Математика и алгоритмы

Страница 25 из 28.

Формула Эйлера-Маклорена: разбор и применение

Формула Эйлера-Маклорена связывает сумму $\sum f (n)$ с интегралом $\int f$ через числа Бернулли и остаточный член. Разбор формулировки, доказательства и классических приложений.

22 марта 20267 минут

Лемма Фату: формулировка, доказательство и применения

Лемма Фату: для неотрицательных измеримых $f_{n}$ выполнено $\int lim inf f_{n} d μ \leq lim inf \int f_{n} d μ$ . Доказательство через монотонную сходимость, связь с DCT.

22 марта 20269 минут

Локализация кольца: конструкция и геометрия

Локализация кольца $S^{- 1} R$ в коммутативной алгебре: конструкция через классы дробей, поле частных, локальное кольцо $R_{p}$ , плоскость, стебли пучка на Spec.

21 марта 20268 минут

Алгоритм Грэхема: строим выпуклую оболочку точек

Алгоритм Грэхема строит выпуклую оболочку набора точек за O(n log n): опорная точка, сортировка по углу и обход стеком. Разбираем шаги и проверку поворота.

20 марта 20269 минут

Теоремы Силова: существование, сопряжённость, число подгрупп

Теоремы Силова о $p$ -подгруппах конечной группы: существование силовской подгруппы порядка $p^{k}$ , сопряжённость всех таких подгрупп, арифметика числа $n_{p}$ и примеры классификации.

20 марта 20269 минут

Нильпотентная группа: определение, класс, примеры

Нильпотентная группа: стабилизация нижнего и верхнего центральных рядов, класс нильпотентности, теорема о прямом произведении силовских p-подгрупп и примеры.

19 марта 20269 минут

Теорема Гильберта о базисе: формулировка и доказательство

Теорема Гильберта о базисе 1890 года: если кольцо R нётерово, то R[x] тоже нётерово. Идея доказательства, следствия для алгебраической геометрии и типовые задачи.

18 марта 20268 минут

Оператор Лапласа-Бельтрами: формула, спектр и тепловое ядро

Оператор Лапласа-Бельтрами: обобщение лапласиана на риманово многообразие. Разбираем формулу через метрический тензор, спектр, тепловое ядро и асимптотику Вейля с примерами.

16 марта 20269 минут

Расслоение Хопфа: S^3 → S^2 со слоем S^1

Расслоение Хопфа: $S^{3} \to S^{2}$ со слоем $S^{1}$

Расслоение Хопфа: первый нетривиальный пример $S^{3} \to S^{2}$ со слоем $S^{1}$ , кватернионная и октонионная Hopf-фибрации, число Хопфа, $π_{3} (S^{2}) = Z$ , сфера Блоха.

15 марта 20268 минут

Сопряжённые функторы: биекция Hom, единица и примеры

Сопряжённые функторы: естественная биекция Hom-наборов, левый и правый сопряжённый, единица и коединица, классические примеры и сохранение пределов в теории категорий.

15 марта 20269 минут

Теорема Лагранжа для групп: порядок, индекс, следствия

Теорема Лагранжа для конечных групп: порядок подгруппы делит порядок группы, индекс и классы смежности, доказательство, малая Ферма и Эйлер, контрпример $A_{4}$ .

15 марта 20269 минут

Алгоритм Чана: как строить выпуклую оболочку за O(n log h)

Алгоритм Чана строит выпуклую оболочку n точек за O(n log h): разбор идеи с угадыванием числа вершин h, комбинацией Graham scan и Jarvis march по шагам.

14 марта 20269 минут

Неравенство Гёльдера для интегралов: формулы и применение

Неравенство Гёльдера для интеграла: формулировка с сопряжёнными показателями p и q, доказательство через неравенство Юнга, частные случаи и применение в пространствах L^p.

14 марта 20269 минут

B-дерево: вставка ключа и разделение узла

Разбираем вставку в B-дерево по шагам: минимальная степень t, инвариант t-1..2t-1 ключей и разделение переполненного узла с подъёмом среднего ключа к родителю.

12 марта 20269 минут

Проективный модуль: определения, свойства, K-теория

Проективный модуль $P$ над кольцом $R$ : подъём гомоморфизма через сюръекцию, прямое слагаемое свободного, эквивалентность для PID и локальных колец, роль в K-теории.

11 марта 20268 минут

Уравнение Бесселя: решение через $J_{n}$ и $Y_{n}$

Уравнение Бесселя: решение методом Фробениуса, функции Бесселя первого и второго рода, цилиндрическая симметрия и физические приложения от мембраны до волноводов.

10 марта 20268 минут

Метод Гаусса-Зейделя СЛАУ: формулы и сходимость

Итерационный метод Гаусса-Зейделя для СЛАУ: формулы, условие диагонального преобладания, сравнение с методом Якоби, SOR-релаксация и оптимальный параметр.

8 марта 20268 минут

Теорема Банаха-Штейнгауза: равномерная ограниченность

Теорема Банаха-Штейнгауза (uniform boundedness principle): поточечная ограниченность семейства операторов в банаховом пространстве влечёт равномерную, доказательство через теорему Бэра.

8 марта 20268 минут

Квадратичный закон взаимности: золотая теорема Гаусса

Квадратичный закон взаимности Гаусса для символов Лежандра: точная формулировка, два дополнения, восемь доказательств, обобщения Якоби, Эйзенштейна и Артина, алгоритм вычисления.

7 марта 20268 минут

Теорема Морера: обратная к теореме Коши для голоморфности

Теорема Морера: если непрерывная $f$ в области $D$ даёт $\oint_{γ} f d z = 0$ по любому треугольнику, то $f$ голоморфна. Обратная теоремы Коши, применения и доказательство.

7 марта 20267 минут

Преобразование Лапласа: ОДУ и системы

Преобразование Лапласа для дифференциальных уравнений: метод операционного исчисления, учёт начальных условий, разложение на простые дроби и обратное преобразование.

6 марта 20268 минут

Признак Ермакова: сходимость рядов с логарифмами

Признак Ермакова (1871) для сходимости положительных монотонных рядов через предел $f (e^{x}) e^{x} / f (x)$ : формулировка, примеры с логарифмами, сравнение с Коши.

6 марта 20269 минут

Симплициальный комплекс: вершины, грани и гомологии

Симплициальный комплекс: симплексы и их грани, цепной комплекс с граничным оператором, группы гомологий и формула Эйлера для поверхностей. Разбираем определения и примеры.

5 марта 20267 минут

Теорема Лебега о мажорируемой сходимости: DCT и применения

Теорема Лебега о мажорируемой сходимости (DCT): условие мажоранты $∣ f_{n} ∣ \leq g$ с интегрируемой $g$ , переход к пределу под интегралом, доказательство через лемму Фату.

5 марта 20268 минут