Длина когерентности и время когерентности: суть и формулы

Реальный источник света никогда не излучает строго одну частоту: любая спектральная линия имеет конечную ширину $\Delta\lambda$, и именно она определяет, насколько долго и на каком расстоянии волна сохраняет постоянную фазу сама с собой. Эти два масштаба называют временем когерентности $\tau_c$ и длиной когерентности $l_c$ - без них невозможно объяснить, почему свет одного лазера даёт чёткую интерференционную картину при любой разности хода, а свет обычной лампы теряет её уже на долях миллиметра. Ниже разберём точное определение обеих величин, выведем связывающие их формулы и разберём числа для реальных источников. Чтобы сразу увидеть, как ширина линии превращается в конкретные метры и секунды, покрути калькулятор ниже - он показывает и сами величины, и то, как гаснет видность полос с ростом разности хода.

Что такое время и длина когерентности

Идеальная монохроматическая волна $E(t) = E_0\cos(\omega t)$ существовала бы бесконечно долго с одной и той же фазой - такой волны в природе нет. Реальное излучение представляет собой набор коротких волновых цугов: каждый цуг колеблется почти монохроматически, но случайным образом обрывается и начинается заново со случайной фазой. Средняя длительность одного цуга и есть время когерентности $\tau_c$ - интервал, за который фаза волны успевает «забыть» своё начальное значение. За время, много меньшее $\tau_c$, волну можно считать практически монохроматической и предсказуемой; за время, много большее $\tau_c$, фаза становится случайной.

Поскольку свет распространяется со скоростью $c$, временному масштабу $\tau_c$ соответствует пространственный масштаб - длина когерентности:

$l_c = c\,\tau_c.$

Физически $l_c$ - это протяжённость одного волнового цуга в пространстве. Если разбить пучок света на два (например, полупрозрачным зеркалом) и снова свести их с разностью хода $\Delta$, устойчивая интерференционная картина возникнет только при $\Delta \ll l_c$: тогда в точку наблюдения оба луча приходят из одного и того же цуга, и их фазы жёстко связаны. При $\Delta \gg l_c$ лучи приходят из разных, уже не связанных между собой цугов, и полосы размываются до однородной засветки.

Как ширина спектральной линии определяет длину когерентности

Рассчитать для своей задачи

Случайность обрыва фазы напрямую связана со спектральным составом источника. Немонохроматический свет можно представить как суперпозицию гармоник в узкой полосе частот $\Delta\nu$ около центральной частоты $\nu$. Чем шире эта полоса, тем быстрее гармоники расходятся по фазе между собой и тем короче интервал, на котором суммарное колебание выглядит регулярным. Строгий вывод даёт соотношение неопределённости для волнового пакета, но для оценки порядка величины достаточно простого правила:

$\tau_c \approx \frac{1}{\Delta\nu}.$

Ширину по частоте удобнее всего измерять через ширину линии по длине волны $\Delta\lambda$, которую спектрометры выдают напрямую. Из $\nu = c/\lambda$ дифференцированием получаем $|\Delta\nu| = c\,\Delta\lambda/\lambda^2$, и после подстановки в формулу времени когерентности длина когерентности принимает свой главный вид:

$l_c = c\,\tau_c = \frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}.$

Это ключевая формула темы: длина когерентности растёт как квадрат длины волны и обратно пропорциональна ширине спектральной линии. Узкая линия (стабилизированный лазер) даёт огромную $l_c$ - метры и километры; широкая линия (тепловой источник, светодиод) даёт $l_c$ порядка микрометров. Число полных колебаний поля, укладывающихся в один когерентный цуг, тоже удобная величина для интуиции: $N = l_c/\lambda$, и оно совпадает с добротностью спектральной линии $\lambda/\Delta\lambda$.

Видность интерференционных полос и разность хода

Рассчитать для своей задачи

Экспериментально время и длину когерентности измеряют именно через контраст (видность) интерференционных полос. Видность определяют как

$V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}},$

где $I_{\max}$ и $I_{\min}$ - интенсивности в соседних светлой и тёмной полосах. При нулевой разности хода видность максимальна, $V = 1$; по мере роста $\Delta$ она падает, и на масштабе порядка $l_c$ полосы практически перестают быть различимыми. Для квазимонохроматического света с гауссовым спектральным контуром эта зависимость хорошо описывается моделью

$V(\Delta) = \exp\!\left[-\left(\frac{\Delta}{l_c}\right)^{2}\right],$

где по построению видность падает до характерного уровня $1/e \approx 0{,}37$ ровно при $\Delta = l_c$ - это и даёт удобный практический способ прочитать длину когерентности прямо с графика видности, полученного, например, в интерферометре Майкельсона при постепенном отодвигании одного из зеркал.

