Формула Журавского: касательные напряжения при изгибе

При поперечном изгибе балка сопротивляется не только нормальными напряжениями от изгибающего момента, но и касательными - от поперечной силы $Q$. Их распределение по высоте сечения неравномерно, и в 1855 году русский инженер Дмитрий Журавский вывел формулу, которая точно описывает эту неравномерность для любого сечения с известной геометрией. Ниже разберём, откуда берётся формула, что означает каждый её член и как она даёт разное распределение для прямоугольного и круглого сечений. Чтобы сразу увидеть форму эпюры, покрути калькулятор ниже: он строит параболу касательных напряжений по заданным силе и сечению, а дальше разберём формулу шаг за шагом.

Как выводится формула Журавского

Идея вывода - рассмотреть равновесие элементарного слоя балки, отсечённого на расстоянии $y$ от нейтральной оси. Изгибающий момент меняется вдоль оси балки, значит, нормальные напряжения на соседних сечениях элемента длиной $dx$ немного отличаются. Эта разница создаёт неуравновешенную продольную силу на отсечённой части сечения - её должны компенсировать касательные напряжения, действующие в горизontальном сечении на уровне $y$. Записав условие равновесия этой отсечённой части и разделив продольную силу на площадь горизонтального сечения $b(y)\,dx$, приходят к общей формуле:

$$\tau(y) = \frac{Q \cdot S_x(y)}{I_x \cdot b(y)}$$

где $Q$ - поперечная сила в сечении, $I_x$ - момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси, $S_x(y)$ - статический момент отсечённой части площади (той, что лежит выше уровня $y$) относительно той же оси, а $b(y)$ - ширина сечения на уровне $y$. Обратите внимание: касательное напряжение по формуле Журавского всегда действует и в поперечном, и в продольном направлении одновременно - это прямое следствие закона парности касательных напряжений, использованного при выводе.

Что означает каждый член формулы

• $Q$ - поперечная сила в рассматриваемом сечении балки, берётся из эпюры поперечных сил.
• $I_x$ - момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси; постоянен для сечения, не зависит от $y$.
• $S_x(y)$ - статический момент части площади, отсечённой линией на уровне $y$, а не всего сечения целиком. Именно эта величина обращается в ноль у крайних волокон (там отсечённая площадь равна нулю) и максимальна на нейтральной оси.
• $b(y)$ - ширина сечения ровно на уровне $y$, а не средняя или максимальная ширина всего профиля. Для прямоугольника она постоянна, для круга и двутавра - переменная функция высоты.

Из этих четырёх величин только $S_x(y)$ и $b(y)$ зависят от положения по высоте, поэтому форма эпюры касательных напряжений целиком определяется геометрией сечения.

Распределение напряжений по прямоугольному сечению

Для прямоугольника шириной $b$ и высотой $h$ ширина постоянна, $b(y) = b$, момент инерции $I_x = \dfrac{b h^3}{12}$, а статический момент отсечённой (верхней) части площади относительно нейтральной оси:

$$S_x(y) = \frac{b}{2}\left(\frac{h^2}{4} - y^2\right)$$

Подставив в общую формулу, получаем параболический закон распределения:

Рассчитать для своей задачи

$$\tau(y) = \frac{6Q}{b h^3}\left(\frac{h^2}{4} - y^2\right) = \tau_{max}\left(1 - \frac{4y^2}{h^2}\right)$$

где максимальное напряжение достигается точно на нейтральной оси ($y = 0$):

$$\tau_{max} = \frac{3Q}{2bh} = 1{,}5\cdot\frac{Q}{A}$$

Здесь $A = bh$ - площадь сечения, а $Q/A$ - среднее касательное напряжение, как если бы оно было равномерно размазано по сечению. Для прямоугольника реальный максимум в полтора раза выше среднего, а на верхней и нижней гранях ($y = \pm h/2$) напряжение равно нулю.

Круглое и другие сечения

Для круглого сечения диаметром $d$ (радиус $R = d/2$) ширина на уровне $y$ уже не постоянна: $b(y) = 2\sqrt{R^2 - y^2}$, а статический момент отсечённого сегмента $S_x(y) = \dfrac{2}{3}\left(R^2 - y^2\right)^{3/2}$. Подставляя в формулу Журавского вместе с $I_x = \dfrac{\pi R^4}{4}$, после сокращения корня получаем тоже параболу, но с другим коэффициентом:

$$\tau(y) = \frac{4Q}{3\pi R^4}\left(R^2 - y^2\right) = \tau_{max}\left(1 - \frac{y^2}{R^2}\right), \qquad \tau_{max} = \frac{4Q}{3\pi R^2} = \frac{4}{3}\cdot\frac{Q}{A}$$

Рассчитать для своей задачи

Коэффициент запаса над средним напряжением зависит только от формы сечения: $1{,}5$ для прямоугольника, $4/3 \approx 1{,}333$ для круга, а для тонкостенного двутавра основная доля поперечной силы вообще воспринимается стенкой, и напряжение там почти равномерно с коэффициентом, близким к единице. Поэтому при проверке на срез недостаточно взять среднее напряжение $Q/A$ - нужно знать именно форму эпюры для конкретного профиля.

