Как вычислить дисперсию: формула, пример и проверка

Дано: дискретная случайная величина $X$ со значениями $2;\ 4;\ 5;\ 8$ и вероятностями $0{,}3;\ 0{,}4;\ 0{,}1;\ 0{,}2$. Найти: дисперсию $D(X)$ и среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$.

Быстрее всего дисперсия считается рабочей формулой $D(X) = M(X^2) - \big(M(X)\big)^2$: находим ожидание квадрата величины и вычитаем квадрат её ожидания. Ответ: $D(X) = 4{,}41$, $\sigma(X) = 2{,}1$. Калькулятор сверху пересчитывает то же самое под любой свой ряд распределения, а переключатель способа показывает, из каких слагаемых собирается сумма в каждой из двух формул.

Решение по шагам

Условие. Ряд распределения задан таблицей:

$$\begin{array}{c|cccc} x_i & 2 & 4 & 5 & 8 \\ \hline p_i & 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}1 & 0{,}2 \end{array}$$

Найти дисперсию $D(X)$ и среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$.

Шаг 1. Проверяем корректность ряда. Вероятности должны давать в сумме единицу, иначе величина задана неверно и считать нечего:

$$\sum p_i = 0{,}3 + 0{,}4 + 0{,}1 + 0{,}2 = 1.$$

Условие выполнено. Эта проверка занимает пять секунд и отсекает добрую половину ошибок в контрольных: если сумма не равна единице, в условии потеряно значение или переписана не та вероятность.

Шаг 2. Находим математическое ожидание. Дисперсия измеряет разброс вокруг среднего, поэтому само среднее нужно найти первым - без него не работает ни один из способов:

$$M(X) = 2 \cdot 0{,}3 + 4 \cdot 0{,}4 + 5 \cdot 0{,}1 + 8 \cdot 0{,}2 = 0{,}6 + 1{,}6 + 0{,}5 + 1{,}6 = 4{,}3.$$

Подробный разбор этого шага с его собственными подводными камнями лежит в задаче про математическое ожидание - здесь $M(X)$ нужно только как заготовка для дисперсии.

Шаг 3. Считаем ожидание квадрата. В сумме $M(X^2) = \sum x_i^2 p_i$ возводятся в квадрат значения, а вероятности остаются прежними - их трогать нельзя:

$$M(X^2) = 2^2 \cdot 0{,}3 + 4^2 \cdot 0{,}4 + 5^2 \cdot 0{,}1 + 8^2 \cdot 0{,}2 = 1{,}2 + 6{,}4 + 2{,}5 + 12{,}8 = 22{,}9.$$

Шаг 4. Подставляем в рабочую формулу. Дисперсия равна разности ожидания квадрата и квадрата ожидания:

$$D(X) = M(X^2) - \big(M(X)\big)^2 = 22{,}9 - 4{,}3^2 = 22{,}9 - 18{,}49 = 4{,}41.$$

Обрати внимание на порядок: сначала возводим в квадрат уже найденное число $4{,}3$, и только потом вычитаем. Перестановка этих двух величин местами - самая частая причина отрицательного ответа.

Шаг 5. Находим среднее квадратическое отклонение. Дисперсия измеряется в квадратах исходных единиц, поэтому для интерпретации из неё извлекают корень:

$$\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{4{,}41} = 2{,}1.$$

Ответ: $D(X) = 4{,}41$, $\sigma(X) = 2{,}1$.

Насколько велик этот разброс, видно из сравнения с самим средним: отклонение $2{,}1$ составляет почти половину от $M(X) = 4{,}3$, около 48,8 процента. Отношение $\sigma(X)$ к $M(X)$ называют коэффициентом вариации, и калькулятор сверху выводит его отдельной плиткой рядом с дисперсией - по нему сразу понятно, однородна выборка или растянута.

Формула дисперсии: определение и рабочая версия

По определению дисперсия - это математическое ожидание квадрата отклонения величины от её среднего:

$$D(X) = M\big[(X - M(X))^2\big] = \sum_{i=1}^{n} \big(x_i - M(X)\big)^2 p_i.$$

Квадрат в определении стоит не случайно. Если брать сами отклонения, их взвешенная сумма всегда равна нулю: положительные и отрицательные уходы от среднего компенсируют друг друга. Квадрат снимает знак и вдобавок сильнее наказывает далёкие значения - именно поэтому одинокая восьмёрка с вероятностью $0{,}2$ даёт в нашем примере больше половины всей дисперсии.

Рабочая формула получается из определения раскрытием скобок. Ожидание линейно, а $M(X)$ - это константа, поэтому её можно выносить за знак ожидания:

$$\begin{aligned} D(X) &= M\big[X^2 - 2X\,M(X) + \big(M(X)\big)^2\big] \\ &= M(X^2) - 2M(X) \cdot M(X) + \big(M(X)\big)^2 \\ &= M(X^2) - \big(M(X)\big)^2. \end{aligned}$$

Обе записи равносильны, но считать удобнее вторую: она требует одного прохода по таблице вместо двух и не заставляет вычитать среднее из каждого значения. Формально $D(X)$ - это второй центральный момент величины, а $M(X^2)$ - второй начальный; связь между ними и общая схема разобраны в статье про начальные и центральные моменты.

Проверка вторым способом: по отклонениям

Если ответ вызывает сомнения, пересчитай дисперсию прямо по определению. Отклонения и их квадраты удобно свести в таблицу:

Складываем последний столбец:

$$D(X) = 1{,}587 + 0{,}036 + 0{,}049 + 2{,}738 = 4{,}41.$$

Числа совпали - значит, арифметика верна. Полезный контроль по дороге: сумма третьего столбца, взвешенная вероятностями, обязана давать ноль, ведь $\sum (x_i - M(X))p_i = M(X) - M(X) = 0$. В нашем случае $-0{,}69 - 0{,}12 + 0{,}07 + 0{,}74 = 0$, и это подтверждает, что среднее найдено правильно ещё до расчёта дисперсии.