Примеры для реальных источников света

Рассчитать для своей задачи

Диапазон реальных значений огромен - восемь-девять порядков между лазером и солнечным светом:

• Гелий-неоновый лазер (многомодовый, $\lambda = 633$ нм, $\Delta\lambda \approx 0{,}002$ нм): $l_c \approx 0{,}2$ м, $\tau_c \approx 0{,}67$ нс. Это классическое учебное число - лазер даёт полосы даже при разности хода в десятки сантиметров.
• Лазерная указка (многомодовая, $\lambda = 650$ нм, $\Delta\lambda \approx 0{,}2$ нм): $l_c \approx 2$ мм.
• Светодиод ($\lambda = 590$ нм, $\Delta\lambda \approx 20$ нм): $l_c \approx 17$ мкм - сравнимо с толщиной человеческого волоса.
• Лампа накаливания через узкий светофильтр ($\lambda = 550$ нм, $\Delta\lambda \approx 50$ нм): $l_c \approx 6$ мкм.
• Солнечный свет (весь видимый диапазон, $\lambda = 550$ нм, $\Delta\lambda \approx 300$ нм): $l_c \approx 1$ мкм - интерференцию от солнечного света увидеть можно, но только при почти нулевой разности хода.

Именно поэтому классические опыты по интерференции (кольца Ньютона, бипризма Френеля, зеркало Ллойда) исторически ставили на солнечном или ламповом свете, но требовали очень малой разности хода, а с появлением лазеров те же опыты стало можно ставить при разности хода в сантиметры и метры.

Пример решения типовой задачи

Пусть источник излучает свет с центральной длиной волны $\lambda = 600$ нм и шириной спектральной линии $\Delta\lambda = 0{,}01$ нм. Нужно найти время и длину когерентности, а также ширину линии по частоте.

Сначала длина когерентности по главной формуле:

$l_c = \frac{\lambda^2}{\Delta\lambda} = \frac{(600\ \text{нм})^2}{0{,}01\ \text{нм}} = 3{,}6\cdot10^{7}\ \text{нм} = 3{,}6\ \text{см}.$

Время когерентности - через скорость света:

$\tau_c = \frac{l_c}{c} = \frac{0{,}036\ \text{м}}{3\cdot10^{8}\ \text{м/с}} \approx 1{,}2\cdot10^{-10}\ \text{с} = 120\ \text{пс}.$

Ширина линии по частоте - обратная величина времени когерентности:

$\Delta\nu = \frac{1}{\tau_c} \approx 8{,}3\cdot10^{9}\ \text{Гц} = 8{,}3\ \text{ГГц}.$

Проверка согласованности: число колебаний в одном цуге $N = l_c/\lambda = 0{,}036/(600\cdot10^{-9}) = 6\cdot10^{4}$ - ровно во столько раз частота $\nu = c/\lambda \approx 5\cdot10^{14}$ Гц больше найденной ширины линии $\Delta\nu$, что и должно быть для линии с добротностью $N$. Такую же цепочку вычислений выполняет калькулятор выше при любых введённых значениях.

Частые ошибки

• Путаница между временем и длиной когерентности. Это не два независимых свойства источника, а одна и та же величина в разных единицах: $l_c = c\,\tau_c$. Спрашивать «а какая из них больше» бессмысленно - они всегда пропорциональны с коэффициентом $c$.
• Забытый перевод единиц Δλ. Формула $l_c = \lambda^2/\Delta\lambda$ работает в любых, но обязательно одинаковых единицах длины для $\lambda$ и $\Delta\lambda$ - оба в нанометрах или оба в метрах. Смешение метров и нанометров в числителе и знаменателе - самая частая арифметическая ошибка в задачах.
• Отождествление длины когерентности с длиной волны. Длина волны $\lambda$ - это масштаб одного колебания, а длина когерентности $l_c$ - масштаб, на котором эти колебания остаются согласованными; $l_c$ всегда на много порядков больше $\lambda$ для сколько-нибудь монохроматичного света.
• Игнорирование того, что видность падает плавно, а не обрывается резко. Интерференция не исчезает мгновенно при $\Delta = l_c$ - видность лишь снижается до характерного малого уровня; полосы становятся слабо различимыми уже при разности хода порядка десятой доли $l_c$.
• Применение формулы к строго монохроматическому идеализированному источнику. При $\Delta\lambda \to 0$ формула формально даёт $l_c \to \infty$, но у реального лазера всегда есть конечная (пусть и очень малая) ширина линии, определяемая техническими причинами - от нестабильности резонатора до квантового предела.

FAQ

Как время когерентности связано с длиной когерентности? Простым соотношением $l_c = c\,\tau_c$, где $c$ - скорость света. Это одна и та же характеристика источника, выраженная через время или через пространственный масштаб.

Почему длина когерентности лазера намного больше, чем у лампы накаливания? Потому что резонатор лазера выделяет и усиливает узкую полосу частот $\Delta\nu$, тогда как тепловой источник (лампа) излучает во всём широком диапазоне теплового спектра. Меньшая $\Delta\nu$ по формуле $l_c = c/\Delta\nu$ сразу даёт большую длину когерентности.

Можно ли увидеть интерференцию от солнечного света? Да, но только при разности хода порядка микрометра - именно поэтому классические опыты вроде колец Ньютона используют геометрию, где разность хода естественным образом мала около центра картины, а на периферии полосы размываются.

Коротко

Время когерентности $\tau_c \approx 1/\Delta\nu$ и длина когерентности $l_c = c\,\tau_c = \lambda^2/\Delta\lambda$ описывают одну и ту же величину - протяжённость волнового цуга во времени и в пространстве. Узкая спектральная линия даёт длинный цуг и высокую видность интерференционных полос при большой разности хода; широкая линия обрывает цуг быстро, и полосы видны только при разности хода, близкой к нулю. Диапазон реальных значений огромен: от долей микрометра у солнечного света до десятков сантиметров и метров у стабилизированных лазеров.