Квадратура круга: почему её нельзя решить циркулем

Задача о квадратуре круга звучит обманчиво просто: дан круг, нужно построить квадрат с точно такой же площадью, используя только циркуль и линейку без делений. Больше двух тысяч лет математики бились над ней, придумывая всё более хитрые построения, - и все терпели неудачу, потому что задача неразрешима в принципе. Строгое доказательство появилось только в 1882 году, а до этого сама попытка решить квадратуру круга подарила математике метод Архимеда для вычисления числа $\pi$. Ниже - как работает этот метод и почему точное построение невозможно; калькулятор ниже сразу показывает, как зажимается $\pi$ между двумя многоугольниками.

В чём состоит задача о квадратуре круга

Пусть дан круг радиуса $R$. Его площадь равна $S = \pi R^2$. Задача квадратуры требует построить квадрат со стороной $a$ такой, что

$a^2 = \pi R^2, \qquad a = R\sqrt{\pi},$

причём построить именно циркулем и линейкой - без делений на линейке, без вычислений на глаз, только пересечения прямых и окружностей. Условие кажется невинным: для многих фигур такая замена «кривой» площади на «прямоугольную» действительно возможна. Например, квадратуру прямоугольника или треугольника циркулем и линейкой сделать легко - там участвуют только рациональные операции и извлечение квадратного корня из рациональных чисел. Загвоздка именно в множителе $\sqrt{\pi}$: чтобы построить отрезок длиной $R\sqrt{\pi}$, нужно было бы уметь строить и сам $\pi$, а вот с этим и была связана многовековая проблема.

Что вообще можно построить циркулем и линейкой

Любое построение циркулем и линейкой сводится к последовательности пересечений прямых линий и окружностей. Каждый такой шаг либо складывает-вычитает-умножает-делит уже построенные длины, либо извлекает из них квадратный корень. Поэтому множество конструируемых чисел - это в точности числа, которые получаются из целых через конечную цепочку таких операций. Все они являются алгебраическими: каждое конструируемое число - корень некоторого многочлена с целыми коэффициентами, причём степень этого многочлена обязана быть степенью двойки. Это и есть формальный критерий: если число не алгебраическое вовсе (то есть трансцендентное) - оно не конструируемо ни при каком количестве шагов.

Метод Архимеда: как зажать число π в вилку

Ещё до всякой алгебры Архимед (III век до н. э.) предложил практичный способ оценить $\pi$ без всякого построения квадрата. Возьмём окружность радиуса $R$ и впишем в неё правильный $n$-угольник, а другой такой же $n$-угольник опишем вокруг неё. Площадь круга лежит строго между площадями этих многоугольников, а значит и само число $\pi$ зажато между двумя точно вычислимыми выражениями:

$\pi_{\text{вписан}}(n) = \frac{n}{2}\sin\frac{2\pi}{n} \;<\; \pi \;<\; n\tan\frac{\pi}{n} = \pi_{\text{описан}}(n).$

При увеличении числа сторон $n$ обе границы сближаются с $\pi$ - работает теорема о зажатой последовательности (задача сводится к вычислению предела, хотя сам Архимед оперировал только конечными многоугольниками). Он начал с шестиугольника и восемь раз удвоил число сторон, дойдя до 96-угольника, и получил знаменитую вилку

$\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7},$

то есть $3{,}140845\ldots < \pi < 3{,}142857\ldots$ - точность до второго знака после запятой, притом полученная только циркулем, линейкой и последовательными извлечениями квадратных корней (стороны многоугольников при удвоении вычисляются именно через них).

Рассчитать для своей задачи

Почему многоугольник - это ещё не квадратура

Важно не путать метод Архимеда с решением задачи. Вилка $\pi_{\text{вписан}}(n) < \pi < \pi_{\text{описан}}(n)$ даёт приближение, которое можно улучшать сколь угодно точно, увеличивая $n$, - но это не то же самое, что точное значение. Многоугольник с $n$ сторонами при любом конечном $n$ - это не круг, и площадь такого многоугольника лишь ограничивает площадь круга сверху или снизу. Квадратура же требует равенства площадей точно, а не в пределе. Именно поэтому за квадратурой круга веками охотились отдельно от вычисления $\pi$: приблизить число легко, построить его точно - совсем другая задача.

Приближённые построения: Кохански и предшественники

Раз точное построение не давалось, математики XVI–XVIII веков придумывали приближённые конструкции квадратуры, которые визуально почти неотличимы от точной. Самое известное - построение польского иезуита Адама Кохански 1685 года: несколькими дугами циркуля и прямыми линиями он получал отрезок длиной

$\sqrt{\frac{40}{3} - 2\sqrt{3}} \approx 3{,}14153334,$

который отличается от истинного $\pi \approx 3{,}14159265$ лишь в пятом знаке после запятой - ошибка порядка $0{,}0019\%$. Для черчения от руки это неотличимо от идеала, но математически это по-прежнему приближение, а не решение.

