Кручение круглого вала: формула касательных напряжений

При кручении круглого вала внешний момент закручивает сечения друг относительно друга, и в материале возникают только касательные напряжения - нормальных напряжений в чистом кручении нет. Их особенность в том, что распределение по сечению неравномерно: на оси вала напряжение равно нулю, а на поверхности достигает максимума. Ниже разберём, откуда берётся эта закономерность, как вывести формулу через полярный момент инерции и момент сопротивления, что происходит с углом закручивания вала и как проверить условие прочности на практике. Чтобы сразу увидеть форму эпюры, покрути калькулятор ниже: он строит распределение напряжений по сечению и угол закручивания по заданным моменту, диаметру и материалу, а дальше разберём формулу шаг за шагом.

Что происходит при кручении вала

Представим круглый вал, к концам которого приложены два равных и противоположно направленных крутящих момента. Каждое поперечное сечение вала поворачивается относительно соседнего на небольшой угол, а волокна материала, параллельные оси, искажаются - превращаются из прямых линий в винтовые. Это искажение и есть сдвиговая деформация, которая по закону Гука порождает касательное напряжение. Важное геометрическое наблюдение: угловая деформация волокна пропорциональна его расстоянию от оси вала - волокно на самой оси вообще не искажается (там нет сдвига), а волокно у поверхности искажается сильнее всего. Отсюда прямо следует, что и касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре сечения до максимума на поверхности.

Формула касательных напряжений при кручении

Из линейной зависимости деформации от радиуса и закона Гука при сдвиге получают основную формулу касательного напряжения в произвольной точке сечения на расстоянии $r$ от оси:

$$\tau(r) = \frac{T \cdot r}{I_p},$$

где $T$ - крутящий момент в сечении, $I_p$ - полярный момент инерции сечения, $r$ - расстояние от оси вала до рассматриваемой точки. Формула справедлива для любой точки внутри сплошного круглого сечения: при $r = 0$ напряжение равно нулю, а при $r = R$ (на поверхности) оно достигает максимума. Именно поэтому материал в центре вала работает вхолостую - убрать его (сделать вал полым) почти не снижает прочность, но заметно облегчает конструкцию.

Рассчитать для своей задачи

Полярный момент инерции и момент сопротивления

Для практических расчётов формулу удобнее записывать не через текущий радиус $r$, а сразу через максимальное напряжение на поверхности вала. Полярный момент инерции сплошного круглого сечения диаметром $d$ равен:

$$I_p = \frac{\pi d^4}{32}.$$

Подставив $r = R = d/2$ в общую формулу, получают максимальное напряжение на поверхности:

$$\tau_{max} = \frac{T \cdot R}{I_p} = \frac{T}{W_p}, \qquad W_p = \frac{I_p}{R} = \frac{\pi d^3}{16},$$

где $W_p$ - полярный момент сопротивления кручению. Он играет для кручения ту же роль, что осевой момент сопротивления $W_x$ для изгиба: одна величина сворачивает всю геометрию сечения в единственное число, и максимальное напряжение находится простым делением момента на неё. Обратите внимание на степени: $I_p$ растёт с диаметром в четвёртой степени, а $W_p$ - лишь в третьей, поэтому увеличение диаметра вала снижает напряжение быстрее, чем можно ожидать интуитивно.

Эпюра распределения напряжений по сечению

Если построить график $\tau(r)$ вдоль диаметра сечения - от одного края через центр к противоположному, - получится прямая линия, проходящая через начало координат: слева от оси напряжение отрицательно (сдвиг в другую сторону), в центре равно нулю, справа положительно и достигает $\tau_{max}$ на краю. Такую картину в сопромате называют эпюрой касательных напряжений при кручении.

Рассчитать для своей задачи

Линейность эпюры - прямое следствие того, что деформация сдвига пропорциональна радиусу, а напряжение при упругой работе материала пропорционально деформации. Как только материал у поверхности начинает течь (выходит за предел упругости), эпюра перестаёт быть прямой линией и выполаживается к краю - но в инженерных расчётах прочности вал всегда работает в упругой области, поэтому линейная эпюра остаётся рабочей моделью.

Угол закручивания вала

Кроме напряжений, важно оценить, на какой угол участок вала длиной $l$ поворачивается относительно другого конца. Угол закручивания связан с моментом и жёсткостью сечения на кручение:

$$\varphi = \frac{T \cdot l}{G \cdot I_p},$$

где $G$ - модуль сдвига материала (для конструкционной стали около 80 ГПа, для чугуна заметно ниже - около 45 ГПа), а произведение $G \cdot I_p$ называют жёсткостью сечения при кручении. Формула аналогична удлинению стержня при растяжении ($\Delta l = Fl/(EA)$), только модуль упругости заменён модулем сдвига, а площадь - полярным моментом инерции. Угол $\varphi$ получается в радианах, для практики его обычно переводят в градусы.

Рассчитать для своей задачи

Важно не путать угол сдвига (искажение отдельного волокна на поверхности, обозначается $\gamma$) и угол закручивания $\varphi$ (поворот одного торца вала относительно другого) - они связаны соотношением $\gamma_{max} = \varphi \cdot R / l$, но отвечают на разные вопросы: первый нужен для проверки прочности материала, второй - для оценки жёсткости конструкции.

