Как найти математическое ожидание: формула и примеры

Математическое ожидание - это среднее значение случайной величины, «центр тяжести» её распределения: то число, вокруг которого группируются исходы при многократном повторении опыта. Задачи на его поиск встречаются в самом начале курса теории вероятностей - сразу после того, как введено понятие случайной величины и ряда распределения. На входе почти всегда одно и то же: дискретная случайная величина $X$ задана таблицей (рядом распределения), где перечислены все её возможные значения $x_1, x_2, \dots, x_n$ и соответствующие им вероятности $p_1, p_2, \dots, p_n$. Требуется найти математическое ожидание $M(X)$ (его же обозначают $E[X]$ или $\mu$), а часто вместе с ним - дисперсию и стандартное отклонение. Ниже разберём типовую задачу по шагам, покажем формулу и наиболее частые ошибки.

Формула математического ожидания

Для дискретной случайной величины математическое ожидание - это сумма произведений каждого значения на его вероятность:

$$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n.$$

Смысл формулы прозрачен: чем больше вероятность значения, тем сильнее оно «тянет» среднее на себя. Обязательное условие корректности ряда распределения - полнота группы событий:

$$\sum_{i=1}^{n} p_i = 1.$$

Если сумма вероятностей не равна единице, значит, в условии потеряно какое-то значение или допущена ошибка - считать $M(X)$ по такому ряду нельзя.

Разбор задачи по шагам

Условие. Дискретная случайная величина $X$ задана рядом распределения:

$$\begin{array}{c|cccc} x_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline p_i & 0{,}1 & 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}2 \end{array}$$

Найти математическое ожидание $M(X)$, дисперсию $D(X)$ и среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$.

Шаг 1. Проверяем ряд распределения. Сумма вероятностей должна равняться единице:

$$\sum p_i = 0{,}1 + 0{,}3 + 0{,}4 + 0{,}2 = 1.$$

Условие выполнено - можно считать.

Шаг 2. Находим математическое ожидание. Подставляем значения в формулу $M(X) = \sum x_i p_i$:

$$\begin{aligned} M(X) &= 0 \cdot 0{,}1 + 1 \cdot 0{,}3 + 2 \cdot 0{,}4 + 3 \cdot 0{,}2 \\ &= 0 + 0{,}3 + 0{,}8 + 0{,}6 = 1{,}7. \end{aligned}$$

Итак, $M(X) = 1{,}7$. Обратите внимание: это число не совпадает ни с одним из возможных значений - так и должно быть, математическое ожидание не обязано быть «достижимым» исходом, это среднее по распределению.

Шаг 3. Находим дисперсию. Дисперсия измеряет разброс значений вокруг среднего. Удобнее всего считать её через математическое ожидание квадрата:

$$D(X) = M(X^2) - \big(M(X)\big)^2.$$

Сначала $M(X^2) = \sum x_i^2 p_i$:

$$M(X^2) = 0^2 \cdot 0{,}1 + 1^2 \cdot 0{,}3 + 2^2 \cdot 0{,}4 + 3^2 \cdot 0{,}2 = 0 + 0{,}3 + 1{,}6 + 1{,}8 = 3{,}7.$$

Теперь сама дисперсия:

$$D(X) = 3{,}7 - 1{,}7^2 = 3{,}7 - 2{,}89 = 0{,}81.$$

Шаг 4. Среднее квадратическое отклонение - это корень из дисперсии, оно имеет ту же размерность, что и сама величина:

$$\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0{,}81} = 0{,}9.$$

Ответ: $M(X) = 1{,}7$, $D(X) = 0{,}81$, $\sigma(X) = 0{,}9$.

Свойства математического ожидания

В задачах часто вместо прямого пересчёта удобнее применить свойства - особенно если величина задана как функция от другой. Основные из них:

• Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной: $M(C) = C$.
• Постоянный множитель выносится: $M(CX) = C \cdot M(X)$.
• Ожидание суммы равно сумме ожиданий: $M(X + Y) = M(X) + M(Y)$ - это верно всегда, независимо от того, зависимы величины или нет.
• Для линейной функции: $M(aX + b) = a\,M(X) + b$.

Например, если известно, что $M(X) = 1{,}7$, то для $Y = 2X + 3$ сразу получаем $M(Y) = 2 \cdot 1{,}7 + 3 = 6{,}4$ - заново строить ряд распределения не нужно.

Непрерывный случай и частота

Если случайная величина непрерывна и задана плотностью распределения $f(x)$, сумма заменяется интегралом:

$$M(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x\, f(x)\, dx.$$

А если ряд распределения не дан, но есть выборка из $N$ наблюдений, математическое ожидание оценивают выборочным средним $\bar{x} = \frac{1}{N}\sum x_i$: при большом числе опытов частота каждого значения стремится к его вероятности, поэтому среднее по выборке приближает $M(X)$ - это прямое следствие закона больших чисел. Похожая логика разбора «дано - формула - подстановка» работает и для родственной задачи про дисперсию дискретной случайной величины.

Частые ошибки

• Забыли проверить $\sum p_i = 1$. Если сумма вероятностей не равна единице, ряд распределения задан неверно, и любое посчитанное $M(X)$ будет ошибочным. Проверка суммы - обязательный первый шаг.
• Складывают значения без учёта вероятностей. Формула $M(X) = \sum x_i p_i$, а не среднее арифметическое значений $x_i$. Среднее арифметическое получилось бы, только если все вероятности равны.
• Путают $M(X^2)$ и $(M(X))^2$. В формуле дисперсии $D(X) = M(X^2) - (M(X))^2$ первое слагаемое считается по квадратам значений, а второе - это квадрат уже найденного ожидания. Их перестановка даёт неверную (иногда отрицательную) дисперсию.
• Отрицательная дисперсия. Дисперсия не может быть меньше нуля. Если получилось $D(X) < 0$, где-то ошибка в арифметике - чаще всего именно в предыдущем пункте.
• Округляют промежуточные вероятности. Округление $p_i$ на ранних шагах накапливает погрешность; округлять стоит только итоговый ответ.

FAQ

Может ли математическое ожидание быть отрицательным или дробным? Да. $M(X)$ может принимать любое значение, в том числе отрицательное или нецелое, даже если сама величина целочисленная. Это просто «центр тяжести» распределения, а не один из исходов.

Чем отличается математическое ожидание от среднего арифметического? Среднее арифметическое считается по уже полученным данным (по выборке), а математическое ожидание - по вероятностям, то есть по теоретическому распределению. При большом числе опытов среднее арифметическое приближается к математическому ожиданию.

Что делать, если вероятности заданы в процентах? Переведите проценты в доли (разделите на 100), чтобы сумма получилась равной 1, и подставляйте в формулу как обычно.

Коротко

Математическое ожидание дискретной случайной величины ищут по формуле $M(X) = \sum x_i p_i$ - сумме произведений значений на их вероятности; предварительно проверяют, что $\sum p_i = 1$. Дисперсию удобно считать как $D(X) = M(X^2) - (M(X))^2$, а стандартное отклонение - как $\sigma = \sqrt{D(X)}$. В разобранном примере $M(X) = 1{,}7$, $D(X) = 0{,}81$, $\sigma = 0{,}9$. Для линейных преобразований величины пользуйтесь свойствами ожидания, не пересчитывая ряд заново.