Такой пересчёт стоит делать не всегда, а когда ответ выглядит подозрительно: например, если дисперсия получилась больше квадрата размаха значений или отрицательной. Расхождение двух способов всегда означает арифметическую ошибку, а не особенность метода.

Заодно таблица показывает, откуда берётся разброс. Значение $4$ стоит почти на среднем и вносит в дисперсию всего $0{,}036$, а далёкая восьмёрка - $2{,}738$, то есть больше 60 процентов итога. Дисперсия чувствительна к хвостам распределения гораздо сильнее, чем к плотной середине.

Свойства дисперсии и другие формы условия

Пересчитывать таблицу заново приходится далеко не всегда: часто хватает свойств.

• Дисперсия постоянной равна нулю: $D(C) = 0$. У неслучайной величины разброса нет.
• Постоянный множитель выносится с квадратом: $D(CX) = C^2 D(X)$.
• Сдвиг дисперсию не меняет: $D(X + C) = D(X)$, потому что от прибавления числа расстояния между значениями остаются прежними.
• Для линейной функции отсюда сразу следует $D(aX + b) = a^2 D(X)$. Например, для $Y = 3X - 5$ получаем $D(Y) = 9 \cdot 4{,}41 = 39{,}69$ и $\sigma(Y) = 6{,}3$.
• Дисперсия суммы независимых величин складывается: $D(X + Y) = D(X) + D(Y)$. В отличие от ожидания, здесь независимость обязательна.

Условие бывает записано и иначе. Если величина непрерывна и задана плотностью $f(x)$, сумма превращается в интеграл, но структура формулы сохраняется:

$$D(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} \big(x - M(X)\big)^2 f(x)\, dx = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x)\, dx - \big(M(X)\big)^2.$$

Если же вместо распределения дана выборка из $n$ наблюдений, считают выборочную дисперсию: вместо вероятностей берут частоты, вместо $M(X)$ - выборочное среднее $\bar{x}$. В курсовых и лабораторных обычно требуют исправленную оценку с делителем $n - 1$, а не $n$: деление на $n$ систематически занижает разброс, потому что среднее подогнано под ту же выборку. Чтобы сравнить разброс двух величин с разными единицами измерения, дисперсию переводят в относительную форму - как это делается, разобрано в задаче про коэффициент вариации.

Частые ошибки

• Считают $\big(M(X)\big)^2$ вместо $M(X^2)$. Это разные числа: у нас $22{,}9$ против $18{,}49$. Если перепутать их местами, дисперсия выйдет отрицательной, чего быть не может.
• Возводят в квадрат вероятности. В сумме $\sum x_i^2 p_i$ квадрат стоит только у значения; $p_i$ входит в первой степени.
• Забывают проверить $\sum p_i = 1$. По неполному ряду распределения и ожидание, и дисперсия получатся смещёнными, а ошибка обнаружится только в ответе.
• Останавливаются на дисперсии, когда просят СКО. $D(X) = 4{,}41$ и $\sigma(X) = 2{,}1$ - разные ответы; отклонение измеряется в тех же единицах, что и величина.
• Округляют $M(X)$ до целого. При расчёте по определению округление среднего искажает все четыре отклонения сразу, и ответ расходится с рабочей формулой.
• Складывают дисперсии зависимых величин. Правило $D(X + Y) = D(X) + D(Y)$ работает только при независимости, иначе появляется удвоенная ковариация.

FAQ

Может ли дисперсия быть отрицательной? Нет. Это ожидание квадрата отклонения, то есть сумма неотрицательных слагаемых. Отрицательное значение означает арифметическую ошибку, чаще всего перепутанные $M(X^2)$ и $\big(M(X)\big)^2$. Ноль возможен только у постоянной величины.

Чем дисперсия отличается от СКО и что писать в ответе? Дисперсия измеряется в квадратах единиц исходной величины, поэтому её нельзя сравнивать с самими значениями. Среднее квадратическое отклонение $\sigma = \sqrt{D(X)}$ возвращает нормальную размерность и показывает типичный уход от среднего. В ответ обычно выносят оба числа.

Каким способом считать быстрее? Через $M(X^2)$: он требует одного прохода по таблице и не зависит от округления среднего. Расчёт по определению удобен как проверка и в задачах, где $M(X)$ получается целым, а отклонения - короткими числами. На экзамене разумно считать рабочей формулой, а если остаётся время, продублировать ответ по определению.

Зачем дисперсия нужна дальше по курсу? Она входит в оценки вероятностей отклонений: неравенство Чебышёва ограничивает вероятность уйти от среднего дальше чем на $\varepsilon$ величиной $D(X)/\varepsilon^2$, а на нём строится закон больших чисел. Через дисперсию задаётся и параметр нормального распределения.

Коротко

1. Проверь ряд распределения: $\sum p_i = 1$, иначе считать нельзя.
2. Найди математическое ожидание $M(X) = \sum x_i p_i$; в примере $M(X) = 4{,}3$.
3. Посчитай ожидание квадрата $M(X^2) = \sum x_i^2 p_i$; в примере $M(X^2) = 22{,}9$.
4. Подставь в рабочую формулу $D(X) = M(X^2) - \big(M(X)\big)^2 = 22{,}9 - 18{,}49 = 4{,}41$ и при сомнениях пересчитай по определению через квадраты отклонений.
5. Извлеки корень: $\sigma(X) = \sqrt{4{,}41} = 2{,}1$. Ответ: $D(X) = 4{,}41$, $\sigma(X) = 2{,}1$.