Асимптотическая свобода: почему кварки слабо связаны

Асимптотическая свобода - одно из самых неожиданных свойств квантовой хромодинамики (КХД), теории сильного взаимодействия: константа связи между кварками и глюонами не растёт с энергией, как электрический заряд в квантовой электродинамике, а убывает. На малых расстояниях (то есть при больших переданных импульсах) кварки ведут себя почти как свободные частицы, а на больших расстояниях связь между ними, наоборот, катастрофически усиливается - это и есть причина конфайнмента, невозможности наблюдать одиночный кварк. Ниже разберём, откуда берётся эта зависимость, как выглядит однопетлевая формула бегущей константы $\alpha_s(Q)$ и почему её открытие в 1973 году принесло Нобелевскую премию. Чтобы сразу увидеть, как энергия влияет на силу взаимодействия, покрутите калькулятор ниже - он строит кривую $\alpha_s(Q)$ по реальной формуле ренормгруппы и показывает область, где кварки становятся почти свободными, а где начинается конфайнмент.

Что такое асимптотическая свобода

В квантовой электродинамике (КЭД) эффективный электрический заряд растёт с ростом энергии зонда: виртуальные электрон-позитронные пары экранируют голый заряд, и чем ближе вы подбираетесь, тем меньше экранирования вы видите, тем больше кажущийся заряд. В КХД происходит обратное. Глюоны, в отличие от фотона, сами несут цветовой заряд и взаимодействуют друг с другом - это порождает эффект антиэкранирования, который перевешивает вклад кварковых петель. В результате эффективная константа сильного взаимодействия $\alpha_s$ убывает с ростом энергетического масштаба $Q$: на масштабах порядка массы Z-бозона (~91 ГэВ) она составляет около 0,12, а на масштабе в 1 ГэВ - уже порядка 0,5. Это явление в 1973 году независимо описали Дэвид Гросс и Фрэнк Вильчек, а также Дэвид Политцер; в 2004 году они получили за это Нобелевскую премию по физике.

Бегущая константа связи и однопетлевая формула

Зависимость константы связи от масштаба энергии описывается уравнением ренормализационной группы. В однопетлевом приближении оно имеет вид:

$$\frac{d\alpha_s}{d\ln Q^2} = -b_0\,\alpha_s^2, \qquad b_0 = \frac{33 - 2n_f}{12\pi},$$

где $n_f$ - число активных ароматов кварков на данном масштабе. Знак минус в правой части - ключевой момент: он означает, что с ростом $Q$ константа $\alpha_s$ убывает, а не растёт, как было бы при положительном знаке (случай КЭД). Решение этого уравнения даёт явную формулу бегущей константы:

$$\alpha_s(Q) = \frac{1}{b_0 \ln(Q^2/\Lambda^2)} = \frac{12\pi}{(33 - 2n_f)\,\ln(Q^2/\Lambda^2)},$$

где $\Lambda$ (обычно $\Lambda_{QCD} \approx 0{,}2$ ГэВ) - характерный масштаб КХД, на котором однопетлевое приближение формально расходится. Это не физическая бесконечность, а сигнал того, что теория возмущений перестаёт работать: на масштабах порядка $\Lambda$ и ниже сильное взаимодействие становится непертурбативным, и именно там рождается конфайнмент.

Число ароматов кварков и знак коэффициента

Коэффициент $b_0 = (33 - 2n_f)/(12\pi)$ зависит от числа кварковых ароматов $n_f$, доступных при данной энергии: при малых энергиях активны только лёгкие кварки (u, d, s), при высоких - добавляются c, b и t. Число 33 в этой формуле связано с вкладом самих глюонов (антиэкранирование), число $2n_f$ - с вкладом кварковых петель (обычное экранирование, как в КЭД). Пока $n_f < 16{,}5$, коэффициент $b_0$ остаётся положительным, а значит асимптотическая свобода сохраняется для любого разумного числа кварковых ароматов Стандартной модели ($n_f \le 6$). Если бы кварков было очень много (гипотетически, больше 16), глюонное антиэкранирование не справилось бы с их суммарным экранирующим вкладом, и КХД вела бы себя как обычная теория со растущей константой связи - асимптотическая свобода исчезла бы. Именно поэтому это свойство считается тонкой особенностью реальной КХД, а не общим правилом калибровочных теорий.

Рассчитать для своей задачи

Конфайнмент: обратная сторона асимптотической свободы

Если на малых расстояниях кварки почти свободны, то на больших расстояниях однопетлевая формула предсказывает неограниченный рост $\alpha_s$ по мере приближения $Q$ к $\Lambda_{QCD}$ снизу. Физически это означает, что энергия, необходимая для разведения кварка и антикварка, растёт с расстоянием почти линейно - глюонное поле между ними стягивается в узкую трубку постоянного натяжения, а не рассеивается в пространстве, как электрическое поле точечного заряда. Разорвать эту трубку разведением кварков не получится: при достаточном растяжении энергетически выгоднее родить из вакуума новую пару кварк-антикварк, которая «залатает» разрыв, - так вместо одиночных кварков всегда рождаются адроны. Это и есть конфайнмент, и он неразрывно связан с асимптотической свободой: обе особенности - следствие одного и того же знака бегущей константы, просто на разных концах шкалы энергий.

