитать для своей задачи

Что происходит, когда сила выходит за ядро

Пока точка приложения силы находится внутри ядра, нейтральная ось лежит целиком вне сечения, и знак напряжения по всему сечению один - сжатие, только с разной интенсивностью в разных точках. Как только сила выходит за границу ядра, нейтральная ось входит внутрь контура сечения и делит его на две зоны: одна остаётся сжатой, другая - с противоположным знаком - оказывается растянутой. Чем дальше точка приложения силы от центра тяжести, тем шире зона с растяжением и тем больше её напряжение по модулю.

Именно это делает ядро сечения удобным практическим критерием: не нужно каждый раз строить эпюру напряжений по всему сечению - достаточно проверить одно неравенство для точки приложения равнодействующей. Для прямоугольника это $|e_x|/(b/6) + |e_y|/(h/6) \le 1$, для круга - $\sqrt{e_x^2 + e_y^2} \le R/4$. Если неравенство выполняется, сечение работает без растяжения; если нет - в конструкции из хрупкого материала стоит ожидать трещин со стороны, противоположной силе.

Пример решения типовой задачи

Колонна прямоугольного сечения $b \times h = 200 \times 300$ мм сжата силой $N = 300$ кН, приложенной с эксцентриситетами $e_x = 20$ мм и $e_y = 10$ мм. Нужно проверить, попадает ли точка приложения силы в ядро сечения, и найти напряжения в угловых точках.

Сначала находим геометрические характеристики: площадь $A = bh = 200 \cdot 300 = 60\,000$ мм², квадраты радиусов инерции $i_x^2 = h^2/12 = 300^2/12 = 7500$ мм² и $i_y^2 = b^2/12 = 200^2/12 \approx 3333{,}3$ мм². Полудиагонали ромба ядра: $b/6 \approx 33{,}3$ мм, $h/6 = 50$ мм.

Проверяем условие ядра: $|20|/33{,}3 + |10|/50 = 0{,}6 + 0{,}2 = 0{,}8 \le 1$ - точка внутри ядра, растяжения быть не должно.

Считаем напряжение в самом нагруженном угле $(x, y) = (100,\, 150)$ мм по формуле:

$\sigma = \frac{N}{A}\left(1 + \frac{e_x x}{i_y^2} + \frac{e_y y}{i_x^2}\right) = \frac{300\,000}{60\,000}\left(1 + \frac{20 \cdot 100}{3333{,}3} + \frac{10 \cdot 150}{7500}\right) = 5 \cdot 1{,}8 = 9\ \text{МПа}.$

В противоположном углу $(-100,\, -150)$ мм напряжение минимально: $\sigma = 5 \cdot (1 - 0{,}6 - 0{,}2) = 5 \cdot 0{,}2 = 1$ МПа. Оно тоже положительное (сжатие), но близко к нулю - если сдвинуть силу чуть дальше от центра, этот угол первым перейдёт в растяжение. Именно это и происходит, если увеличить $e_x$ до 60 мм при тех же остальных параметрах: неравенство ядра даёт $60/33{,}3 + 10/50 = 1{,}8 + 0{,}2 = 2 > 1$, точка вне ядра, и в углу $(-100,\, 150)$ появляется растяжение около $-3$ МПа.

Частые ошибки

• Путать ядро сечения с самим сечением. Ядро всегда меньше сечения и полностью лежит внутри него - для прямоугольника оно в 9 раз меньше по линейным размерам вдоль осей ($b/6$ и $h/6$ против $b/2$ и $h/2$).
• Забыть про оба направления эксцентриситета. Если сила смещена сразу по $x$ и по $y$, проверять нужно суммарное условие $|e_x|/(b/6) + |e_y|/(h/6) \le 1$, а не каждую координату по отдельности.
• Перепутать местами $i_x^2$ и $i_y^2$ в формуле напряжения. Эксцентриситет $e_x$ (смещение вдоль оси $x$) входит в формулу вместе с $i_y^2$, а не с $i_x^2$ - это следствие того, что момент от $e_x$ изгибает сечение относительно оси $y$.
• Забыть знак силы или напряжения. Если в задаче растяжение принято положительным, а сила сжимающая, все знаки в формуле напряжения меняются местами - удобнее сразу зафиксировать одно соглашение и не менять его в ходе решения.
• Считать, что ядро одинаково для любой формы сечения. У прямоугольника это ромб, у круга - круг, у двутавра и других несимметричных профилей - многоугольник произвольной формы, который для каждой грани находится отдельно.

FAQ

Почему ядро сечения прямоугольника - это ромб, а не прямоугольник? Потому что нейтральная ось при переходе от одной грани прямоугольника к соседней грани, а точнее к его углу, поворачивается непрерывно, и соответствующая точка ядра при этом движется по прямой линии между вершинами $(\pm b/6, 0)$ и $(0, \pm h/6)$ - отрезком, а не дугой. Отсюда и форма ромба, а не прямоугольника.

Что будет, если сила приложена точно на границе ядра сечения? В этом предельном случае нейтральная ось касается контура сечения ровно в одной точке (для прямоугольника - в угловой точке, для круга - в точке контура). Напряжение в этой точке равно нулю, а во всех остальных точках сечения оно одного знака - сжатие. Это и есть максимально допустимый эксцентриситет без появления растяжения.

Зависит ли форма ядра сечения от материала стержня? Нет, ядро сечения - чисто геометрическая характеристика, она зависит только от формы и размеров сечения ($A$, $I_x$, $I_y$), а не от модуля упругости или прочности материала. Материал определяет лишь то, насколько критично появление растягивающих напряжений за пределами ядра.

Коротко

Ядро сечения - это область вокруг центра тяжести, при попадании точки приложения сжимающей силы в которую всё сечение работает только на сжатие. Условие проверки - неравенство $|e_x|/(b/6) + |e_y|/(h/6) \le 1$ для прямоугольника или $\sqrt{e_x^2+e_y^2} \le R/4$ для круга: для прямоугольника ядро - ромб с полудиагоналями $b/6$ и $h/6$, для круга - концентричный круг радиусом $D/8$. Как только сила выходит за эту границу, нейтральная ось входит в контур сечения, и на стороне, противоположной эксцентриситету, появляется растяжение - опасное для хрупких материалов вроде кладки, бетона и грунта под фундаментом.