Дифракционная решётка: формула главных максимумов

Дифракционная решётка - это множество узких параллельных щелей (или штрихов), расположенных строго через одинаковое расстояние. Когда на неё падает свет, каждая щель становится источником вторичных волн, а результат их интерференции формирует резкие узкие полосы - главные максимумы - под определёнными углами, зависящими от длины волны. Именно поэтому решётка раскладывает белый свет в спектр гораздо чётче, чем призма или одна щель. Ниже разберём, откуда берётся формула главных максимумов, что стоит за условием синфазности волн и как быстро прикинуть угол, разрешающую способность и число видимых порядков спектра. Покрути калькулятор ниже: он сразу пересчитывает угол максимума и рисует полную картину интенсивности с учётом числа щелей.

Что такое дифракционная решётка

Дифракционная решётка - оптический прибор, представляющий собой пластинку со множеством параллельных штрихов, нанесённых на равном расстоянии друг от друга. Прозрачные (или отражающие) промежутки между штрихами работают как отдельные щели. Ключевая характеристика решётки - её период $d$: расстояние между серединами соседних щелей. На практике период чаще задают через плотность штрихов $N_0$ (число штрихов на 1 мм), тогда $d = 1/N_0$.

Когда плоская волна падает на решётку нормально, каждая щель по принципу Гюйгенса-Френеля становится источником вторичных сферических (в двумерном приближении - цилиндрических) волн. Эти волны расходятся во все стороны и интерферируют друг с другом. В большинстве направлений волны от разных щелей приходят в разных фазах и гасят друг друга. Но есть особые направления, где разность хода между соседними щелями равна целому числу длин волн - там волны складываются в фазе, и интенсивность резко возрастает. Это и есть главные максимумы дифракционной картины.

Формула главных максимумов: d sinθ = mλ

Рассмотрим два соседних луча, идущих от соседних щелей под углом $\theta$ к направлению падающего пучка. Геометрическая разность хода между ними равна $\Delta = d\sin\theta$ - это катет прямоугольного треугольника, где гипотенуза - отрезок между щелями длиной $d$, а угол при вершине равен $\theta$.

Рассчитать для своей задачи

Волны от всех щелей окажутся в одной фазе, если эта разность хода укладывается целое число раз в длине волны:

$d\sin\theta = m\lambda, \qquad m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$

Это и есть формула главных максимумов дифракционной решётки. Целое число $m$ называют порядком максимума. При $m = 0$ разность хода равна нулю для любой длины волны - это центральный максимум, в нём совпадают все цвета, и решётка спектра не даёт (белый свет остаётся белым). При $m = \pm 1, \pm 2, \dots$ угол зависит от $\lambda$: чем больше длина волны, тем сильнее отклоняется соответствующий максимум, поэтому справа и слева от центра разворачивается радужный спектр, причём красный конец каждого порядка дальше от центра, чем фиолетовый.

Почему нужна синфазность волн от всех щелей

Условие $d\sin\theta = m\lambda$ выведено для пары соседних щелей, но решётка обычно содержит от сотен до тысяч штрихов. Важное свойство: если разность хода между соседними щелями равна целому числу длин волн, то и разность хода между любыми двумя щелями (не обязательно соседними) тоже кратна $\lambda$ - ведь она получается сложением одинаковых слагаемых $d\sin\theta$. Значит, в главном максимуме в фазе складываются волны сразу от всех $N$ щелей решётки, а не только от соседней пары.

Рассчитать для своей задачи

Именно поэтому амплитуда в главном максимуме растёт пропорционально числу щелей $N$, а интенсивность - пропорционально $N^2$. Между двумя главными максимумами укладывается $N - 1$ полных нулей интенсивности и $N - 2$ слабых побочных максимума - на реальной решётке с тысячами штрихов эти детали сливаются, и виден лишь узкий резкий пик.

Угловая дисперсия и разрешающая способность

Зависимость угла максимума от длины волны называют угловой дисперсией. Продифференцировав $d\sin\theta = m\lambda$ по $\lambda$, получаем:

$D = \frac{d\theta}{d\lambda} = \frac{m}{d\cos\theta}.$

Чем выше порядок $m$ и чем меньше период $d$ (то есть чем гуще штрихи), тем сильнее решётка разводит по углу близкие длины волны - тем лучше её дисперсия.

Вторая важная характеристика - разрешающая способность $R$, показывающая, насколько близкие длины волны решётка ещё способна различить как отдельные линии:

$R = \frac{\lambda}{\Delta\lambda} = mN,$

где $N$ - полное число щелей, освещённых пучком. Формула объясняет практический вывод: чтобы различить две близкие спектральные линии, нужно либо перейти к более высокому порядку $m$, либо использовать решётку с большим числом штрихов $N$ - оба пути повышают резкость (и сужают) главных максимумов.