Рассчитать для своей задачи

Другое знаменитое приближение - дробь $355/113 \approx 3{,}14159292$, найденная китайским математиком Цзу Чунчжи ещё в V веке; она точна до шестого знака и оставалась лучшей рациональной оценкой $\pi$ в мире почти тысячу лет. Ни одно из этих чисел не является результатом конечного точного построения циркулем и линейкой - все они получены либо через приближённые построения, либо через вычисления, а не через геометрическую эквивалентность площадей.

Теорема Линдемана: почему квадратура доказуемо невозможна

Строгий ответ пришёл только в 1882 году, когда немецкий математик Фердинанд фон Линдеман доказал, что число $\pi$ трансцендентно - то есть не является корнем никакого многочлена с рациональными коэффициентами. Из этого прямо следует, что и $\sqrt{\pi}$ трансцендентно (если бы $\sqrt{\pi}$ было алгебраическим, то и $\pi = (\sqrt{\pi})^2$ было бы алгебраическим - противоречие). А поскольку любое конструируемое циркулем и линейкой число обязано быть алгебраическим (причём особого вида - степень его минимального многочлена равна степени двойки), $\sqrt{\pi}$ не может быть построено никаким конечным числом шагов, сколько бы окружностей и прямых ни чертить. Это закрыло вопрос: задача о квадратуре круга неразрешима не потому, что решение ещё не найдено, а потому, что его математически не существует.

Частые ошибки

• Путают приближение с решением. Построение Кохански или дробь $355/113$ дают отличную практическую точность, но не являются точной квадратурой - это принципиально разные вещи.
• Забывают про степень двойки. Не любое алгебраическое число конструируемо - минимальный многочлен должен иметь степень, равную степени двойки; сама алгебраичность необходима, но не достаточна.
• Путают трансцендентность $\pi$ с иррациональностью. Иррациональность $\pi$ доказали ещё в 1761 году (Ламберт), но из неё трансцендентность не следует автоматически - трансцендентность доказал только Линдеман в 1882 году, и именно она закрывает вопрос о квадратуре.
• Считают квадратуру локальной задачей школьной геометрии. На деле это классическая задача теории чисел на стыке с геометрией - трансцендентность $\pi$ доказывается методами математического анализа, а не построениями на бумаге.
• Игнорируют условие «без делений на линейке». Если линейку разрешить использовать как измерительный инструмент с делениями (нейсис-построения), задача становится разрешимой - но это уже не классическая квадратура циркулем и линейкой.

FAQ

Можно ли построить квадратуру круга приближённо? Да, и это делали веками - построение Кохански 1685 года даёт ошибку около $0{,}002\%$, а дробь $355/113$ приближает $\pi$ до шестого знака. Для практических целей (черчение, инженерные расчёты) этого достаточно, но это не точное решение.

Кто доказал, что квадратура круга невозможна? Строгое доказательство дал Фердинанд фон Линдеман в 1882 году, показав трансцендентность числа $\pi$. До этого более 2000 лет попытки решить задачу были безуспешными, но строго доказанной невозможности не было.

Чем метод Архимеда полезен, если квадратура невозможна? Метод Архимеда (вписанный и описанный многоугольник) не решает квадратуру, но даёт точные вычислимые границы для $\pi$ - первый строгий способ оценить это число с любой наперёд заданной точностью, просто увеличивая число сторон многоугольника.

Почему именно $\sqrt{\pi}$, а не сам $\pi$, важен для построения? Потому что сторона искомого квадрата равна $R\sqrt{\pi}$: чтобы получить площадь $\pi R^2$, стороне квадрата нужно быть кратной корню из $\pi$, а не самому $\pi$. Но раз $\pi$ трансцендентно, то и $\sqrt{\pi}$ трансцендентно - вывод для построения от этого не меняется.

Коротко

Квадратура круга - задача построить циркулем и линейкой квадрат площадью $\pi R^2$. Метод Архимеда зажимает $\pi$ между площадями вписанного и описанного правильных $n$-угольников, и эта вилка сужается при росте $n$, но остаётся лишь приближением. Исторические построения вроде метода Кохански 1685 года дают визуально идеальную, но математически приближённую квадратуру. Точку поставил Линдеман в 1882 году: $\pi$ трансцендентно, поэтому $\sqrt{\pi}$ не конструируемо циркулем и линейкой, и задача неразрешима в принципе - не из-за недостатка изобретательности, а по строгой теоретико-числовой причине.