Пример решения типовой задачи

Пусть балка прямоугольного сечения шириной $b = 100$ мм и высотой $h = 200$ мм нагружена поперечной силой $Q = 40$ кН в рассматриваемом сечении. Требуется найти максимальное касательное напряжение.

Площадь сечения: $A = bh = 100 \cdot 200 = 20\,000$ мм².

Среднее напряжение: $\tau_{ср} = Q/A = 40\,000\ \text{Н} / 20\,000\ \text{мм}^2 = 2$ Н/мм² $= 2$ МПа.

Максимальное напряжение по формуле Журавского для прямоугольника:

$$\tau_{max} = 1{,}5 \cdot \tau_{ср} = 1{,}5 \cdot 2 = 3\ \text{МПа}$$

Для проверки через полную формулу: статический момент половины сечения $S_{x,max} = \dfrac{bh^2}{8} = \dfrac{100 \cdot 200^2}{8} = 500\,000$ мм³, момент инерции $I_x = \dfrac{bh^3}{12} = \dfrac{100 \cdot 200^3}{12} \approx 6{,}667 \cdot 10^7$ мм⁴. Тогда:

$$\tau_{max} = \frac{Q \cdot S_{x,max}}{I_x \cdot b} = \frac{40\,000 \cdot 500\,000}{6{,}667 \cdot 10^7 \cdot 100} = 3\ \text{Н/мм}^2 = 3\ \text{МПа}$$

Оба пути дают одно и то же значение - это удобная проверка вычислений. Сравним теперь форму сечения при равной площади: круглому сечению площадью $20\,000$ мм² соответствовал бы радиус $R = \sqrt{A/\pi} \approx 79{,}8$ мм (диаметр около $159{,}6$ мм). Среднее напряжение осталось бы тем же - $2$ МПа, ведь оно зависит только от $Q$ и $A$, а вот максимум оказался бы НИЖЕ, чем у прямоугольника: $\tau_{max} = \dfrac{4}{3}\cdot 2 \approx 2{,}67$ МПа против $3$ МПа. То есть при одинаковой площади прямоугольное сечение работает на срез чуть хуже круглого - у него выше коэффициент неравномерности эпюры ($1{,}5$ против $4/3$).

Частые ошибки

• Подстановка ширины всего профиля вместо ширины на уровне $y$. Для двутавра или круга $b(y)$ меняется по высоте - брать полную ширину полки там, где отсекается стенка, нельзя.
• Путаница между статическим моментом отсечённой части и всего сечения. $S_x(y)$ - момент площади ВЫШЕ (или ниже) уровня $y$, а не всей фигуры; статический момент всего сечения относительно собственной нейтральной оси всегда равен нулю.
• Смешение единиц измерения. Силу переводят в ньютоны, размеры сечения - в миллиметры или метры единообразно; смешение кН и мм без пересчёта даёт ошибку на порядки.
• Отождествление $\tau_{max}$ со средним напряжением $Q/A$. Коэффициент превышения зависит от формы: $1{,}5$ для прямоугольника, $4/3$ для круга - использовать среднее вместо максимума при проверке прочности опасно.
• Игнорирование того, что $\tau(y) = 0$ на крайних волокнах. Если в расчёте эпюра выходит ненулевой у грани сечения - где-то ошибка в геометрии отсечённой части.

FAQ

Что показывает формула Журавского? Она даёт распределение касательных напряжений по высоте сечения балки при поперечном изгибе - то есть отвечает не только на вопрос «какое напряжение максимально», но и как оно меняется от одной грани сечения до другой.

Почему касательные напряжения равны нулю на краях сечения? Потому что статический момент $S_x(y)$ вычисляется для площади, отсечённой на уровне $y$; у крайнего волокна отсекать уже нечего - отсечённая площадь равна нулю, значит, и напряжение по формуле обнуляется.

Верна ли формула Журавского для тонкостенных профилей вроде двутавра? Да, с той же логикой вывода, но $b(y)$ и $S_x(y)$ считаются кусочно - отдельно для полок и для стенки, потому что ширина сечения на уровне $y$ резко меняется при переходе от полки к стенке.

Коротко

Формула Журавского $\tau(y) = Q\,S_x(y)/(I_x\, b(y))$ описывает распределение касательных напряжений по высоте сечения при изгибе: оно равно нулю на крайних волокнах и максимально на нейтральной оси. Для прямоугольника максимум равен $1{,}5\,Q/A$, для круга - $4/3\,Q/A$; форма эпюры для любого сечения - всегда парабола или её кусочный аналог, а её конкретный вид задают статический момент отсечённой части и ширина сечения на уровне сечения. Понимание этой формулы необходимо не только для проверки прочности на срез, но и для расчёта сварных и заклёпочных соединений, где касательные напряжения передают нагрузку между частями сечения.