Рассчитать для своей задачи

Сколько порядков спектра видно

Поскольку $\sin\theta$ не может превышать единицу, из формулы главных максимумов следует ограничение на порядок:

$|m| \le \frac{d}{\lambda}.$

Наибольший целый порядок, который вообще можно наблюдать, равен $m_{max} = \left\lfloor d/\lambda \right\rfloor$. Если период решётки меньше длины волны ($d < \lambda$), не существует даже первого порядка - свет проходит только в направлении $m = 0$. Для решёток видимого диапазона (период порядка нескольких микрометров) обычно доступны первые два-три порядка, причём для разных длин волн один и тот же порядок $m$ соответствует разным углам - поэтому спектры соседних порядков на экране могут частично перекрываться, особенно при больших $m$.

Рассчитать для своей задачи

Как решать типовые задачи

Возьмём характерный пример. Пусть период решётки $d = 2$ мкм (это соответствует 500 штрихам на 1 мм), а на неё падает свет с длиной волны $\lambda = 550$ нм. Найдём угол максимума первого порядка:

$\sin\theta_1 = \frac{m\lambda}{d} = \frac{1 \cdot 550 \text{ нм}}{2000 \text{ нм}} = 0{,}275, \qquad \theta_1 \approx 16{,}0^\circ.$

Наибольший наблюдаемый порядок для этих условий: $m_{max} = \left\lfloor 2000/550 \right\rfloor = 3$. Дальше алгоритм всегда один и тот же:

1. Перевести все величины в одинаковые единицы (обычно удобнее в нанометры или микрометры).
2. Если период дан через плотность штрихов $N_0$ на 1 мм, сначала найти $d = 1/N_0$.
3. Подставить $m$, $\lambda$ и $d$ в $\sin\theta = m\lambda/d$ и проверить, что результат не превышает единицы - иначе максимума такого порядка не существует.
4. Найти угол через арксинус и, если нужно, разрешающую способность $R = mN$ или угловую полуширину максимума.

Частые ошибки

• Путают период решётки с шириной щели. В формуле $d\sin\theta = m\lambda$ стоит именно период - расстояние между соседними щелями, а не ширина одной щели (та используется в условии минимумов одиночной щели, $a\sin\theta = k\lambda$, - это другая формула для другого явления).
• Забывают перевести штрихи на миллиметр в период в метрах. Если дано «500 штрихов на 1 мм», нужно сначала найти $d = 1 \text{ мм} / 500 = 2$ мкм, а не подставлять 500 напрямую в формулу.
• Не проверяют условие $|m\lambda/d| \le 1$ и получают «синус угла больше единицы» - это значит, что максимума такого порядка попросту не существует для данных параметров.
• Путают порядок максимума m с числом щелей N. Порядок - это целое число в формуле $d\sin\theta = m\lambda$, а число щелей влияет только на резкость (ширину) максимума и на разрешающую способность.
• Считают центральный максимум ($m=0$) частью спектра. При $m=0$ разность хода нулевая для любой длины волны, поэтому в центре всегда белая полоса, а не начало спектра.

FAQ

Чем дифракционная решётка отличается от одной щели? Одна щель даёт широкий центральный максимум с размытыми боковыми пиками низкой интенсивности (условие минимумов $a\sin\theta = k\lambda$). Решётка из многих щелей за счёт интерференции складывает волны сразу от всех щелей, поэтому главные максимумы становятся узкими и яркими, а между ними - почти полная темнота.

Почему у решётки несколько порядков спектра, а не один? Формула $d\sin\theta = m\lambda$ допускает любое целое $m$, для которого $|m\lambda/d| \le 1$. Каждому такому $m$ соответствует свой угол и свой полный спектр видимого света - просто более высокие порядки отклоняются на больший угол.

Как решётка помогает измерить длину волны? Достаточно измерить угол $\theta$, под которым наблюдается максимум известного порядка $m$ для решётки с известным периодом $d$, и подставить в $\lambda = d\sin\theta / m$. Это один из самых точных прямых способов измерения длины волны в учебной лаборатории.

Что произойдёт, если период решётки станет меньше длины волны? Тогда даже первый порядок ($m=1$) не сможет существовать, так как потребовалось бы $\sin\theta > 1$. Свет пройдёт сквозь решётку только в направлении центрального максимума $m=0$, без разложения в спектр.

Коротко

Дифракционная решётка раскладывает свет в спектр благодаря интерференции волн от множества равноудалённых щелей. Условие главных максимумов $d\sin\theta = m\lambda$ получается из требования синфазности волн от соседних щелей - и автоматически выполняется сразу для всех щелей решётки. Порядок $m$ ограничен условием $|m\lambda/d| \le 1$, угловая дисперсия растёт с порядком и с уменьшением периода, а разрешающая способность $R = mN$ растёт с числом освещённых щелей - поэтому для тонкого спектрального анализа используют решётки с максимально возможным числом штрихов.