Условие прочности при кручении

Расчёт вала на прочность сводится к простому неравенству: максимальное напряжение не должно превышать допускаемое значение для материала,

$$\tau_{max} = \frac{T}{W_p} \le [\tau].$$

Отсюда решают две типовые задачи. Первая - проверочный расчёт: по известным моменту и диаметру находят $\tau_{max}$ и сравнивают с $[\tau]$. Вторая - проектировочный расчёт: по известному моменту и допускаемому напряжению находят минимально необходимый диаметр,

$$d \ge \sqrt[3]{\frac{16 \cdot T}{\pi \cdot [\tau]}}.$$

Полученный диаметр обычно округляют вверх до ближайшего стандартного значения - вал меньшего диаметра, чем требует расчёт, не проходит проверку прочности.

Пример решения типовой задачи

Разберём проверочный расчёт: стальной вал диаметром $d = 50$ мм передаёт крутящий момент $T = 800$ Н·м на участке длиной $l = 2$ м. Модуль сдвига стали $G = 80\,000$ МПа, допускаемое напряжение $[\tau] = 60$ МПа. Нужно проверить условие прочности и найти угол закручивания.

Сначала находим полярный момент сопротивления сечения:

$$W_p = \frac{\pi d^3}{16} = \frac{\pi \cdot 50^3}{16} \approx 24\,544\ \text{мм}^3.$$

Переводим момент в Н·мм ($T = 800\,000$ Н·мм) и находим максимальное напряжение:

$$\tau_{max} = \frac{T}{W_p} = \frac{800\,000}{24\,544} \approx 32{,}6\ \text{МПа}.$$

Сравниваем с допускаемым напряжением: $32{,}6$ МПа меньше $60$ МПа, условие прочности выполняется с солидным запасом. Теперь находим угол закручивания. Полярный момент инерции $I_p = \pi d^4/32 \approx 613\,592$ мм⁴, длина участка в миллиметрах $l = 2000$ мм:

$$\varphi = \frac{T \cdot l}{G \cdot I_p} = \frac{800\,000 \cdot 2000}{80\,000 \cdot 613\,592} \approx 0{,}0326\ \text{рад} \approx 1{,}87^\circ.$$

Оба результата - и напряжение, и угол - калькулятор выше пересчитывает мгновенно для любых входных данных, но последовательность действий всегда одна и та же: момент сопротивления, напряжение, сравнение с допускаемым, при необходимости - момент инерции и угол закручивания.

Частые ошибки

• Путаница между $I_p$ и $W_p$. Момент инерции нужен для угла закручивания и промежуточных вычислений, момент сопротивления - для напряжения. Подстановка одного вместо другого даёт неверную размерность и порядок величины.
• Забытый перевод момента в Н·мм. Если $T$ дан в Н·м, а диаметр - в мм, нужно перевести момент в Н·мм (умножить на 1000), иначе напряжение получится в 1000 раз меньше правильного.
• Использование диаметра вместо радиуса в формуле $\tau(r)$. Общая формула $\tau = Tr/I_p$ требует именно расстояния от оси $r$, а не диаметра; максимум достигается при $r = R = d/2$.
• Игнорирование материала при расчёте угла. Модуль сдвига $G$ у чугуна почти вдвое ниже, чем у стали, поэтому одинаковый вал из чугуна закручивается заметно сильнее при том же моменте - об этом забывают, когда меняют материал в условии задачи.
• Округление диаметра вниз при проектировочном расчёте. Диаметр, полученный из условия прочности, - это минимально допустимое значение; округлять его нужно вверх до ближайшего стандартного размера, а не вниз для «красивого» числа.

FAQ

Почему в центре вала напряжение равно нулю? Потому что деформация сдвига при кручении пропорциональна расстоянию от оси: волокно точно на оси вала не смещается относительно соседних, значит, там нет сдвиговой деформации и нет напряжения. Материал в центре несёт нулевую нагрузку, а весь сопротивляющийся моменту материал сосредоточен ближе к поверхности.

Как проверить прочность полого вала (трубы)? Формулы сохраняют вид, но момент инерции и момент сопротивления считаются для кольцевого сечения: $I_p = \pi (D^4 - d_0^4)/32$ и $W_p = I_p / (D/2)$, где $D$ - наружный, $d_0$ - внутренний диаметр. Дальше условие прочности $\tau_{max} = T/W_p \le [\tau]$ применяется точно так же.

Зависит ли угол закручивания от материала вала? Да, напрямую - через модуль сдвига $G$ в знаменателе формулы $\varphi = Tl/(GI_p)$. Чем меньше модуль сдвига (например, у чугуна по сравнению со сталью), тем больше угол закручивания при одинаковых моменте, длине и диаметре.

Коротко

При кручении круглого вала касательное напряжение линейно растёт от нуля на оси до максимума $\tau_{max} = T/W_p$ на поверхности, где $W_p = \pi d^3/16$ - полярный момент сопротивления сечения. Условие прочности $\tau_{max} \le [\tau]$ позволяет и проверить готовый вал, и подобрать нужный диаметр под заданный момент. Угол закручивания участка вала $\varphi = Tl/(GI_p)$ зависит ещё и от модуля сдвига материала - при равных нагрузках вал из более мягкого материала закручивается сильнее. Эти четыре формулы - полярный момент инерции, момент сопротивления, напряжение и угол - полностью описывают работу вала в упругой области.