Рассчитать для своей задачи

Экспериментальное подтверждение

Формула $\alpha_s(Q)$ - не просто теоретическая конструкция: её убывание с ростом энергии многократно проверено экспериментально. Измерения константы сильного взаимодействия на разных масштабах - из глубоко неупругого рассеяния электронов на протонах, из распадов тау-лептона, из адронных струй на электрон-позитронных коллайдерах, из данных LHC - при нанесении на один график с осью $Q$ выстраиваются вдоль одной и той же убывающей кривой, предсказанной ренормализационной группой КХД. Это один из самых наглядных примеров того, как квантовая теория поля количественно предсказывает поведение константы связи на масштабах от долей ГэВ до тераэлектронвольт.

Рассчитать для своей задачи

Почему кварки в адронах ведут себя как почти свободные

Асимптотическая свобода объясняет успех партонной модели: в жёстких процессах, где переданный импульс велик (глубоко неупругое рассеяние, рождение струй), кварки внутри протона можно приближённо считать невзаимодействующими точечными частицами - партонами. Это работает именно потому, что на малых расстояниях (больших $Q$) эффективная константа связи мала, и взаимодействием между кварками в момент столкновения можно пренебречь в первом приближении. На бытовых же масштабах размера протона ($Q$ порядка сотен МэВ) константа связи уже настолько велика, что теория возмущений неприменима, и приходится использовать другие методы - например, решёточную КХД, которая считает те же процессы численно на дискретной пространственно-временной решётке.

Частые ошибки

• Путают направление зависимости с КЭД. В КХД константа связи убывает с ростом энергии, а не растёт, как электрический заряд. Перепутанный знак сразу даёт неверные качественные выводы.
• Забывают, что коэффициент зависит от числа ароматов. Формула $b_0 = (33 - 2n_f)/(12\pi)$ требует подставлять именно число активных на данном масштабе кварковых ароматов, а не общее число известных кварков.
• Пытаются применить однопетлевую формулу вблизи $\Lambda_{QCD}$. Там она формально расходится (полюс Ландау), но физического смысла эта расходимость не несёт - теория возмущений просто перестаёт работать, а не предсказывает бесконечную величину.
• Считают $\Lambda_{QCD}$ массой какой-то частицы. На самом деле это масштаб размерной трансмутации - безразмерная константа $\alpha_s$ через процедуру перенормировки превращается в размерный параметр $\Lambda$, у которого нет соответствующей частицы.
• Разделяют асимптотическую свободу и конфайнмент как независимые явления. Это две стороны одной и той же бегущей константы: одно и то же поведение $\alpha_s(Q)$ на разных концах шкалы энергий.

FAQ

Что такое асимптотическая свобода простыми словами? Это свойство сильного взаимодействия, при котором кварки на очень малых расстояниях (то есть при столкновениях с большой передачей энергии) ведут себя почти как свободные частицы, потому что эффективная константа связи между ними убывает с ростом энергии.

Кто открыл асимптотическую свободу и когда за неё дали Нобелевскую премию? Явление независимо описали Дэвид Гросс, Фрэнк Вильчек и Дэвид Политцер в 1973 году, показав, что неабелевы калибровочные теории с достаточно небольшим числом кварковых ароматов обладают убывающей бегущей константой связи. Нобелевскую премию по физике за это открытие они получили в 2004 году.

Если кварки асимптотически свободны, почему их нельзя увидеть по отдельности? Асимптотическая свобода работает только на малых расстояниях (больших энергиях). На больших расстояниях, характерных для размера адрона, та же самая бегущая константа, наоборот, растёт, что и приводит к конфайнменту - невозможности разделить кварк и антикварк без рождения новой пары.

Коротко

Асимптотическая свобода - это убывание константы сильного взаимодействия $\alpha_s(Q)$ с ростом энергетического масштаба, описываемое однопетлевой формулой $\alpha_s(Q) = 12\pi / [(33-2n_f)\ln(Q^2/\Lambda^2)]$. Причина - антиэкранирующий вклад глюонных петель, который перевешивает обычное экранирование от кварковых петель, пока число активных ароматов не слишком велико. На малых расстояниях это делает кварки почти свободными (партонная модель), а на больших - та же зависимость приводит к конфайнменту, потому что константа связи неограниченно растёт при приближении к масштабу $\Lambda_{QCD}$. За открытие этого явления в 1973 году Гросс, Вильчек и Политцер получили Нобелевскую премию по физике 2004 года.